D15极限运算法则07349实用教案

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1、说明(shumng): 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如(lr)，( P57 题 4 (2) )解答(jid)见课件第二节 例5类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 第1页/共23页第一页，共24页。定理定理(dngl)2 . 有界函数与无穷小的乘有界函数与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论(tuln) 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论(tuln) 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .第2页/共23页第二页，共24页。例例1. 求求解: 利用定理(dngl) 2 可知说明(shumng) : y = 0

2、 是的渐近线 .Oxy第3页/共23页第三页，共24页。二、二、 极限的四则运算极限的四则运算(s z yn sun)法则法则则有证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有(其中(qzhng)为无穷小) 于是(ysh)由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若第4页/共23页第四页，共24页。推论推论(tuln): 若若且则( P46 定理(dngl) 5 )利用(lyng)保号性定理证明 .说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示: 令第5页/共23页第五页，共24页。定理定理(dngl) 4 . 若若则有提示:

3、利用极限与无穷小关系(gun x)定理及本节定理2 证明 .说明: 定理(dngl) 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )例2. 设 n 次多项式试证证:第6页/共23页第六页，共24页。为无穷小(详见书详见书P44)定理定理(dngl) 5 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有其中(qzhng)设无穷小有界由极限(jxin)与无穷小关系定理 , 得因此 为无穷小, 第7页/共23页第七页，共24页。定理定理(dngl)6 . 若若则有提示: 因为数列是一种(y

4、 zhn)特殊的函数 ,故此(gc)定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .第8页/共23页第八页，共24页。 x = 3 时分(shfn)母为 0 !例例3. 设有分式设有分式(fnsh)函数函数其中(qzhng)都是多项式 ,试证: 证: 说明: 若不能直接用商的运算法则 .例4. 若第9页/共23页第九页，共24页。例例5 . 求求解: x = 1 时,分母(fnm) = 0 , 分子0 ,但因第10页/共23页第十页，共24页。例例6 . 求求解: 分子(fnz)分母同除以则“ 抓大头”原式第11页/共23页第十一页，共24页。一般有如下一般有如下(rxi)结果：结果：为非负

5、常数(chngsh) )( 如 P47 例5 )( 如 P47 例6 )( 如 P47 例7 )第12页/共23页第十二页，共24页。三、三、 复合函数的极限运算复合函数的极限运算(yn sun)法则法则定理(dngl)7. 设且 x 满足(mnz)时,又则有证: Aufau)(lim当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.第13页/共23页第十三页，共24页。定理(dngl)7. 设,)(lim0axxx且 x 满足(mnz)时,)(ax 又则有 说明(shumng): 若定理中则类似可得 )(lim0 xfxx第14页/共23页第十四页，共24页。例例7. 求求解: 令, 仿照(f

6、ngzho)例4 原式 =( 见P34 例5 )例4第15页/共23页第十五页，共24页。例例8 . 求求解: 方法(fngf) 1则令 原式方法(fngf) 22第16页/共23页第十六页，共24页。内容内容(nirng)小结小结1. 极限运算(yn sun)法则(1) 无穷小运算(yn sun)法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 要求分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第17页/共

7、23页第十七页，共24页。思考思考(sko)及练习及练习1.是否(sh fu)存在 ? 为什么 ?答: 不存在(cnzi) .否则由利用极限四则运算法则可知存在 ,与已知条件矛盾.解:原式2.问第18页/共23页第十八页，共24页。3. 求求解法(ji f) 1 原式 =解法(ji f) 2 令21则原式 =第19页/共23页第十九页，共24页。4. 试确定试确定(qudng)常数常数 a 使使解 :令则故因此(ync)第20页/共23页第二十页，共24页。作业作业(zuy)P49 1 (5)，(7)，(9)，(12)，(14) 2 (1)，(3) 3 (1) 5第六节 第21页/共23页第二

8、十一页，共24页。备用备用(biyng)题题 设设解:利用(lyng)前一极限式可令再利用(lyng)后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的欣赏(xnshng)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。时 , 就有。由定理 1 可知。说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形(qng xing) .。说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形(qng xing) .。推论 2 .。例2. 设 n 次多项式。且 B0 , 则有。由极限与无穷小关系定理 , 得。因此 为无穷小,。定理6 . 若。提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,。定理7. 设。说明: 若定理中第二十四页，共24页。