西北师范大学本科毕业论文数学专业

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1、西北师范大学本科毕业论文（设计）题 目 低秩矩阵的特征多项式和最小多项式 姓 名 学 号 专业年级 数学与应用数学 2006级 指导教师 职 称 2009年4月20日目 录绪论(1) 1 相关概念与记号(1)1.1 概念(1)1.2 本文中相关记号(1)2 矩阵的满秩分解(2)3 降阶求特征多项式(3)4 降阶求最小多项式(5)5 最小多项式的几种求法及比较(9)5.1 根据特征多项式求最小多项式(9)5.2 根据不变因子求最小多项式 (10)5.3 根据Jordan标准形求最小多项式(11)5.4 根据线性相关求最小多项式 (12)5.5 最小多项式求法的综合比较 (13)6 最小多项式的简

2、单应用 (14)参考文献 (16)低秩矩阵的特征多项式与最小多项式摘 要矩阵的特征多项式和最小多项式在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数和矩阵方程中都有很重要的作用，因此如何求矩阵的特征多项式和最小多项式极为重要本文先从目前已有的矩阵的满秩分解入手，通过特殊情况下的满秩分解求出矩阵的特征多项式，再推广到一般，从而得到了矩阵特征多项式的一种降阶求法接着根据最小多项式的定义和矩阵乘法的原则，同样得到了一种求最小多项式的降阶公式，这样在很大程度上简化了求低秩矩阵的特征多项式和最小多项式的计算量最后，本文列举了目前已有的四种最小多项式的四种求法，并结合本文的最小多项式的求法作了一个综合的比较【关键词】矩阵

3、 满秩分解 特征多项式 最小多项式The Characteristic Polynomial and the Minimal Polynomialof the Low-rank MatrixAbstractThe characteristic polynomial and the minimal polynomial play a great role in the matrix similarity, Jordan canonical form, matrix function, matrix equation. So how to seek them is very important.

4、Firstly, from the full-rank decomposition of the matrix, we can get the characteristic polynomial in the special case of full-rank decomposition, and it is the same in the general case, so we get a method of seeking characteristic polynomial by reducing the order of the matrix. Then according to the

5、 definition of minimal polynomial of matrix and the principle of matrix multiplication, we also get a method of seeking minimal polynomial by reducing the order of the matrix. To a great extent, we have less computation about the characteristic polynomial and the minimal polynomial of the low-rank m

6、atrix. Finally, we list the four exiting methods of seeking the minimal polynomial. Combining with the method of the minimal polynomial in the paper, we make a comprehensive comparison.【Key words】Matrix Full-rank decomposition Characteristic polynomial Minimal polynomial引言矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中的基本概念，它

7、在矩阵相似、若当标准形、矩阵函数、自动化控制等领域都有重要的作用因此，如何求特征多项式和最小多项式至关重要关于特征多项式，对某些特定的矩阵（如对称矩阵），国内外一些学者研究了一系列求特征多项式的方法关于最小多项式求法的研究，目前主要是采用如下四种方法：第一，根据特征多项式的典型分解求最小多项式；第二，根据特征矩阵的最后一个不变因子求最小多项式；第三，根据标准形求最小多项式；第四，根据线性相关求最小多项式本文从一习题中想到：,分别是和矩阵，有结论=，那么当时，求矩阵的特征多项式可以转化成求一低阶矩阵的特征多项式，这样就得到了求特征多项式的一种降阶求法同样，我们是否也可以求出矩阵与矩阵最小多项式的

8、关系呢？1 相关概念与记号1.1 概念定义 若A是数域上一级矩阵，是一个文字，矩阵 的行列式称为A的特征多项式定义 数域上次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式定义 矩阵的秩等于它的行数的矩阵称为行满秩矩阵定义 矩阵的秩等于它的列数的矩阵称为列满秩矩阵定义 若阶矩阵A的秩为，为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，若有A=BC，则称BC为A的满秩分解1.2 本文中相关记号表示矩阵的最小多项式表示矩阵的特征多项式表示矩阵的秩2 矩阵的满秩分解用矩阵的行列初等变可将矩阵化为标准形=(其中是阶单位矩阵，），那么存在可逆矩阵与，使得，则，就得到了矩阵的分解，我们有如下定理：定理 设阶矩阵的秩为

