数学定积分计算

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1、会计学1数学定积分计算数学定积分计算Oxyabx x)(xfy 变上限积分的几何意义第1页/共49页Oxyabx x)(xfy 变上限积分的几何意义xaxxf d)(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。 第2页/共49页定理定理6.1( (微积分学基本定理或原函数存在定理微积分学基本定理或原函数存在定理) )如果如果)(xf在在,ba上连续上连续,)()( xadttfxp则则)(xp是是)(xf在在,ba上的一个原函上的一个原函数数,即有即有).()()(xfdttfxpxa 证证xxpxxpxpx )()(lim)(0 xdttfdttfxaxxax )()(lim0 xdttfx

2、xxx )(lim0 xxfx )(lim0 )(lim0 fx ).(xf abx xx 第3页/共49页)()(xfdttfxa)()()(xxdttf)()(xxf)()(xxf第4页/共49页事实上事实上:)()()(xxdttf)(0)(xdttf0)()(xdttf)(0)(xdttf)(0)(xdttf而而)(0)(xdttfux )(udttf0)(所以所以)()(0 xdttfudttf0)()(ufu)()(xxf所以所以)()()(xxdttf)()(xxf)()(xxf第5页/共49页例例1 设设,cos)(02 xtdtxf求求).(xf 解解 xtdtxf02)co

3、s()(.cos2x例例2 设设,)(12 xtdtexf求求).(xf 解解.)(2xexf 例例3 设设,sin)(302 xxdttxf求求).(xf 解解 )(xf23)sin(xx .)sin()13(232xxx )(3 xx第6页/共49页例例4 设设,)(lncos2 xxxdttxf求求).(xf 解解 )(xf)ln()ln(2xxxx)ln1 ()ln(2xxx)ln1 ()ln(2xxx)(cos)(cos2xx)sin()(cos2xxxxsin)(cos2第7页/共49页例例5求极限求极限.1lim20202xdttxx 解解 202021limxdttxxxxxx

4、221lim40 401limxx . 1 例例6求由方程求由方程 xyttdtdte000cos2所确定所确定的隐函数的导数的隐函数的导数.解解 方程两边作方程两边作为为x的函数同时求导的函数同时求导0cos2 xyey所以所以.cos2yexy 第8页/共49页例例7求下列极限求下列极限(2),)2sin1 (1lim010 xtxdttx,)1 (1lim0222xxtxdtetx(1)(3)(4).)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux确定常数确定常数cba,使使.)1ln(sinlim30cdtttxaxxbx)0( c第9页/共49页)cos1 ()

5、1arctan(lim0002xxdudttxux30002)1arctan(lim2xdudttxux2003)1arctan(lim22xdttxxxxxx6)1arctan(2lim2204326(2003年考研真年考研真题题)第10页/共49页)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux300022)1arctan(lim2xdudttxux2003)1arctan(2lim24xdttxxx1)1arctan(4lim34430 xxx0第11页/共49页二二.牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹)(leibnizNewton 公式公式定理定理6.2如果如果)(xf在在

6、,ba上连续上连续,)(xF是是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数, 则则).()()(aFbFxdxfba 证证)()(xfxF )()(xfdttfxa 因因所以所以cxFdttfxa )()(令令caFdttfaa )()(ax 则则)(aFc )()()(aFxFdttfxa 所以所以再令再令bx 得得).()()(aFbFdttfba 第12页/共49页)()()()(aFbFxFdxxfbaba 例例6求求 102.dxx解解 102dxx103)31(x33031131 .31 例例7 求求 202.cossin xdxx解解 202cossin xdxx 202si

7、nsin xxd203)sin31( x 0sin312sin3133 .31 1023dxexx103.3dxex31331xe10) 1(31e第13页/共49页例例8求求 20.cossin dxxx解解 原式原式 2440)cos(sin)sin(cos dxxxdxxx40)cos(sin xx . 222 24)sincos( xx 第14页/共49页例例9,求求 30.)(dxxf设设 )(xf13 xxe 10 x31 x解解 30)(dxxf 1031)()(dxxfdxxf 10313)1(dxedxxx311034)()43(xexx .11413ee 第15页/共49页

8、 112.1dxx计算计算解解 1121dxx11)1( x. 211 注注 这是错误的这是错误的,因为定理要求连续因为定理要求连续. 第16页/共49页 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx例例解解第17页/共49页 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21C

9、tt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx10 x20t2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4例例解解第18页/共49页三三.定积分的换元积分法定积分的换元积分法定理定理6.3 如果如果)(xf在在,上连续上连续,)(tx满足下述条件满足下述条件:)(t上单调连续上单调连续,且且在在,ba),()(tbta,)(ab)(在在,)(t上连续上连续,则则badxxf)(dtttf )()(第19页/共49页badxxf)(dtttf

