章现代控制技术实用教案

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1、会计学1章现代章现代(xindi)控制技术控制技术第一页，共47页。在u(t)的作用(zuyng)下，式（5.1.1）的解为dBuetxetxtttAttA)()()(0)(0)0(证明(zhngmng)：dBuetxetxdBuetxetxetxetBuetxedtdtAxtxetButAxtxtButAxtxtttAttAttAAtAtttAtAtAtAt)()()()()()(| )()()()()()()()()()()(0)(0)0(0000由其中， 为被控对象的状态转移矩阵； 是初始状态向量。)(0tx)0(ttAe(5.1.3)第1页/共47页第二页，共47页。零阶保持器和被控对

2、象构成的广义(gungy)对象的离散状态方程为dtBeGeFkCxkykGukFxkxTAtAT0,)()()()() 1(1110)()()(nnAtAtAtIte当A的特征值 两两相异(xin y)时n,21tnttnnnnnnneeettt211121222211211110111)()()(（5.1.6）（5.1.7）第2页/共47页第三页，共47页。0)()()(0NxrNCxNy（5.1.8）（5.1.9）5.1.3 输出(shch)反馈设计法的设计步骤)() 1(nmrN最少拍数N应取满足(mnz)式（5.1.12）的最小整数。（5.1.12） 将连续状态方程进行离散化 求满足跟

3、踪条件式（5.1.8）和（5.1.9）的控制序 列u(k)的z变换U(z)假定系统的初始条件x(0)=0，则有第3页/共47页第四页，共47页。0)() 1() 1 ()0(002211rNuNuuuBAGCGGAFGCFGAFGCFNNNN（5.1.17）若方程(fngchng)（5.1.17）有解，并设解为0)()(rjPju), 1 , 0(Nj（5.1.18）第4页/共47页第五页，共47页。010100101)()()()()()(rzzNPzkPrzNPzkPzkuzUNkNkkNkNkkkk则kNkkjjkNkkkkzrjGPCFIzkezkezE01010)1(100)()()

4、()(（5.1.19）（5.1.20） 求控制器的脉冲(michng)传递函数D(z)第5页/共47页第六页，共47页。)()()(zEzUzD)()()()()(tCxtytButAxtx 其中(qzhng)，,10,010101CBA，（5.1.21）采样(ci yn)周期T=1秒，试设计最少拍无纹波控制器D(z)。第6页/共47页第七页，共47页。解：由 得A的特征(tzhng)根为 s=0, -10 AsItttTteeeett1111101110111111101)()(121110)1 ()()(21tttAteeAeIAtIte故1632. 00368. 011011011eee

5、eeFTTAT第7页/共47页第八页，共47页。 368. 0632. 0111011100eedtBeedtBeGttTAt)()()()() 1(kCxkykGukFxkx离散(lsn)状态方程为)() 1(nmrN而n=2，r=1，m=1，取N=2 即可满足(mnz)上式条件00)2() 1 ()0(00ruuuBAGAFGCGCFG第8页/共47页第九页，共47页。即00)2() 1 ()0(0632. 0232. 01632. 0232. 00368. 0768. 00ruuu进一步得00058. 058. 1)2() 1 ()0()2() 1 ()0(rrPPPuuu0)2(58.

6、 0) 1 (58. 1)0(PPP，由式（5.1.19）和 N=2 知第9页/共47页第十页，共47页。0101210101)58. 058. 1 (1)2() 1 ()0(1)()()(rzrzzPzPPrzzNPzkPzUNkNk010101010) 1()418. 01 () 0 ()()(rzrzCGPIIzrjGPCFIzEkNkkjjk由式（5.1.20）和 N=2 知11418. 0158. 058. 1)()()(zzzEzUzD第10页/共47页第十一页，共47页。212)()()(asasbzUzYzG设被控(bi kn)对象传递函数模型为则buyayay21 令121x

7、xyx ，则buxaxabuyayayx1221212 得ubxxaaxx010211221A特征方程为0212aaAI第11页/共47页第十二页，共47页。控制器由两部分组成(z chn)，即状态观测器：根据所量测到的输出量y(k)重构出全部状态 。控制规律：直接反馈重构的全部状态。)( kx图5.4 调节系统(r(k)=0)中控制器的结构x(k)控制规律u(k)被控对象y(t)y(k)T控制器观测器零阶保持器u(t)T第12页/共47页第十三页，共47页。设连续被控(bi kn)对象的状态方程为)()()()()(tCxtytButAxtx 图5.5 按极点配置设计控制规律控制规律u(k)