9、，证明：存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得证明 任一阶矩阵都可通过初等行列变换化为标准形，其中是阶单位矩阵，则存在阶可逆矩阵和，使得，即 （1）由于是由的前列构成的矩阵，设（，）其中与分别是矩阵与（）矩阵，则 （2）而是可逆的，则的前列线性无关，故，即是列满秩矩阵同理，令其中与分别是矩阵与（）矩阵，则 （3）而是可逆的，则的前行线性无关，故，即是行满秩矩阵由（），（2）和（3）可得的满秩分解式 这样，我们就将任一矩阵满秩分解为两个矩阵的乘积3 降阶求特征多项式我们先从满秩分解中的特殊情况=为标准形的时候来求其特征多项式设行满秩矩阵=（，），其中是阶矩阵，则由=得 = =而=，则=这样，当时，求矩

10、阵的特征多项式就转化成求阶的的特征多项式，给出了求特征多项式的一种降阶求法当=为标准形的时候可以降阶求特征多项式，那么不是标准形时是否也可以采用同样的方式降阶求特征多项式呢？引理 相似矩阵具有相同的特征多项式定理 设秩为的阶矩阵的满秩分解为，证明：=证明 由于秩为的矩阵可化为标准形，故存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得 = （4）令矩阵 =(,) （5）其中是阶矩阵用（4）式两边分别左乘（5）式两边得=由引理得= （6）用样，用（5）式两边分别左乘（4）式两边得 =故 = （7） 则由（6）式和（7）得，特征多项式的降阶公式 = (8) （8）中的为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，那么是否对任意的为矩

11、阵，为矩阵，都有=成立呢？推论 对任意的为矩阵，为矩阵，都有=证明 因为=所以= = （9） 又因为=所以= = （10）综合（9）和（10）式有=即=例1 求阶对称矩阵=的特征多项式解 = = =（）4 降阶求最小多项式之前，我们由的满秩分解，找到了的特征多项式与的特征多项式的关系，从而找到了特征多项式的降阶公式那么，由，是否还能发现的最小多项式和的最小多项式之间的关系呢？定理3 设秩为的阶矩阵的满秩分解为，令，那么证明 由于，则=, (11)由于，则是阶矩阵，且对任一多项式, 由（11）式可得多项式与之间的关系式： （12）由(12)式可得的零化多项式与的零化多项式之间的关系： 若，则必有

12、由此可进一步发现的最小多项式与的最小多项式之间的关系令=，则，故有=即是的零化多项式因此，整除，即 （13） 若令=是的特征多项式，则，故有 而，故有 （14）综合（13）式和（14）式，我们有 这样我们就找到了通过求的最小多项式来求的最小多项式例2 求矩阵的特征多项式和最小多项式解 用行初等变换将化为阶梯矩阵则的秩为2，令则是的行满秩矩阵，其左边的子块是阶单位矩阵令可知=则的特征多项式因为，且一次多项式都是的非零化多项式，故的次数必大于1，所以有又因是非满秩的，故零是它的一个特征值，所以必须包含一次因式，由此可以验证的最小多项式例3 求矩阵的特征多项式和最小多项式解则，令令其中的1，2，4列

13、组成单位矩阵，则有由于，则= （）（）故由于，故或，易证得，而是非满秩的，含有一次因式，因此，5 最小多项式的几种求法及比较5.1 根据特征多项式求最小多项式令其中，互异，均大于或等于1，则必有 其中1，, 这样我们得到了求的方法：先求出，再将分解成不同的一次因式的幂积，由低次向高次逐个试验，求出使零化的次数最低的这个幂积例4 设，求的最小多项式解 的特征多项式为设的最小多项式为，因为所以因此，的最小多项式为5.2 根据不变因子求最小多项式 我们知道，方阵的最小多项式等于的特征矩阵最后一个不变因子，因此，当我们把化为标准形后就可以求出的最小多项式例5 求矩阵的最小多项式解故的最小多项式5.3

14、根据标准形求最小多项式矩阵的最小多项式，其中是的相异的特征值，是在的标准形中包含的各分块的最大阶数例6 求矩阵 的最小多项式解 由的特征多项式知有两个不同的特征值：，（均为三重的）容易求得，所以对于的特征向量仅有一个，这表示对应于的块的数目是1 又由于，对应于的特征向量有2个，因此对应于的块共有2块故的标准形为可见中包含的块的阶数，包含的块的最大阶数，因此的最小多项式为5.4 根据线性相关求最小多项式设为上任一阶矩阵，可看作为维向量空间中的向量，进而矩阵序列可看作为中的一个向量组，由哈密顿凯莱定理可知，它们一定是线性相关的令为使矩阵序列是线性相关的最小次数，即线性相关，则存在个不全为零的数，使

