恒成立与存在性问题的解题策略

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1、f (X)在D上的最小值fmin (X) f(X) B在D上恰成立，则等价于 f (X)在D上的最大值fmax(X)4、设函数g X，对任意的 X1a , b，存在X2，使得fXig X2，则min Xgmin X恒成立问题”与 存在性问题”的基本解题策略一、 恒成立问题”与 存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：a f x恒成立af X max ；afx恒成立a fX min2、能成立问题的转化：a f x能成立af X min ；afX能成立a fXmax3、恰成立问题的转化：a fX在 M 上恰成立af X的解集为上恒成立M一、a f x在CrM

2、上恒成立等价于另一转化方法：若 x D, f (x) A在D上恰成立,若x D,5、设函数f X 、g x，对任意的X1a , b，存在X2c, d，使得f X1gX2，则f max Xg max X6、设函数f x、g X ,存在X1a , b , 存在X2c, d,使得f X1gX2,则f max Xg min x7、设函数f X、g X ,存在X1a , b ,存在X2c , d,使得f X1gX2,则f min Xg max x&设函数f X、g x，对任意的X1a , b，存在X2c, d ,使得f X1gX2设 f(x)在区间a,b上的值域为A，g(X)在区间c,d上的值域为B,则

3、A B.9、若不等式f X g X在区间D上恒成立，则等价于在区间 数y g x图象上方；f X和图象在函d上函数y10、若不等式f X g X在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yf x和图象在函数y g x图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立 ；某函数的定义域为全体实数 R;某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于 a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维

4、的灵活性、创造性等方面起 到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直 接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立 问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问 题的。(一) 两个基本思想解决恒成立问题”思路仁mf(x)在xD上恒成立mf(x)max思路2、mf(x)在xD上恒成立mf(x)min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过

5、习题的实际，采取合理有 效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函 数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二) 、赋值型一一利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得例1.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 对称，那么a=().8A.1B.-1C . 2D. - 2 .略解：取x=0及x= ，则f(0)=f

6、()，即a=-1，故选B.44此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想例(备用).由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1) 4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b 4 定义映射 f: (a1,a2,a3,a4) b1+b2+b3+b4,则 f: (4,3,2,1) 宀()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0，贝V a4=1+b什b2+b3+b4,又 a4=1,所以 3+b2+b3+b4 =0，故选 D(三) 分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型： 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给

7、定一次函数y=f(x)=ax+b(a丰0若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象(直线) 可得上述结论等价于作为常数显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 , 2内关于a的一次函数大于 0恒成立的问题解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a| 2时恒成立,设 f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有:f ( 2)0刚 x24x 30 x3或x1即 解得：亠f (2)0 x210x1 或x 1 x3.即 x (a, 1) U (3,+ a)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段

8、两端点均在x轴上方(或下方)即可2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方 法，在今后的解题中自觉运用。(1) 若二次函数y=ax2+bx+c(a工大于0恒成立，则有a 0且0(2) 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1：设f (x)ax2 bxc(a0)在R上恒成立，(1) f (x)0在 xR上恒成立a0且0;(2) f (x)0在xR上恒成立a0且0。类型2：设f(x)ax2 bxc(a0)在区间,上恒成立bbb(1 )当a 0时,f(x) 0在x ,上恒成立2a或2a 或 2af()00

9、f( ) 0f (x)0在x,上恒成立f()0f()0(2) 当a 0时,f(x) 0在 x ,上恒成立f()0f()0bbbf(x)0在x,上恒成立2a或2a或2af()00f( ) 0类型3：设f(x) ax2 bx c(a 0)在区间(-a ,上恒成立f(x)0 a0 且 且 f( )0f(x)0 a0 且 且 f( )0 a0, 0 或-b/2a0f(x)0 a0, 0 或-b/2a 且 f( )g(a)恒成立，则g(a)f(x)min；若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x) max.(其中f(x) max和f(x) min分别为f(x)的最大值和最小值)2 2 2例5.

10、已知三个不等式 x 4x 30，x 6x 80，2x 9x m 0 .要使同时满足的所有 x的值满足，求 m的取值范围.略解：由得2x -注：本题中若将 对任意实数X，不等式x 1 x 2 a恒成立，求实数a改为对任意实数X，不等式x 1 |x 2 a恒成立，求实数a，同样由图象可得a3;对任意实数x,不等式x 1 x 2 a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得 a3. 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形， 再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围例8.设常数a R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.