8、Cy(t)x (k)TX=Ax+Bu零阶保持器u(t)Tx(t)第13页/共47页第十四页，共47页。dtBeGeFkCxkykGukFxkxTAtAT0,)()()()() 1(（5.2.2）（5.2.3）若图5.5中的控制规律(gul)为线性状态反馈，即)()(kLxku则闭环系统(xtng)的状态方程为（5.2.4）)()() 1(kxGLFkx闭环系统的特征方程为0|GLFzI第14页/共47页第十五页，共47页。设给定所需要的闭环系统(xtng)的极点为), 2 , 1(nizi则闭环系统(xtng)特征方程为0)()()(1121nnnnzzzzzzzzz反馈控制(kngzh)规律

9、 L 应满足如下方程)(|zGLFzInGFFGGrankN1可以证明，对于任意的极点配置，L 具有唯一解的充要条件是第15页/共47页第十六页，共47页。5 . 06 . 3n被控(bi kn)对象的微分方程为)()(tuty 定义两个(lin )状态变量分别为)()()(),()(121tytxtxtytx得),()(21txtx)()()(2tutytx 被控对象的传递函数 ，采样周期T=0.1s，采用(ciyng)零阶保持器。现要求闭环系统的动态响应相当于阻尼系数为 ，无阻尼自然振荡频率 的二阶连续系统，用极点配置方法设计状态反馈控制规律L，并求u(k) 。21)(ssG解：解：第16

10、页/共47页第十七页，共47页。)()(01)()(10)()(0010)()(212121txtxtytutxtxtxtx故有1012122tAtItAAtIeAt101 . 01ATeF1 . 0005. 0101 . 00|211 . 01011 . 001 . 001 . 00tdtBtBdteGAt第17页/共47页第十八页，共47页。对应(duyng)的离散状态方程为)()(01)()(1 . 0005. 0)()(101 . 01) 1() 1(212121kxkxkykukxkxkxkx且,1 . 0005. 0,101 . 01GF系统能控21 . 01 . 0015. 00

11、05. 0rankFGGrank第18页/共47页第十九页，共47页。根据性能要求(yoqi)，得 s 平面上的两个期望的极点为12. 38 . 1122, 1jjsnn利用(lyng) 的关系，可求得 z 平面上的两个期望的极点为sTez 312. 02, 1835. 0jez7 . 06 . 1)()(221zzzzzzz若状态反馈(fnku)控制规律为21LLL （5.2.10）于是得到期望的闭环系统特征方程为第19页/共47页第二十页，共47页。比较(bjio)式（5.2.10）和（5.2.11）可得7 . 011 . 0005. 06 . 12005. 01 . 02112LLLL求

12、解(qi ji)上式，得5 . 3105 . 31021LLL，即，则闭环系统(xtng)的特征方程为11 . 0005. 0)2005. 01 . 0(|21122LLzLLzGLFzI（5.2.11）)(5 . 310)()(kxkLxku第20页/共47页第二十一页，共47页。 常用的状态观测器有三种(sn zhn)：预报观测器、现时观测器和降阶观测器。 预报(ybo)观测器第21页/共47页第二十二页，共47页。常用(chn yn)的观测器方程为)( )()()( ) 1( kxCkyKkGukxFkx其中 是 的状态重构，K 为观测器的增益(zngy)矩阵。x x定义状态(zhung

13、ti)重构误差为xxx则观测器的误差动态方程为)() 1( ) 1() 1(kxKCFkxkxkx（5.2.12）（5.2.13）（5.2.14）若观测器期望的极点为 ，则观测器期望的特征方程为), 2 , 1(nizi0)()()(1121nnnnzzzzzzzzz（5.2.15）第22页/共47页第二十三页，共47页。nCFCFCrankn1为了获得期望的状态(zhungti)重构性能，由式（5.2.15）和（5.2.16）可得|)(KCFzIz（5.2.17）对于任意的极点配置(pizh)，K 具有唯一解的充要条件是由式（5.2.14）可得观测器的特征方程为0|KCFzI（5.2.16）

14、第23页/共47页第二十四页，共47页。) 1() 1() 1() 1( )()( ) 1(kxCkyKkxkxkGukxFkx)()1() 1() 1()()() 1( ) 1() 1(kxKCFFkxCkCxKkxkGukFxkxkxkx状态(zhungti)重构误差为现时观测器状态(zhungti)重构误差的特征方程为0KCFFzI为了获得期望的状态重构性能，可由下式确定K的值第24页/共47页第二十五页，共47页。KCFFzIz)(系统(xtng)必须完全能观时才能求得K。 预报和现时观测器都是根据输出量重构全部状态，即观测器的阶数等于状态的个数，因此称为全阶观测器。实际系统中，所能量

