椭圆与双曲线的对偶性质总结

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1、解圆锥曲线问题常用方法 +椭圆与双曲线的经典结论 + 椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（ 1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r 2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2 。（ 2）双曲线有两种定义。 第一定义中， r1r22a ，当 r1r2 时，注意 r2 的最小值为c-a：第二定义中， r1=ed1，r 2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（ 3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲

2、线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y1),B(x 2,y2),弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，将点 A 、 B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（ 1） x2y21

3、(ab0) 与直线相交于A 、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，则有 x0y0k0 。a2b2a2b2x2y21(a0,bx0y0（ 2）b 20) 与直线 l 相交于 A 、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)则有bk0a2a22（ 3） y2=2px （ p0）与直线 l 相交于 A 、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p.【典型例题 】例 1、 (1) 抛物线 C:y2 =4x 上一点 P 到点 A(3,42 )与到准线的距离和最小 ,则点 P 的坐标为 _(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)

4、与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则 PHPF ，因而易发现，当 A 、P、AHQF 三点共线时，距离和最小。PB（ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。F解：（ 1）（ 2， 2 ）连 PF，当 A 、P、F 三点共线时， APPHAPPF 最小，此时 AF 的方程为 y4 20 ( x 1) 即31y=2 2 (x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为(1 , 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）21（ 2）（ 1 ,1）过 Q 作

5、 QR l 交于 R，当 B 、Q、R 三点共线时， BQ QFBQ QR 最小，此时 Q 点的纵4坐标为 1，代入 y2=4x 得 x=1，Q( 1,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆 x2y21的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。yAPH43（1） PAPF 的最小值为F0 Fx（2） PA2 PF 的最小值为分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题。解：（ 1） 4-5 设另一焦点为F ，则 F (-1,0)连 A F ,P FPAPFPA 2aPF2

6、a( PFPA ) 2aAF45当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时, PAPF 取得最小值为 4-5 。（ 2）3作出右准线 l ，作 PH l 交于 H，因 a2=4， b2=3， c2=1， a=2， c=1， e=1 ，2 PF1 PH ,即2 PFPH PA 2PFPAPH2当 A 、 P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为a24 13xAc例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1) 2+y 2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如y图中的 A 、M 、C

7、共线， B、D、M 共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”C（如图中的MCMD ）。MD解：如图，MCMD ，A0 B5x ACMAMB DB即6 MAMB2 MAMB8 （*）2轨迹方程为x2y2点 M 的轨迹为椭圆， 2a=8， a=4， c=1， b =1516115点评：得到方程（* ）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出( x1) 2y 2(x1) 2y 24 ，再移项，平方， 相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3 sinA, 求点 A 的轨迹方程。5分析：

8、 由于 sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R（ R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。2解： sinC-sinB= 3sinA2RsinC-2RsinB=3 2RsinA ABAC3 BC555即AB AC 6（*）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为x 2y291 （ x3）16点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（* ）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为3 的线段 AB 的两个端点在y=x 2 上移动， AB 中点为 M ，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：（ 1）可

9、直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x12)， B(x2，X 22) ，又设 AB中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（ 2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。( x1x2 ) 2( x12x22 )29解法一： 设 A(x 1 ，x12)， B(x2 ，x22)， AB中点 M(x 0， y0)则 x1x22 x0x12x222 y0由得 (x1-x2)21+(x 1+x 2)2=9 即 (x 1+x 2)2-4x1x2 1+(x 1+x 2)2=9由、得 2x 1x2=(2

10、x22-2y0 代入得(2x 0)2-(8x22=90) -2y 0=4x00 -4y0) 1+(2x 0) 4 y0 4x029， 4 y04x029( 4x021)91 2 9 1 5, y051 4x024x024x0214当 4x02+1=3即 x02时， ( y0 ) min5此时 M(2,5)2424yB法二： 如图，2MM 2AA2BB2AFBFAB3MA31310M1A1BxMM2，即MM14，22A2MB225， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。5 MM1M 到 x 轴的最短距离为44点评： 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1， x2，从而形成y0 关于 x0

11、的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A 、 B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点3F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。例 6、已知椭圆 x 2y 21( 2 m 5) 过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、mm1B 、 C、 D、设 f(m)=ABCD ,（1）求 f(m), （ 2）求 f(m) 的最值。分析： 此题初看

