数学分析考试课件

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1、会计学1数学分析考试课件数学分析考试课件 ( ), wf zuivD设在区域内解析. , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 从而从而根据解析函数高阶导数定理, , uv与具有任意阶的连续偏导数 从而, 22yxvxyv 2222 0,uuxy故. 0 2222yvxv同理第1页/共24页偏微分方程偏微分方程 22220HHHxy称为称为Laplace方程方程其中其中2222xy 称为称为Laplace算子算子从以上分析知从以上分析知:( ), f zuivD若在区域内解析Laplace 0,0.uvDuv 则 与 在 内满足方程:1. Laplace算子算子一

2、一. Laplace算子与共轭调和函数算子与共轭调和函数 第2页/共24页 2. 调和函数调和函数( , ) , 0,( , ).H x yDHH x yD如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数 且满足拉普拉斯方程则称为区域 内的调和函数( ),f zuivDuv若在区域内解析 则 与 为注注1- DC R在区域 内满足方程3. 共轭调和函共轭调和函数数定义定义3.63.6 , uvuvxyyx D内的调和函数。定义定义3.5第3页/共24页注注2 2,u vvuD的两个调和函数中 称为 在区域 内的vu不能交换顺序， “ 称为 的共轭调和函数”中的定理定理3.18( )( , )( ,

3、)f zu x yiv x yD若在区域内解注注3 3如果没有条件“共轭”定理3.18的逆未必成立。C.-R.xyyxuvuvuv 由于方程,中， 与,.u v不能交换, u vDuivD也就是说即使均是 内的调和函数,在区域内也不一定解析。共轭调和函数。,( , )( , ).Dv x yu x y析 则在 内必为的共轭调和函数第4页/共24页4. 解析函数的构造解析函数的构造D假设 是单连通区域(1)( , ),( , ),u x yDv x y已知是 内的调和函数 找2222 0,uuxy由于,uuDyx即与在 内具有连续的一阶偏导数,uuuuPQyyxxyx 且记方法一方法一: 应用曲

4、线积分应用曲线积分,yxPQ则由数学分析中格林公式的等价命题知,.uivD使在 内解析第5页/共24页uudxdyPdxQdyyx是全微分,令( , ),(3.21)uudxdydv x yyx则00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx注注4(3.22),x y对分别对求偏导数 得 , uvuvxyyx 3.15,.uivD由定理知在 内解析第6页/共24页注注5 (3.21)可由下式简便记忆( , )vvdv x ydxdyxyC R方程uudxdyyx方法二方法二: 应用不定积分应用不定积分-,vuC Ryx由方程有( , )( ),uv x yd

5、yxx-vuC Rxy再由方程另一条件有( , )( )xv x yudyxxx,uy ( ).x找第7页/共24页(2)( , ),( , ),v x yDu x y已知是 内的调和函数 找( , )uudu x ydxdyxy类似有C R方程vvdxdyyx故00( , )(,)( , )x yxyvvu x ydxdycyx注注600(0,0),(,)(0,0),Dxy若则定点可取,(3.22).D若 非单连通 则积分可能为多值函数.uivD使在 内解析第8页/共24页定理定理3.19( , )u x yD设是在单连通区域 内的调( , ),( )v x yf zuivD所确定的函数使是

6、 内的00( , )(,)( , ),(3.22)x yxyuuv x ydxdycyx解析函数.( )f zuivD使得是 内的解析函数.( , ),( , )v x yu x y类似地，已知调和函数也可确定二二. 解析函数的等价刻划解析函数的等价刻划,(3.22)和函数 则存在由式1. 调和函数生成解析函数调和函数生成解析函数注注7第9页/共24页2. 刻划解析函数又一等价条件刻划解析函数又一等价条件( )f zuivD在区域 内解析3.18 定理.Dvu在区域 内, 是 的共轭调和函数3.19 定理注注8 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知

