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1、Gauss整数环的主理想及其商环研究(孝感学院数学系 031114328)摘要:本文给出了Gauss整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献1中提出的一个猜想: Gauss整数环的商环元素个数是.关键词:Gauss整数环;商环;素元;主理想;单位Research the Principal Ideal and Quotient Ring of Gaussian Integral DomainWang xiao-juan(Department of Mathematics,Xiaogan University 031114328)Abstract:This paper gives som
2、e proterties of Gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of Arch.1 with a new and elementary method. In light of the Gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is .Key words: Gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit.1
3、 介绍在文献1中,提出两个猜想 :(1) Gauss整数环的商环元素个数是;(2) 对于,显然为素元,问形式的素元是否为无穷多.文献1证明了:对 (或)以及但任意(或但任意)的情形有的元素个数恰为.近期有关Gauss整数环的商环所含元素的个数, 文献都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即=其中表示由所生成的主理想.本文以一种新的初等的方法明确了的元素个数就是,为了解决上述两个猜想,首先给出Gauss整数环的一些相关定义. 我们用表示集合的元素个数，的范数用来表示，表示Gauss整数环中的元素的共轭.下面给出Gauss整数环的一些相关定义：设表示整数环，表示虚数单位，则高斯整数环是指一切形如(
4、)的复数关于数的普通加法与乘法作成的环, 高斯整数环中的元素称为高斯整数.因此我们有以下定义：定义1 设Z表示整数环,则环称为Gauss整数环.定义2 若环的非空子集满足下面条件:（1）是一个子加群；（2） 对任意, ,元素都在中.此时我们称是环的一个理想.定义3 我们称环(/,+,.)为环关于理想的商环,其中/,= ,)+)=().(b+)=定义4 设为的一个主理想.2 性质Gauss整数环有下列显然的基本性质:命题1 的单位(可逆元)是.证明 设， 可逆，其逆元为，则两边取模并平方，得到由于，故，于是 ，或，或，或即的单位(可逆元)是.命题2 是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环证明 见文
5、献3中.命题34 中的素元当且仅当是不可约元。证明 设为中的不可约元，并有（），由命题2知：，使得令,因为是Zi的不可约元，故中必有一个是单位。若是单位，则即若是单位，由故可设，于是则，由于|及|，所以|,因此是中的素元。反之，设是zi的素元，若,则有|或|,不妨设|，可设,故，由是无零因子环，所以有，即得是单位，故是不可约的。命题 设，如果是z中的素数，则是Zi的素元；若是Zi中的素元则也是中的素元。证明设,由是Zi中的素数，若是Zi中的可约元，可设均不是Zi中的单位，由均不为1，与是Zi中的素数矛盾，所以是Zi中的不可约元， 由命题3知是zi中的素元。设，则由可约可知可约，因此是Zi中的素
6、元，则也是。命题 设是Zi中的素数且,当且仅当P中Zi中的可约元。由文献5中的高斯平方和定理即知命题5成立。3 商环定理1 ，这里记，则元素z所在的陪集记为:，简记为 引理1 设是环的一个理想，则，即的充分必要条件是定理1的证明当时，下证这个数在不同的陪集中，即 ,对,有，即设，有对任何,令即对任何0c都有 (反证法)假设，则有 由(2)式及得 m|ny, n|mx故，令并将其代入得 即再代入(1)式得 与上式0c矛盾当时有成立下证:对任意,必存在整数且使得 或 等式两边同乘以得 = = =其中在陪集中即 引理 设是一个环,与都是的理想,则,由环的第二同态基本定理得 对Gauss整数环,主理想
7、若,则 且=若主理想则显然且有下证:在中选取个元素: 其中 对中的任意两个不同的元素与:其中不全相同，即坐标 则下证:(反证法)假设,则这显然矛盾,故假设不成立即商环至少有个不同的陪集又对 由带余除法,设,其中则所以这说明与元素在同一个陪集中,而必为中的一个元素，故商环中元素的个数为.即 .4 素元对于Gauss整数环,它的元素可以分为两部分,一部分是整数,另一部分是形如的元素.下面讨论中的素元及形如的素元的个数.首先，中的非素数肯定不是中的素元，因为素元要求除本身及单位外无其它因子，故只有素数才可能是中的素元但素数在中是素元，在中则不一定如素数2，在可分解为,都不是的相伴元显然它不是中的素元
8、.引理 若，是素元,且 则应用反证法不难看出结论是显然的。 引理 设，若有，使得(是一整数)，则证明:由得到 即,必有整数使得：将方程组的解代入上式得：引理 若,且,则是素元的充要条件是：是素数。证明 （充分性）设有使得因是素数，或或是单位是素元（必要性）假设有自然数，使 ，另一方面，由于，而是素元或不妨设,即存在使得，根据引理1应有,进一步根据引理2，得有自然数使,代入，得到是素数.参考文献1王海坤.Gauss整数环诸类问题探J.工科数学.1999,15(3):6769.2王芳贵.关于Gauss整数环的商环元素个数的注记J.工科数学,2001,17(4):6263.3聂灵沼,丁石孙.代数学引
9、论M.北京:高等教育出版社,1988.4方辉. Gauss整数环及其商环的若干性质J.安徽教育学院学报,2002,20(6):1618.5冯克勤.代数数论M.北京:科学出版社,2000.6吴品三.近世代数M.北京:人民教育出版社,1979,127王向辉.整环Zi上一类子环的构筑J.忻州师范学院学报,2006,22(4):5152.8宋文青,郇正良. Gauss数环中的素元J.工科数学,2002,18(4):3234.9赵启林. Gauss整数环中素元的形成及剩余类环J.阜阳师范学院学报,2000,17(2)10姚光同,贾璐.关于环J.黑龙江大学自然科学学报,2004,21(3).11简国明.唯一分解环的又一充要条件J.韶关大学韶关师专学报.1991,1.12魏裕博,贺继康.高斯整数环中的单位和素J.榆林高等专科学校学报,2000,10(2).致谢感谢学院领导及老师对论文的建议与指导,特别是指导老师胡付高副教授在论文的写作过程中给予的悉心指导,在选题急查阅文献资料方面的帮助,并且在论文初稿完成后对其内容急格式进行了认真修改,在此,表示衷心的感谢!
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