10、)()(证证 设设)(xF是是)(xf的一个原函数的一个原函数则则)()()(aFbFdxxfba由由)()(ttF)()(ttf即即)(tF)(tF是是)()(ttf的一个原函数的一个原函数故故dtttf)()()(tF)(F)(F)()(aFbFbadxxf)(第20页/共49页例例10 求求 803.11dxx解解原式原式令令,3tx 则则dttdx23 当当0 x时时0 t当当8 x时时2 t 202311dttt 2021113dttt 2011)1(3dttt2021ln21 3ttt . 3ln3 tx 3第21页/共49页例例11 求求 aadxxa022).0(1解解原式原式

11、令令taxtan 则则tdtadx2sec 当当0 x时时0 t当当ax 时时4 t 402secsec1 tdtata 40sec tdt40tansecln tt ).21ln( 第22页/共49页例例12 证明证明 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf证证 令令tx 则则dtdx 当当0 x时时 t当当 x时时0 t 0)(sin()( dttft 0)(sin)(dttft00)(sin)(sindtttfdttf 0)(sindxxxf故故 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf00)(sin)(sindxxxfdxxf第23页/共49页定积分等式的证明定积分等式的

12、证明(1)作变量替换作变量替换:看两端积分限或被积函数看两端积分限或被积函数 作变量替换作变量替换.(2)如果两端积分限均为如果两端积分限均为:, 0 则则令令tx 2, 0 则则令令tx 2 4, 0 则则令令tx 4 (3)定积分是常数及定积分与积分变量符号定积分是常数及定积分与积分变量符号无关常被应用无关常被应用第24页/共49页补补例例若若)(xf是定义在是定义在),(内周期为内周期为T的的连续函数连续函数,证明证明.)()(0 TaaTdxxfdxxf证证 TaaTaTTadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00故故.)()(0 TaaTdxxfdxxfdxxfTaT)(

13、tTxdttfa)(0dxxfa)(0dxxfa)(0第25页/共49页类似类似:若若)(xf是定义在是定义在),(内周期为内周期为的的连续函数连续函数,证明证明.)()(0 nTaaTdxxfndxxf证证 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf200)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)(而而 kTTkdxxf)1()(tTkx )1( Tdttf0)( Tdxxf0)(), 2(nk anTnTdxxf)(tnTx adttf0)( adxxf0)(T TTdxxf32)(第26页/共49页所以所以 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf2

14、00)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)( adxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( adxxf0)( Tdxxfn0)( TTdxxf32)( Tdxxf0)(第27页/共49页例例13 (奇偶函数在对称区间上的积分奇偶函数在对称区间上的积分)设设)(xf在在,aa 上连续上连续,求证求证:(1)如果如果)(xf为奇函数为奇函数,则则 aadxxf; 0)(2)如果如果)(xf为偶函数为偶函数,则则 aaadxxfdxxf.)(2)(0证证 aadxxf)( aadxxf)( aadxxfdxxf00)()( aadxxfdxxf0

15、0)()( adxxf0)( 0)(adxxftx 0)(adttf adttf0)(故故第28页/共49页例例14 求求 22263.)coscos( dxxxx解解原式原式 202cos2 xdx 20)2cos1( dxx20)2sin21( xx .2 (1)如果如果)(xf为奇函数为奇函数,则则(2)如果如果)(xf为偶函数为偶函数,则则 aadxxf)( aadxxfdxxf00)()(0)()(00 aadxxfdxxf aaadxxfdxxf.)(2)(0第29页/共49页例例15 求求 40.)tan1ln( dxx解解原式原式 40coscossinln dxxxx 40c

16、oscos)2cos(ln dxxxx 40cos)4cos(4cos2ln dxxx 404040cosln)4cos(ln2ln xdxdxxdx 402ln dx 402ln dx. 2ln8 .4cosln)4cos(ln4040 txxdxdxx第30页/共49页例例16设设1021)(dxxg),()(xg在在内连续内连续, 1) 1 (g若若xdtttxgxf02)()(求求).1 (),1 (ff 解解令令utxxxduuxugduuxugxf0202)()()()(xduugx02)(xduuugx0)(2xduugu02)(第31页/共49页)(xfxduugx02)(xd

17、uuugx0)(2xduugu02)()(xf xduugx0)(2)(2xgxxduuug0)(2)(22xgx)(2xgxxduugx0)(2xduuug0)(2)(xf xduug0)(2)(2xxg)(2xxgxduug0)(2)(xf )(2xg ) 1 (f 1)(210dxxg2) 1 ( f第32页/共49页四四.定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理6.4如果如果)(xu及及)(xv在在,ba上导函数连上导函数连续续则则. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu证证)()()()( )()(xuxvxvxuxvxu 因因所所以以)()( )()