11、若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，贝Ua的取值范围为。解：1) a=0x=a/2=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2=x=0 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a ,最小值为-a=2则与g(x)有父点，即：-2=a0x=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0=x=a/2 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a=2时与g(x)有交点，即：0a=2综上所述，-2=a=2 时 f(x)=3|x|+|2x-a| 与 g(x)=2-x 有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题 策略，

12、在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。(一)换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是当t为何值时，不等式恒成立这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：。解得 ，即有易得。2、设点P (x, y)是圆x2 (y 1)2 4上任意一点，若不等式 x+y+c 0恒成立，求实数c的取值范围。(二)分离参数，化归为求值域问题成立，求m的范围。3、若对于任意角总有解：此式是可分离变量型，由原不等式得又，则原不等式等价变形为恒成立。根据边界原理知,必须小于 f ()2COScos 2的最小值

13、，这样问题化归为怎样求的最小值。因为f ()2COScos即时，有最小值为(三)变更主元，简化解题过程0,故4、若对于，方程都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则由原方程知，得，即解之得5、当a 1时,若不等式x2 (a6)x 9 3a0恒成立，求x的取值范围。(四) 图象解题，形象直观6、设x (0,4，若不等式.x(4 x) ax 恒成立,求a的取值范围。解：若设y!. x(4 x)，则为上半圆。设，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的

14、取值范围为 。7、当x (1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。解：设yi=(x-1)2,y2=logax,则yi的图象为右图所示的抛物线要使对一切x (1,2),yi1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于yi的函数值。故 loga21,10,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y1=x2+4x= ( x+2) 2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于l

15、1和|2之间。(包括11但不包括12)当直线为l1时，直线过点(-4，0)，此时纵截距为-8-6a-4=0,a= 2 ;22当直线为12时，直线过点(0, 0),纵截距为-6a-4=0 , a= / a的范围为2,-)33(五) 合理联想，运用平几性质9、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，求 a的范围。分析：因为题设中有两个参数,用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A (0, 1)，而曲线为圆，圆心C (a, 0),要使直线恒与圆有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解：,C (a, 0),当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A(0,1

16、)必在圆上或圆内，即点A(0,1)到圆心距离不大于半径，则有得。(六) 分类讨论，避免重复遗漏10、当时，不等式恒成立，求x的范围。解：使用的条件，必须将 m分离出来，此时应对进行讨论。当时，要使不等式恒成立，只要，解得时，要使不等式恒成立，只要时，要使恒成立，只有综上得解法2:可设，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将 m视为主变元，即将元不等式化为:m(x21)(2x 1)0 ,；令2f(m) m(x 1)(2x1)，贝U 2 m 2时，f(m) 0恒成立，所以只需f(2)2) 00即2(2X1) (2x 1) 0，所以X的范围是x J 7 ,-3)。此类题本质上是利用

17、了2(x21)(2x1)022一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.2当1 x 3时，x 32 36，当2 x22故实数a的取值范围:a、6(七)构造函数，体现函数思想12、( 1990年全国高考题)设为任意给定的自然数，且，如果围。解：本题即为对于，有这里有二种兀素交织在一起,结构复杂，难以下手,-，即x -.6时等号成立。x来，得，其中a为实数，n当时有意义，求a的取值范恒成立。若考虑到求a的范围，可先将a分离出对于恒成立。11、当1 x 3时，不等式X 2ax 60恒成立，求实数 a的取值范围。构造函数,则问题转化为求函数上的值域。由于函

18、数在上是单调增函数，则 在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。(八)利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,n fa,ga ，则fa m且g a n,不等式的解即为实数 a的取值范围。1例13、当x 一,3时，loga x 1恒成立，求实数a的取值范围。3解: Q 1 ioga x 1(1)当i a11时，1axa,、 1 1 则冋题转化为，3, a3aa 31 a13a 31a(2)当i 0a 1时，ax11 1,则问题转化为,3a,3c10a-a3a133a综上所得:01 a 一或a3四、其它类型恒成立问

19、题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、已知函数f (x)2x 2ax 1 , g(x)a其中ax0, x0.对任意 x11,2, x22,4，都有 f(xjg(X2)恒成立,求实数a的取值范围;【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数f(X)和g(X)分别求最值，即只需满足fmin(X)gma3即可.简解：令 n(a)=gmax(x)=a/2 ；令 m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a) 2+1-a2,故对称轴 x=a1，即或 0a1 时，m(a)= f min(x)=f(1)=2-2a , 的范围)从而得a的范围：0a2 时，m(a)= f min(x)=f(2)=5-4a

