数学论文亚正定变换研究

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1、亚正定变换研究（孝感学院 数学系031114226，湖北 孝感 432100）摘要： 本文在欧氏空间中定义了亚正定变换，并给出了线性变换是亚正定变换的充分必要条件是它在标准正交基下的矩阵是亚正定矩阵.在此基础上进一步引入正定变换、共轭变换、正规变换等概念，进而探讨及证明了它们得出的相关结论.关键词：亚正定变换；正规变换；共轭变换；亚正定矩阵Study on the subpositive definiteness transformation ZHANG Lan(Department of mathematics,Xiaogan Universty, Xiaogan,Hubei 432100,

2、China)Abstract：This article defined subpositive definiteness transformation on Euclidean Space,and had given sufficient and necessary conditions of a linear transformation is a subpositive definiteness transformation is that the matrix under the orthonormal basis is subpositive definiteness. And fur

3、ther to introduction the concept of positive definiteness transformation,conjugate transformation, regular transformation.and futher to discuss and prove the related conclusion.Key words ：subpositive definiteness transformation; regular transformation ; conjugate transformation; subpositive definite

4、ness of matrix0 引言实对称矩阵和实对称正定矩阵（简称为正定矩阵）在矩阵理论与应用中起着重要作用.1970年, C.R.Johnson提出了更为广泛的一类矩阵，即亚正定矩阵概念1：定义1 设，有，则称为亚正定矩阵.复旦大学屠伯埙教授在此基础上建立了亚正定矩阵的基本理论，对亚正定矩阵的性质作了较为系统的研究，得到了很多新的结果，并把许多有关正定矩阵的结果推广到亚正定矩阵2，3.由于亚正定矩阵应用的广泛性，对它的研究一直是计算数学与矩阵论研究的热点之一，文献3-10对亚正定矩阵的性质、判断条件、应用等方面进行了进一步的探讨，所用方法基本上都是纯矩阵方法.我们知道，欧氏空间中通过对正交

5、变换、对称变换的讨论，使我们对正交阵、对称阵的研究更为深刻。现在提出问题：能否在欧氏空间中定义一种线性变换，使它与亚正定矩阵相对应，借助对这种特殊线性变换的研究，重新获得亚正定矩阵的有关结果，更重要的是，能深入的理解亚正定矩阵的几何意义，推广一些现有结果.本文将在这些方面作些尝试。我们首先定义与亚正定阵相对应的亚正定变换，进一步引入正定变换等概念，借助共轭变换，引入正规变换，并探讨它们的相关联系，获得一些有益结果。在本文中，我们用、等表示线性变换，用表示向量与的内积.1 亚正定变换首先，我们在欧氏空间中提出亚正定变换概念定义2 设为维欧氏空间的一个线性变换，若对，有，则称是的一个亚正定变换.下

6、面结果表明，欧氏空间中亚正定变换与文献1-3中亚正定矩阵相对应.定理1 设是维欧氏空间的一个线性变换，则是亚正定变换的充分必要条件是在的任一标准正交基下的矩阵是亚正定矩阵.证明 令是维欧氏空间的一个线性变换，为任一标准正交基，设在标准正交基下的矩阵为，即对，令，采用向量的形式记号，则，这里则，而，故 （1）（必要性）若是亚正定变换，则，由（1）式得，由及任意性，得知是任意的维非零列向量，于是为亚正定矩阵.（充分性）反之，若为亚正定矩阵，则，由（1）式得，于是是亚正定变换.下面我们讨论亚正定变换的一些性质.定理2 设是维欧氏空间的一个亚正定变换，则也是亚正定变换.证明 先证是可逆变换.反证法:若

7、是不可逆的，则存在，使，即此与为亚正定矩阵变换矛盾， 故是可逆变换.从而是满射的，因此必有,使,则故是亚正定变换.定理3 设是维欧氏空间的亚正定变换，则也是亚正定变换.证明 由于是亚正定变换，则对，有，且即对，有故为亚正定变换. 定理3证毕.定义312 设是欧氏空间的两个线性变换,在标准正交基下的矩阵为,若在下的矩阵为,则称为的共轭变换.定理4 若是维欧氏空间的亚正定变换，则的共轭变换也是亚正定变换.证明 令是维欧氏空间的一个亚正定变换,为的任一标准正交基，设在下的矩阵为，即，根据共轭变换定义，有因此，由定理1知，当是亚正定变换时，是亚正定矩阵，对，有，故，即为亚正定矩阵，于是，是亚正定变换.

