数学总2.6 对数与对数函数 文 新人教B版

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1、2.6对数与对数函数对数与对数函数考纲要求考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道知道对数函数是一类重要的函数模型对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数了解指数函数yax与对与对数函数数函数ylogax互为反函数互为反函数(a0，且，且a1)1对数的概

2、念对数的概念如果如果axN(a0且且a1)，那么数，那么数x叫做以叫做以a为底为底N的的对数，记作对数，记作_，其中，其中 叫做对数的底数，叫做对数的底数，_叫叫做真数做真数xlogaNNa3对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质4.反函数反函数指数函数指数函数yax与对数函数与对数函数_互为反函数，它互为反函数，它们的图象关于直线们的图象关于直线_对称对称【思考辨析】【思考辨析】判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”)(1)若若MN0，则，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()ylogaxyx【

3、答案】【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2015湖南湖南)设函数设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则，则f(x)是是()A奇函数，且在奇函数，且在(0，1)上是增函数上是增函数B奇函数，且在奇函数，且在(0，1)上是减函数上是减函数C偶函数，且在偶函数，且在(0，1)上是增函数上是增函数D偶函数，且在偶函数，且在(0，1)上是减函数上是减函数【答案】【答案】 A【答案】【答案】 A【答案】【答案】 A5(2015浙江浙江)若若alog43，则，则2a2a_【答案】【答案】 (1)A(2)1【方法规律】【方法规律】 在对数运算中，要熟练掌握对数的定在对数运算中，要熟练掌握对

4、数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算形式再进行运算【答案】【答案】 (1)1(2)12题型二对数函数的图象及应用题型二对数函数的图象及应用【例例2】 (1)(2017河南焦作一模河南焦作一模)若函数若函数ya|x|(a0，且，且a1)的值域为的值域为y|0y1，则函数，则函数yloga|x|的图象大致是的图象大致是()【解析解析】 (1)若函数若函数ya|x|(a0，且，且a1)的值域为的值域为y|0y1，则，则0a1，

5、由此可知，由此可知yloga|x|的图象大致是的图象大致是A.【答案】【答案】 (1)A(2)B【方法规律方法规律】 应用对数型函数的图象可求解的问题应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性函数，在求解其单调性(单调区间单调区间)、值域、值域(最值最值)、零点时，、零点时，常利用数形结合思想常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解图象问题，利用数形结合法求解跟踪训练跟踪训练2 (1)已知已知

6、lg alg b0，则函数，则函数f(x)ax与函数与函数g(x)logbx的图象可能是的图象可能是()(2)(2017石家庄模拟石家庄模拟)设方程设方程10 x|lg(x)|的两个根分别的两个根分别为为x1，x2，则，则()Ax1x20 Bx1x21Cx1x21 D0 x1x21【解析解析】 (1)lg alg b0，ab1，g(x)logbx的定义域是的定义域是(0，)，故排除，故排除A.若若a1，则，则0b1，此时此时f(x)ax是增函数，是增函数，g(x)logbx是增函数故选是增函数故选B.(2)构造函数构造函数y10 x与与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示并作出它们的图

7、象，如图所示因为因为x1，x2是是10 x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设，不妨设x21，1x10，则，则10 x1lg(x1)，10 x2lg(x2)，因此，因此10 x210 x1lg(x1x2)，因为，因为10 x210 x10，所以，所以lg(x1x2)0，即，即0 x1x21，故选，故选D.【答案】【答案】 (1)B(2)D【答案】【答案】 B【答案】【答案】 B命题点命题点3和对数函数有关的复合函数和对数函数有关的复合函数【例【例5】 (2017江苏淮阴中学期末江苏淮阴中学期末)已知函数已知函数f(

8、x)loga(a2xt)，其中，其中a0且且a1.(1)当当a2时，若时，若f(x)x无解，求无解，求t的取值范围；的取值范围；(2)若存在实数若存在实数m，n(mn)，使得，使得xm，n时，函数时，函数f(x)的值域也都为的值域也都为m，n，求，求t的取值范围的取值范围【方法规律】【方法规律】 在解决与对数函数相关的比较大小在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件值对函数增减性的影

9、响，及真数必须为正的限制条件跟踪训练跟踪训练3 (1)设设alog32，blog52，clog23，则，则()Aacb BbcaCcba Dcab(2)若若f(x)lg(x22ax1a)在区间在区间(，1上递减，则上递减，则a的取值范围为的取值范围为()A1，2) B1，2C1，) D2，)【答案】【答案】 (1)D(2)A(3)C高频小考点高频小考点2比较指数式、对数式的大小比较指数式、对数式的大小【典例】【典例】 (1)(2016全国卷全国卷)若若ab0，0c1，则，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCacbc Dcacb【答案】【答案】 (1)B(2)A(3)C【温馨提

10、醒】【温馨提醒】 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选量，一般选0或或1. 方法与技巧方法与技巧1对数值取正、负值的规律对数值取正、负值的规律当当a1且且

11、b1或或0a1且且0b1时，时，logab0；当当a1且且0b1或或0a1且且b1时，时，logab0.2对数函数的定义域及单调性对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数的，所以对数函数ylogax的定义域应为的定义域应为(0，)对数函数的单调性和对数函数的单调性和a的值的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和和a1进行分类讨论进行分类讨论3比较幂、对数大小有两种常用方法：比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；数形结合；(2)找中间量结合函数单调性找中间量结合函数单调性4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线较图象与直线y1交点的横坐标进行判定交点的横坐标进行判定 失误与防范失误与防范1在运算性质在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，中，要特别注意条件，在无在无M0的条件下应为的条件下应为logaMloga|M|(N*，且，且为偶为偶数数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必务必先研究函数的定义域；先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围注意对数底数的取值范围.