15、得其中，否则，这与对的假设矛盾，所以记，则如果定义多项式为那么一定有且没有次数小于的非零多项式零化，故为的最小多项式以上实际上给出了求的最小多项式的一种方法让从开始，依次从矩阵方程，求解首次有解时，解对应的多项式为的最小多项式例7 求矩阵的最小多项式解 令，显然无解。令，展开即为解得与无解令，展开即为解得 故矩阵的最小多项式为5.5 最小多项式求法的综合比较方法一是根据特征多项式的典型分解，先求出特征多项式，再将特征多项式分解成不同一次因式的幂积，由低次向高次逐个试验，来求出使零化的次数最低的这个幂积，这个方法是根据最小多项式的定义来求的，也是最原始最基本的方法，在逐个的试验过程中计算量比较大

16、方法二是应用的定理特征矩阵最后一个不变因子即矩阵的最小多项式，这个方法总体相比前面的方法一来的简便快捷，它不需要求出特征多项式，只是在对特征矩阵作初等行列变换的过程中比较繁琐方法三是应用了标准形的一个定理，先求出特征多项式，再算出特征值对应的矩阵的秩,得到矩阵的标准形，即可求出矩阵的最小多项式，运用起来比较方便，但是对这个定理的理解有些难度方法四是根据线性相关来求最小多项式，它不需要算出特征多项式，但是涉及到矩阵乘积的运算，且同样需要逐个试验，总体很复杂本文研究得到的方法依然是建立在最小多项式的定义基础上来求，但降低了逐个试验的范围，在需要算出特征多项式的基础上，本文研究的方法要来的快捷和简便

17、不管哪一种方法，它让我们更加清晰的了解最小多项式，并更多的认识到和最小多项式相关知识的联系，扩宽了我们的视野6 最小多项式的简单应用已知矩阵和多项式，求设是任意多项式，为的最小多项式，用除，得商式和余式，即，其中或者的次数小于的次数。由于，故得这样根据来求，要比直接计算简单些例8 设，其中矩阵，求解 的特征多项式=由于没有重根，故根据带余除法，可计算得故=结论 本文通过满秩分解，得到了特征多项式的降阶公式=，再根据最小多项式的定义和矩阵乘法的原则，得到了最小多项式的降阶求法，在一定程度上降低了求矩阵特征多项式和最小多项式的计算量本文同时将目前主要的几种最小多项式的求法作了列举和比较，并给出了最

18、小多项式的简单应用参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数M第三版北京：高等教育出版社，20033283552 邱森，朱林生.高等代数探究性课题集M第一版武汉：武汉大学出版社, 2008.86933 苏育才, 姜翠波，张跃辉.矩阵理论M第一版北京：科学出版社, 2006.821014 吴昌悫, 魏洪增矩阵理论与方法M第一版北京：电子工业出版社, 2006.46685 刘丁酉. 矩阵分析M第一版武汉：武汉大学出版社,200378986 史荣昌, 魏丰矩阵分析M第二版北京：北京理工大学出版社, 2005.721087 赵礼峰矩阵最小多项式求法与探讨J淮北煤师院学报, 1993,

19、，14(3)：60658 夏必腊方阵最小多项式的性质与求法J高等数学研究, 2006, 6(3)：34399 高金泰矩阵最小多项式的性质及它的一种初等求法J锦州师范学院学报, 2002, 23(3)：606110 王莲花，王建平，李艳华等最小多项式的性质及其应用J河南教育学院学报，2004, 23(2)：121311 B Yu, T Kitamoto. The chance method for computing the characteristic polynomialof a polynomial matricJ, Trans Fundamertals, E83-A(2000): 140

20、5141012 C R Rav, S K Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its ApplicationsM. John wileyand Sons, 1971.13 P Lancaster, M Tismenetsky. The Theory of MatricesM. Second Edition. Academic Press, 1985.14 R A Horn, C R Johnsom, Matrix AnalysisM. Cambridge University Press, 1985.15 R Bellman. Introduc

21、tion to Matrix AnalysisM. Second Edition. The Rand Corporation, 1970.致 谢论文基本如期完成，回首写作过程，有很多知识的获取，更多的是老师和同学的感激之情。论文指导老师对我要求比较严，起初有些埋怨，但当我论文基本完成时，我渐渐感觉到老师对我的一片用心良苦，在这里，我对她表示深深的谢意。她让我知道了更多的论文的格式要求，让我知道了科学态度的严谨，让我知道了对别人论文的敬意。同时，我同学也给了我很多的帮助。不懂向同学请教时，同学耐心的为我讲解，修改论文的时同学为我反复的修改。最后，我对大学四年里教过我的老师及我的同学由衷的说一声谢谢。