8、注 由于与互为共轭变换，根据定理4知，线性变换为亚正定变换的充分必要条件是为亚正定变换.在欧氏空间中，有著名的Cauchy不等式：对任意，有当且仅当线性相关时,等号才成立.我们通过引入亚正定变换，将对这一重要不等式进行推广：定理5 设是维欧氏空间的一个亚正定变换，对任意，有 （2）当且仅当线性相关时，等号才成立.证明 当时,(2)式显然成立,以下讨论的情况:因为为亚正定变换，则对，有展开，得 （3）由于为亚正定变换，故，（3）式为二次式，故判别式即得 （4） 当线性相关时,等号显然成立.反过来如果等号成立,由上面证明过程可以看出,或者,也就是说线性相关.定理5得证. 推论1 设是一个欧氏空间，

9、则对中任意向量，有当且仅当线性相关时,等号才成立.证明 用表示恒等变换，则对，有，故即是亚正定变换，在定理5中，当亚正定变换取恒等变换时，有即得.以上结果表明，定理5是Cauchy不等式的一个推广.2 正规变换与正定变换定义4 设为维欧氏空间的一个亚正定变换，且是一个对称变换，则称是的一个正定变换.定义5 设为维欧氏空间的一个线性变换，为的共轭变换,若,则称为正规变换. 定理6 为维欧氏空间的一个线性变换,为亚正定变换的充分必要条件是为正定变换.证明 令为欧氏空间的一个线性变换，为一组标准正交基，设在下的矩阵为，则，从而根据的定义有且 令,从而 , 故 （5）令 ，这里 则从而 因此故是对称变

10、换.（充分性） 是正定变换，则有 即 由（5）式得 .从而 有.故为亚正定变换.（必要性） 为亚正定变换，由定理4得,也为亚正定变换.再由定理3，得为亚正定变换.又因为是对称变换, 故为正定变换.定理 6 设为亚正定变换，为正定变换，且，则为亚正定变换.证明 设为任一标准正交基,，在标准正交基下的矩阵分别为，B.由于为亚正定变换，即有.从而A为亚正定矩阵.而为正定变换，显然B为正定矩阵.而有，且，从而，.根据文献10的引理5，有AB为亚正定矩阵，从而.即.故为亚正定变换.定理 7 设是维欧氏空间的正规变换的充分必要条件是在的任一标准正交基下的矩阵是正规变换.证明 设在标准正交基下的矩阵为，则在

11、下的矩阵是，即，故有 （6） （7）由（6）（7）知，当时，有，即是正规矩阵。当时，显然也有，即是正规变换. 定理 8 设是维欧氏空间的正规变换，则是正交变换的充分必要条件是的特征值为.证明 （必要性）设，因，所以，即有 . （充分性）设正规变换在标准正交基下的矩阵为，则由定理7知为正规矩阵，故存在正交阵，使，其中为的个特征值，因，（） 即，所以，即 ，从而，所以为正交阵，故为正交变换.定理8证毕.引理 1 设是欧氏空间的正规变换，是对应于特征值的特征向量，则是对应特征值的特征向量.证明 设，则，于是，因所以 ，即，是对应于特征值的特征向量. 定理 9 在维欧氏空间中，正规变换属于两个不同特征

12、值的特征向量是正交的.证明 设，由引理1可知，因，故，所以 故正交.即定理9证毕.致 谢毕业论文终于顺利完成了，在此，要特别感谢我的指导老师胡付高副教授给予我的大力支持与悉心指导！参考文献1 Johnson C R. Positive Definite Matrices J . AmerMath Monthly, 1970 (77) : 259264.2 屠伯埙. 亚正定阵理论( I) J. 数学学报, 1990, 33 (4) :426471.3 屠伯埙. 亚正定阵理论( II) J. 数学学报, 1991, 34 (1) :91102.4 李炯生. 对称部分为半正定的方阵 J . 数学学报

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