12、很复杂，对f(m) 的结构不知如何运算，因A、 B 来源于“不同系统” ， A 在准线上， B 在椭圆上，同样C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防f (m) ( xB x A )2( xDxC )22 ( xBx A ) ( xD X C )yDC2 ( xBxC ) ( x AxD )2 (xBX C )F1 0F2xBA此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（ 1）椭圆x2y22221中， a=m ， b =m-1， c =1，左焦点 F1(-1,0)m m 1则 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即 (m-1)x 2+my 2-m(m

13、-1)=0 得 (m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=0 (2m-1)x22设 B(x 1,y1),C(x 2,y2),则 x1 +x2=-2m(2 m 5)+2mx+2m-m=02m1f (m)ABCD2 (xBx A )( xDxC )2 (x1x2 ) ( x AxC )2 x1x222m2m1（ 2） f (m)2 2m 1 12 (11)2m12m1102当 m=5 时， f (m) min94 2当 m=2 时， f (m) max3点评： 此题因最终需求 xBxC ，而 BC 斜率已知为1，故可也用 “点差法” 设 BC 中点为M(x 0,y0),通过将 B、x0y0k0

14、 ，将 y0=x 0+1 ， k=1x0x01， x0mC 坐标代入作差，得m代入得m0，可见m1m12m 1xB2mxC12m4当然， 解本题的关键在于对是解此题的要点。f (m)ABCD 的认识， 通过线段在 x 轴的“投影”发现f (m)xBxC椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 外角 .2.PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切

15、.5.若 P0 (x0 , y0 )在椭圆x2y2x0 xy0 y1.a2b21上，则过 P0 的椭圆的切线方程是b2a26.若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆x2y2P1、 P2，则切点弦22 1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为是 x0xy0 yab1.a2b27.x2y21 (a b 0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2椭圆 22ab角形的面积为 S F PF2b2 tan .128.椭圆 x2y21（a ）的焦半径公式：a2b2b0| MF1 | aex0 , | MF2 |aex0 ( F1 ( c,0) ,F2 (c,0) M ( x0 ,

16、 y0 ) ).P1P2 的直线方程，则椭圆的焦点9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A 1、 A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A 1Q 交于点 N，则 MF NF.11.AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦， M (x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOMkABb2a2b2a2 ，即 KABb2 x0。a 2 y0x2y2x0 x y0 y x02y02

17、12.若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆 a2b21内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是a2b2a2b2 .13.若 P0 (x0 , y0 ) 在椭圆x2y2x2y2x0 x y0 y2b21内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是2b2a2b2 .aa双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2.PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角， 则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .4.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支

18、；外切：P 在左支）55.x2y21x0 x若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2（ a 0,b 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是a2a26.x2y21（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2a2切点弦 P1P2 的直线方程是x0 xy0 y1.x2y2a2b27.1（ a 0,b o）的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为双曲线上任意一点双曲线b2a2则双曲线的焦点角形的面积为S FPF2b2co t .12x2y28.双曲线 a2b21（ a 0,b o）的焦半径公式： ( F1( c,0) , F2

19、(c,0)y0 yb21.P1、 P2 ，则F1PF2，当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1|ex0a , | MF 2 |ex0 a .当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1|ex0a ,| MF2 |ex0 a9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MFNF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、 Q, A 1、 A2 为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.11.A

20、B是双曲线x2y21 （ a 0,b 0 ）的不平行于对称轴的弦，M ( x0 , y0 ) 为 AB的中点，则a2b2KOM K ABb2 x0 ，即 K ABb 2 x0 。a 2 y0a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )在双曲线x2y21 （ a 0,b 0 ） 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是a2b2x0 x y0 y x0 2y0 2a2b2a2b2 .13.若 P0 (x0, y0 )在双曲线x2y21 （ a 0,b 0 ） 内 ， 则 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是a2b2x2y2x0 xy0 ya22a2b2 .b椭

21、圆与双曲线的经典结论椭圆1.椭圆x2y21（ a b o）的两个顶点为 A1 (a,0), A2 ( a,0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1 、P2 时a2b2A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是x2y21.a2b2x2y 22.1 (a 0, b 0)上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，过椭圆b2a2则直线 BC 有定向且 kBCb2 x0 （常数） .a2 y03.若P为椭圆x2y21 （ a b 0 ）上 异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点,PF1 F2,a2b26PF2 F1actanco t.，则ca224.设椭圆