15、测到的y(k)中，已直接给出了一部分状态变量，这部分状态变量不必通过(tnggu)估计获得。因此，只要估计其余的状态变量就可以了，这种阶数低于全阶的观测器称为降阶观测器。 将原状态向量分成两部分，即第25页/共47页第二十六页，共47页。其中，xa(k)是能够量测到的部分(b fen)状态，xb(k)是需要重构的部分(b fen)状态。据此，原被控对象的状态方程(5.2.2)式可以分块写成)()()(kxkxkxba)()()() 1() 1(kuGGkxkxFFFFkxkxbababbbaabaaba上式展开(zhn ki)并写成)()()() 1()()()() 1(kuGkxFkxFkx

16、kxFkuGkxFkxbababbbbbabaaaaa观测器方程(fngchng)为第26页/共47页第二十七页，共47页。)()()() 1()()()() 1(kxFkuGkxFkxKkuGkxFkxFkxbabaaaaabababbbb)()()() 1() 1() 1(kxKFFkxkxKFFkxkxkxbabbbbbabbbbbb状态(zhungti)重构误差为现时(xinsh)观测器状态重构误差的特征方程为0abbbKFFzI为了获得期望(qwng)的状态重构性能，可由下式确定K的值abbbKFFzIz)(系统必须完全能观时才能求得K。第27页/共47页第二十八页，共47页。 控制

17、器的组成(z chn)设被控(bi kn)对象的离散状态方程为)()()()() 1(kCxkykGukFxkx设控制器由预报观测器和状态反馈控制规律组合而成，即)( )()( )()()( ) 1( kxLkukxCkyKkGukxFkx可以证明闭环系统的特征方程为 分离性原理第28页/共47页第二十九页，共47页。由此可见，可以分别设计(shj)系统的控制规律和观测器。 按极点配置设计状态(zhungti)反馈控制规律，计算L；0)()(|zzKCFzIGLFzI 按闭环系统的性能要求给定几个控制(kngzh)极点； 合理地给定观测器的极点，并选择观测器的类型， 计算观测器增益矩阵K；最后

18、根据所设计的控制规律和观测器，由计算机来实现。第29页/共47页第三十页，共47页。控制(kngzh)极点是按闭环系统的性能要求来设置的；观测器极点的设置应使状态(zhungti)重构具有较快的跟踪速度。如果量测输出中无大的误差或噪声-，则观测器极点可设置在z平面的原点；如果量测输出中含有较大 的误差或噪声-，则观测器极点可按其对应衰减速度比控制极点对应的衰减速度快约4或5倍的要求来设置。观测器类型选择：若控制器的计算延时与采样周期处于同一数量级，则可选用预报观测器，否则可用现时观测器；若量测输出比较准确，而且它是系统的一个状态，则可用降阶观测器，否则用全阶观测器。第30页/共47页第三十一页

19、，共47页。)(1 . 0005. 0)(101 . 01) 1(kukxkx系统(xtng)的输出方程为)(01)(kxky系统的采样周期为0.1秒，试设计(shj)状态反馈控制器，以使控制极点配置在，8 . 06 . 021zz使观测器的极点处。1 . 09 . 0j配置在解： 设计控制规律第31页/共47页第三十二页，共47页。而01 . 0005. 01)21 . 0005. 0(|21212LLzLLzGLFzI由|)(GLFzIz得48. 01 . 0005. 014 . 121 . 0005. 02121LLLL6 . 5821LL解得故有6 . 58L048. 04 . 1)8

20、 . 0)(6 . 0()(2zzzzz控制极点(jdin)对应的特征方程为第32页/共47页第三十三页，共47页。 设计(shj)预报观测器观测器极点(jdin)对应的特征方程为082. 08 . 1) 1 . 09 . 0)(1 . 09 . 0()(2zzjzjzz而01 . 01)2(|2112kkzkzKCFzI由|)(KCFzIz得82. 01 . 018 . 12211kkk2 . 02 . 021kk解得第33页/共47页第三十四页，共47页。故有2 . 02 . 0K系统的状态(zhungti)反馈控制器为)( )()( )()()( ) 1( kxLkukxCkyKkGuk

21、xFkx且有2 . 02 . 0,6 . 58KL第34页/共47页第三十五页，共47页。以上讨论了调节系统的设计。在调节系统中，控制的目的在于有效地克服干扰的影响，使系统维持在平衡状态。对于阶跃型或常值干扰，上述设计，系统输出将存在稳态误差。克服稳态误差的一个有效方法(fngf)是加入积分控制。第35页/共47页第三十六页，共47页。图中，积分控制环节(hunji)用于消除在常值参考输入以及在常值干扰作用下系统的稳态误差；参考输入的顺馈控制可进一步提高系统的无静差度。第36页/共47页第三十七页，共47页。 线性二次型高斯LQG（Linear Quadratic Gaussian）控制：在过