20、，由 m(a)n(a) 而得a无解：；由m(a)n(a)解得a4/5,(注意到a解得an(a)解得 aa ,(注意到a的范围)从而得4综合(1) (2) (3)知实数a的取值范围是:a的范围1 a2、已知两函数f(X) X2 , g(x) 1f (X1) g X2，则实数m的取值范围为_(0, 4/5) U 1,2Xm ,对任意X10,2 ,存在X21,2 ,使得解析：对任意X10,2 ,存在X21,2 ,使得f (X1) g X2等价于g(x)1 2 1的最小值m不大于f (x) X2在0,2上的最小值0，既一m44题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数 题型三、分

21、离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来) 题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) 五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若在区间D上存在实数X使不等式A成立,则等价于在区间 mX1214m在1,2上maxX minB.1、存在实数x，使得不等式x 3|x 1 a2 3a有解，则实数a的取值范围为解:设f XX 3 x 1，由f X32 3a 有解，a 33 f X min ,又x 3 x1x 3x 14 , a2 3a 4，解得 a 4或a1。1、求使关于p的不等式x2px1 p 2x 在 p -2,2有解的 x的取值范围解:即关于p的不等式(X1)

22、px2 2x 10有解,设f px 1 pfp在-2,2上的最小值小于0。若在区间D上存在实数X使不等式B成立,则等价于在区间上的D故o2 X2x 1，则(1)当X1时，f(p)关于p单调增加， 当x1时，f(p)关于p单调减少，故当 X=1 时，f(p)=0,故 fmin(p)=f(p)0 不成立。 综合(1) (2) (3)知实数x的取值范围是： 例、 立；fmin(p)=f(-2)=x 2-4x+30,解得 1X3； fmin(p)=f(2)=X 2-10,解得-1X恢2|对任意实数a -1,1恒成命题Q:不等式|x-2m|-|x|1(m0)有解；若命题 P和命题Q都是真命题，求(1)由

23、 P真得：|X1X2 | . a28，注意到 a在区间-1,1, |X1x? |max 3,由于|m2-5m-3| i|xx21对任意实数a -1,1 恒成立，故有|m2 5m 3|凶x? |max 3解得：m6 或 0w m1(m0)有解，得(|x_2m|_|x|) max=2m1,解得：m1/2 由于(1)( 2)都是相公命题，故m的值范围：1/26.0对于x 1,)恒成立，求实数 a的取值范围(2)若不等式4x2x0对于,3恒成立，求实数x的取值范围.分析:(1 )由 4x2x0 得:2x2对于x 1,)恒成立，因2x2x1-，所2以2x22 2，当2x2x2时等号成立所以有a 2、2(

24、2)注意到42x 20对于a (,3恒成立是关于a的一次不等式.不妨设f(a)2x a (4x2)，则f (a)在a (,3上单调递减，则问题等价于f(3)0，所以4x 3 2x 202x 2或2x1，则x取值范围为(，0)(1,).小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切 不可混为一体。高中数学难点强化班第四讲(140709 )课后练习答案:一 填空选择题(每小题6分，共60分)1、对任意的实数x ,若不等式x 1围。答案：|x+1|-|x-2|-|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数 a 的取值范围：a-32、不等式s

25、in2 x 4sin x 1 a 0有解，则a的取值范围是 解：原不等式有解a sin2x 4sin x 1 sin x 2 2所以a 2。2 a恒成立，那么实数a31 sinx 1有解，而2sin x 2的取值范3 i 2 ,min3.若对任意x R,不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是(A) a 1(B)|a| 1(C)|a| 1(D) a 1解析：对 x R,不等式|x| ax恒成立不等式f XM对xI时恒成立fmax(x) M?, xI。即f X的上界小于或等于M ；不等式f xM对x1时有解fmin (x) M?, x I。或f X的下界小于或等于M ；不等式f xM对x1时

26、恒成立fmin (x)M?, X1。即f X的下界大于或等于M ；不等式f xM对xI时有解fmax (x) M , x I。或f X的上界大于或等于M ；答案：选B4当x (1,2)时，不等式x2mx 40恒成立，则m的取值范围是解析：当x (1,2)时，由x2mx4 .令 f(x)x 4 x -，则易知xxf(x)在(1,2)上是减函数，所以1,2时 f(X)max f (1)x2 45，则()minx5 m 5.5已知不等式ax2 3x (a1) x1对任意a (0,)都成立，那么实数x的取值范围为.分析：已知参数a的范围，要求自变量x的范围，转换主参元x和a的位置，构造以a为自变量x作