22、x2y21（ a b 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2a2b2F1PF,PF1 F2,F1 F2Psinc中，记2，则有sinsine.a5.若椭圆x2y 21（ a b0）的左、右焦点分别为F1、 F2，左准线为L ，则当0 e21时，可a2b2在椭圆上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 .6. P 为椭圆x2y21 （ a b 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则a2b22a | AF2 |PA| PF1 | 2a | AF1 |,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号

23、成立 .7.椭 圆(x x0 ) 2( y y0 ) 21 与 直 线 Ax By C0有公共点的充要条件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0C)2 .8.已知椭圆x2y21 （ a b 0 ）， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点，且OPOQ .（ 1）a2b2111122的最大值为4a2b2S OPQ 的最小值是a2b22 .|OP |22a2b2 ; （ 2）|OP| +|OQ|a2b2 ;（3）a2b|OQ |9.过椭圆x2y21（ a b0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交a2b2|PF |ex 轴于 P，则.|MN |210.x2

24、y21（已知椭圆 a2b2P( x0 ,0) , 则a2b2a11.设 P 点是椭圆x2y2a2b2(1) | PF1 | PF2|2b2cos1ab 0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点a2b2x0.a1（ ab 0）上异于长轴端点的任一点,F1 、 F2 为其焦点记F1PF2，则.(2) S PF Fb2 tan .12212. 设 A、B是 椭圆x2y21（ a b 0 ） 的长 轴 两 端 点， P 是椭 圆上 的 一 点 ，PAB,a2b2PBA,BPA， c、 e分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1)|PA|2ab2 | cos|a2 c2co

25、s2.(2)tan tan2.(3)S2a2b21 ePABb2a2 cot .已知椭圆 x213.y21（ ）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交a2b2ab07于 A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦

26、三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1.x2y21 （ a 0,b 0）的两个顶点为 A1 (a,0) , A2 (a,0)，与 y轴平行的直线交双曲线双曲线b2a2于 P1、P2时 A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程是x2y21.a2b2x2y22.过双曲线1 （ a 0,b o）上任一点A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于a2b2b2 x0B,C 两点，则直线BC 有定向且 kBC（常数） .

27、a2 y03.x2y21（ a 0,b 0 ）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点 ,若 P 为双曲线2b2aPF1F2,PF2 F1，则 catanco t（或 catanco t） .ca22ca224.设双曲线x2y21（ a 0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，a2b2在 PF1F2 中，记F1 PF2,PF1F2,F1F2 Psinc，则有(sinsin)e.a5.若双曲线x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、 F2，左准线为 L ，则当 1 e 2 1a2b2时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距

28、离d 与 PF2 的比例中项 .6.P 为双曲线x2y2,F1,F2为二焦点， A221 （ a 0,b 0 ）上任一点为双曲线内一定点，则ab|AF2|2a|PA| PF1 |,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y轴同侧时，等号成立 .7.双 曲 线x2y21 （ a 0,b 0 ） 与 直 线 AxByC0有公共点的充要条件是a2b2A2 a2B2b2C 2 .88.x2y21（ b a 0）， O 为坐标原点， P、 Q 为双曲线上两动点，且OPOQ .已知双曲线2b2a4a2 b2a2b2（ 1）111122的最小值为;（ 3） S OPQ 的最小值是2

29、 .22a2b2 ;（ 2）|OP| +|OQ|222|OP | |OQ |b ab a9.x2y21（ a 0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN的过双曲线b2a2垂直平分线交x 轴于 P，则 | PF |e .|MN |210.x2y21（ a 0,b 0） ,A 、 B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相已知双曲线2b2a交于点 P(x0 ,0) ,则 x0a2b2a2b2或 x0.aa11.x2y21（a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记F1PF2，设 P 点是双曲线b2a2则 (1) | PF1 | PF2 |

30、2b2.(2) S PF Fb2 cot .1cos12212.设 A、Bx2y21 （ a0,b 0）的长轴两端点， P是双曲线上的一点，PAB,是双曲线b2a2PBA,BPA， c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)| PA|2ab2 | cos| a2.c2cos2 |(2)tantan12.(3)S PAB2a2b2eb2a2 cot .13.x2y21（ a0,b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲线右焦点F 的直线与已知双曲线2b2a双曲线相交于A 、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).( 注 : 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.19.9