18、()()(xuxvxvxuxvxu bababadxxuxvdxxvxudxxvxu)()( )()()()(. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu则则故故第33页/共49页例例17求求.) 12(32dxexx解解原式原式)31() 12(32xedxxex32) 12(31xdxex4313xex32) 12(31xex32) 12(31xex32) 12(31)31(343xexdxxe394dxex394xxe394xe3274Cxexx32)131218(271C第34页/共49页例例18 求求 10.)1ln(dxxx解解原式原式.41 102)21(

19、)1ln(xdx102)1ln(21xx 2ln21 212ln21 1021121dxxx 10)111(21dxxx102)1ln(21xxx 第35页/共49页例例19 求求 202.sin xdxx解解原式原式.41162 2022cos1 dxxx 20)2cos(21 dxxxx 20202cos2121 xdxxxdx20241 x 162 2022sin4116 xdx202)2cos21(4116 x 20)2sin21(21xxd20)2sin21( 21 xx 2sin2120 xdx第36页/共49页例例20 求求 403.sec xdx解解原式原式 402secsec

20、 xdxx40)(tansecxxd40tansec xx 2 402sec)1(sec2 xdxx403sec2xdx) 12ln(sec2403xdx故故 原式原式).12ln(221 40tansectan xdxxx 402sectan xdxx40tansecln xx 第37页/共49页dxexxx11)(2003年考研真题年考研真题4分分)补充例题补充例题解解dxexxx 11)(dxexx102)(210 xexd10)(2xxe12 e).21(21 edxex10210)(2xe 例例21 求求dxexx 102第38页/共49页例例22 求求20.cossinsindxx

21、xx解解令令20.cossinsindxxxxtx2则则dtdx02.cossincosdtttt20.cossincosdtttt20.cossincosdxxxx20.cossinsin2dxxxx20.cossincossindxxxxx24第39页/共49页例例23 设设)(xf连续连续,且且, 1) 1 (f21)( dxxf20arctan21)2(xdttxtfx已知已知求求的值的值.解解 令令txu 2则则uxt 2dudt当当0txt 时时,2xu xu 时时故故xdttxtf0)2(xxduufux2)()2(xxduufx2)(2xxduuuf2)(故故xxduufx2)

22、(2xxduuuf2)(2arctan21x第40页/共49页故故xxduufx2)(2xxduuuf2)(2arctan21x上式两端对上式两端对x求导求导,得得xxduuf2)(2)()2(22xfxfx)(2)2(2xxfxxf41xx即即xxduuf2)(241xx)(xxf令令1x得得21)(2duuf23121即即21)( dxxf43第41页/共49页例例24 设设)(xf连续连续,且且20)(dxxfxxdttxtf0cos1)(求求的值的值.解解 令令txu则则uxtdudt当当0txt 时时, xu 0u时时故故xdttxtf0)(xduufux0)()(故故xduufx0

23、)(xduuuf0)(xcos1上式两端对上式两端对x求导求导,得得第42页/共49页上式两端对上式两端对x求导求导,得得即即令令得得即即xduufx0)(xduuuf0)(xcos1xduuf0)()(xxf)(xxfxsinxduuf0)(xsin2x1)(20duuf1)(20dxxf第43页/共49页例例25 设设)(xf且且在在 1 , 0上可导上可导,210.)(2) 1 (dxxxff证明证明:存在存在) 1 , 0(使使0)()(ff证明证明:作辅助函数作辅助函数)()(xxfxF则则) 1 () 1 (fF210.)(2dxxxf21)(2f)(f21, 0)(F故故)()(

24、xxfxF在在 1 ,第44页/共49页上满足罗尔定理上满足罗尔定理, 存在存在) 1 , 0() 1 ,(使使0)(F而而)()(xf xxf)(xF存在存在) 1 , 0(使使0)()(ff故故第45页/共49页设设)(xf与与)(xg在在1 , 0上的导数连续上的导数连续,且且. 0)(, 0)( xgxf证明证明:对任意对任意,1 , 0 a有有agafdxxgxfdxxfxg010).1 ()()()()()(2005年考研真题年考研真题8分分)证证axfxg0)()( )()(agaf )()(agaf )()(agaf )()(agaf )()1()()()(aggafagaf

25、).1()(gaf 左边左边, 0)0( f)()(agaf adxxgxf0)()(dxxgxf 10)()(dxxgxfdxxgxfa 010)()()()( 1)()(adxxgxf 1)()(adxxgaf 1)()(adxxgaf1)()(axgaf 第46页/共49页设设)(xf与与)(xg在在,ba上连续上连续,且满足且满足证明证明:),bax (2004年考研真题年考研真题8分分) xaxadttgdttf)()( babadttgdttf)()( babadxxxgdxxxf)()(证明证明: babadxxxgdxxxf)()( badxxgxfx)()(第47页/共49页)()(baxadttgtfxd badxxgxfx)()(dxdttgtfbaxa)()( )()(xadttgtfxba0)()( dxdttgtfbaxa故故 babadxxxgdxxxf)()(第48页/共49页