27、为参数的一次函数 g(a)，转换成a (0,) , g(a)0恒成立再求解。解析：由题设知ax2 3x (a 1) x2 x a 1对 a (0,)都成立，即2 2 2 2a(x 2) x 2x 0 对 a (0,)都成立。设 g(a) (x 2)a x 2x ( a R),则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。Q x2 2 0恒成立，则对 x R, g(a)为R上的单调递增函数。所以对 a (0,) , g(a) 0恒成立的充分必要条件是 g(0) 0,x2 2x 0,2 x 0，于是x的取值范围是x| 2x0。26.已知函数 f x 2mx 2 4 m x 1, g xmx，若对于任一实

28、数 x , f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A. (0 , 2) B . (0 , 8) C . (2 , 8) D .(汽 0)分析：f(x)与g(x)的函数类型，直接受参数m的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。1解析：当m 0时，f(x) 8x 10在(，)上恒成立，而g(x) 08在R上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当m 0时，g(x)在R上递减且g(x) mx 0只在(，0)上恒成立，而f (x)是一个开口向下且恒过定点(0, 1)的二次函数，显然不满足题意。当m 0时，g(x)在R上递增且g

29、(x) mx 0在(0,)上恒成立，而f (x)是一个开口向上且恒过定点(0, 1)的二次函数，要使对任一实f x与g x的值至少有一个为正数则只需f (x)0 在(，0上恒成立。(如图3)4 m或0解得4 m 8或0 m 4，2m04 m _则有右024(4 m) 8m综上可得0 m 8即m (0,8)。故选B2 27、已知两函数 f x 7x 28x c , g(x)=6x -24x+21。(1) 对任意x 3,3，都有f x g x成立，那么实数c的取值范围cN);(2) 存在x 3,3，使f x g x成立，那么实数c的取值范围 c二25;(3) 对任意x, , x23,3，都有fx,

30、gx2,那么实数c的取值范围C羽50 ;(4) 存在捲,X23,3，都有f捲g X2 ,那么实数c的取值范围C N175 ;解析：(1 )设h x gx f x2x33x212x c，问题转化为x 3,3时，h x 0恒成立，故hmin x 0。令h x 6x26x 126 x1 x20,得x 1或2。由导数知识，可知h x在3, 1单调递增，在 1,2单调递减，在 2,3单调递增， 且h 3 c 45 , h x极大值h 1 c 7 , h x 极小值 h 2 c 20 ,h 3 c 9 hmin x h 3 c 45，由c 450，得 c 45。(2) 据题意：存在 x3,3，使f x g

31、 x成立，即为：h x g x f x 0在x3,3有解，故 hmax x 0，由(1 )知 hmax X C 70，于是得 C 7。(3) 它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意EX?3,3 ,都有f & g X2成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，X , xz的取值在 3,3上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：fmax(X)gmin (X),?x 30 o v f X7x2“c28,x3,3f Xmaxf 3147 c ,. g x6x2 8x 402 3x 10 x2.gx 0在区间 3,3上只有个解x2。.g xg 248147 cmin48即c19

32、5 .(4 )存在X1 ,X23,3 ,都有fX1g X2,等价于 fminX1gmaxX2,由(3)得fmin N f 2 c 28, gmax x?g 3 102, c 28 102 c 130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多 加训练，准确使用其成立的充要条件。二简答题（每题10分）8、（ 10分）若不等式（m 1）x2 （m 1）x 3（m 1） 0对任意实数x恒成立，求实数 m取值 范围解：2,10）9、对一切实数x,不等式x 3x 2 a恒成立，求实数a的范围。 若不等式x 3 x 2 a有解，求实数a的范围。 若方程x 3 x 2

33、 a有解，求实数a的范围。解：a5a 5a 5,5210.已知函数 f x lg a ax x（I ）若f x的定义域A 试求a的取值范围.（n ）若f x在x 2,3上有意义，试求a的取值范围（川）若f x 0的解集为2,3 ”试求a的值.解答：这三问中，第（I）问是能成立问题 第（n ）问是恒成立问题，第（川）问是恰成立问题2 （I ） f x的定义域非空，相当于存在实数x，使 a ax x 0成立，2 24a a 4a a 小x 0即 x a ax x2的最大值大于0成立，max44解得a4或a0.(n ) f x在区间2,3上有意义，等价于x a大于0.a5a5解不等式组22或2230,20,2ax x0在2,3恒成立，即x的最小值a5,亠a5,或a 3a90,a 2a4 09解得 a -22（川）f x 0的解集为2,3 ,等价于不等式a ax x 1的解集为2,3 ;于是有x ax 1 a 0,这等价于方程x2 ax 1 a 0的两个根为2和3,于是可解得a 5.