7、,任一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.第10页/共24页证明证明2( , ),u x yxy设由于2,uyx220,ux2,uxyy222 ,uxy0,x 故当( , )u x y 不是调和函数,0Laplace,x 虽然在直线上满足方程但直线不是区域, 即在z-平面的任意区域，2.xy 不能作为解析函数的实部2 .xy证明不能作为解析函数的实部22222 ,uuxxy例例1 1第11页/共24页2222 : ( , ), ( , ),( )( , )( , ).yu x yxyv x yxyf zu x yiv x y证明都是调和函数 但不是解析函数证明证明 由于2 ,uxx222,

8、ux2 ,uyy 222,uy 2222,()vxyxxy22222,()vxyyxy223222 362,()vx yyxxy223222 362,()vx yyyxy从而22220,uuxy22220;vvxy例例2 2第12页/共24页( , ),u x yz即是 平面上的调和函数( , )0,v x yC 是上的调和函数2222222, ,()uvxyyyxxyxxy 0Cuv从而在的任何区域上 与 不满足-,.C Rvu方程 故 不是 的共轭调和函数( )( , )( , ).f zu x yv x y即不是解析函数22,uvyxxyx 这说明仅在曲线上成立第13页/共24页2233

9、,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解法解法一一,z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x yz故为 平面上的调和函数( , )vvdv x ydxdyxy由有有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx, c22(33)xydy( , )v x y32( , )3, u x yxxyz验证是 平面上的调和函数( , )( ),(0).u x yf zfi并求以为实部的解析函数使例例3第14页/共24页( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33

10、)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故oXYxy(x,y)第15页/共24页解法二解法二( , ).u x y同方法一可证为调和函数yxCRvu由方程中一个得( , )v x y( )xu dyx22(33)( )xydyx233( )x yyxxyCRvu 再由方程中另一个得6( )6,xvxyxxy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic1,c 如法一可求3( ).f zzi故第16

11、页/共24页例例4 ( , )arctan(0),( ).yv x yxxf zuiv已知求右半平面的解析函数解解22,yxy 2211vxyyx在右半z平面上2221yvxyxx22,xxy222222 ,()vxyxxy222222 ()vxyyxy2222 0,vvxy( , ) v x y 为调和函数.z第17页/共24页-C R由方程中的一个uvxy得22,uvxxyxy( , )( )uu x ydxyx( )vdxyy22( )xdxyxy221ln()( )2xyy-C R再由方程中的另一个uvyx 得2212( )2yyxy22yxyuvyx 第18页/共24页( )0,y从

12、而 ( ),yc故221 ln(),2uxyc于是故所求的解析函数为( )f zuivargtanyixln,zc221ln()2xycargtanyix22lnxycargtanyixln zc第19页/共24页3 平均值公式定理9.100 ( ), u zzzRzzR如果函数在圆内是一个调和函数 在闭圆上连续,则20001()()d .2iu zu zR e即u(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.证明证明3.19( )( )u zv z由定理，存在的共轭调和函数0( )( )( )u ziv zf zzzR使得在圆内解析，10 RR设，第20页/共24页20101()2if

13、zR ed000()()()u ziv zf z则由定理3.12（复变函数的平均值定理）得2201010011()()22iiu zR ediv zR ed1,RR比较两端的实部和虚部，且令则2200000011(),()().2(2)iiu zRedv zv zReudz第21页/共24页.仅证最大值情况达到最大值或最小值。( ),u zD如果函数在区域 内是调和函数 极值原理定理9.2 ( )u zD且不恒为常数，则在 的内点处不能证明证明( )( )u zu z且与的调和性是相同的。min ( )max( ),z Dz Du zu z因为00max ( ),(z DzDu zu z如果使得第22页/共24页DD若区域 是单连通的，我们在区域 内( )( ).f zu zee且其模( )0( )f zezu z但在点 与同时达到最大值,即00()()( )0ma,xf zu zu zz DeeezD( )( )( )( ),f zf zu ziv zeD记则在 内单值解析，( )( ), u zv z作与共轭的调和函数这与最大模定理矛盾，因此定理得证。第23页/共24页