22、程模型中考虑(kol)了高斯随机扰动的LQ控制问题。线性二次型LQ（Linear Quadratic）控制：系统性能指标选为状态(zhungti)和控制信号的二次型函数，并使此性能指标为最小的控制器设计问题。卡尔曼滤波器：对随机扰动过程，使估计误差的方差最小的最优估计器。第37页/共47页第三十八页，共47页。图5.13 调节系统(r(k)=0)中LG最优控制器的结构LQ最优控制器u(k)Cy(k)y(k)X(k+1)=Fx(k)+Gu(k)-Lx(k)图5.12 调节系统(r(k)=0)中LGQ最优控制器的结构LQ最优控制规律u(k)被控对象y(k)Vc(k)零阶保持器最优装置状态最优估计器

23、x(k)TW(k)y(k)TLGQ最优控制器第38页/共47页第三十九页，共47页。设被控(bi kn)对象的连续状态方程为TktkTkututCxtyxtButAxtx) 1()()()()()0()()()(，给定，dtBeGeFkCxkykGukFxkxTAtAT0,)()()()() 1(被控对象(duxing)的离散状态方程为第39页/共47页第四十页，共47页。系统控制的目的(md)是按线性二次型性能指标函数dttuQtutxQtxNxQNxJNTTTT0210)()()()()()(为最小，来设计(shj)离散的最优控制器L，使)()(kLxku其中，加权矩阵 和 为非负定对称矩

24、阵， 为正定对称阵， 为正整数。0Q1Q2QN有限时间最优调节器问题无限时间最优调节器问题1021210)()()()(2)()()()(NkTTTTkuQkukuQkxkxQkxNxQNxJ第40页/共47页第四十一页，共47页。其中(qzhng)TQBdtdeQdeBQBdtdeQeQdteQeQkuQkukuQkxkxQkxkJTtAtATTtAtAAtTtATTTTTT200102001120112121)()()()()()()(2)()()(012121212122121)()()()()()()1()()() 1() 1()()()()()()()()(2)()()(QNSkLQ

25、QkLQkLQkLkGLFkSkGLFkSQFkSGGkSGQkLkxkLkukuQkukuQkxkxQkxkJTTTTTTTTTT第41页/共47页第四十二页，共47页。并有)0()0()0(minxSxJT其中(qzhng)，, 2, 1NNk设连续(linx)被控对象的状态方程为其中， 是非负定对称阵， 是正定对称阵，并假设 和 互不相关。)()()(0)()()()(0)()()()()()(tWwtwEtwEtVvtvEtvEwtCxtyvtButAxtxTcTcccc，cVW)(tvc)(tw第42页/共47页第四十三页，共47页。TAcAkjTkjTdddTcAtdTAtATdd

26、eVeVWjwkwEkwEVjvkvEkvEdttTkTvekvdtBeGeFkwkCxkykvkGukFxkxT000)()(0)()()(0)()()()()()()()()() 1(，其中(qzhng) Kalman滤波(lb)公式方差阵，一步预报估计误差协，一步预报估计误差，进一步预报估计)1|() 1|() 1|() 1|( )() 1|() 1|( kkxkkxEkkPkkxkxkkxkkxT引入第43页/共47页第四十四页，共47页。极小(j xio)。)()(kxkxEJT设 的最小方差估计具有(jyu)如下的形式)1|( )()() 1|( )( kkxCkykKkkxkx)

27、(kx状态估计器的设计问题：寻求 以使如下标量函数)(kK差阵时刻状态估计误差协方，时刻的状态估计误差，时刻的状态估计，kkxkxEkPkkxkxkxkkxT)()()()( )()()( 1) 1|() 1|()()1|( )()() 1|( )( ) 1() 1( ) 1|( WCkkCPCkkPkKkkxCkykKkkxkxkGukxFkkxTT第44页/共47页第四十五页，共47页。，给定，和21)0()0( )()()()1|()()() 1() 1|(kPxkWKkKCkKIkkPCkKIkPVFkFPkkPTTT Kalman滤波增益(zngy)矩阵K(k)的计算 按分离性原理分别计算Kalman滤波器增益矩阵K和最优控制器L。 被控对象模型可通过机理分析方法、实验方法和系统(xtng)辨识方法来获取；V、W和二次型性能指标函数中加权矩阵一般凭经验或试凑给出。第45页/共47页第四十六页，共47页。第46页/共47页第四十七页，共47页。