复数代数的乘除运算.docx

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1、复数代数形式的乘除运算【学习目标】掌握复数代数形式的乘法和除法运算。1. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。2. 理解共辄复数的概念。知识点梳理复数的乘法法则设 zi=o+Z?i, Z2=c+di(。，b, c, 7R),则 ZZ2=(。+bi)(c+d)=(sM) + (M+阮)i.1. 复数乘法的运算律对任意复数Z|、Z2、Z3GC,有共辄复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时,称这两个复数为共轴复数，z的共轴复数用 z 表示.即 z=a-bi,则 z =gb.交换律Z|-Z2 = Z21结合律（Z1Z2）Z3 = Z1（Z2Z3）乘法对加法的分配律Z |（Z2 +

2、 Z3） = ZjZz + l2. 复数的除法法则设 zi=o+/?i, Z2=c+di（c+di0）,.zi a-b ac+bd bc ad情境导入我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算 律么？探究点一复数乘除法的运算思考I怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的F换成一 1,并且把实部与虚部分别合并即可.思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成一 1.例 1 计算：(l)(l2i)(3+4i)(2+i)；(3+4i)(3-4i)；(1+讨.

3、解(1)(1 一 2i)(3+4i)(-2+i)=(l 1 - 2i)(-2 + i) = -20+15i；(3+4i)(3-4i)=32(车)2=9(一 16)=25；(l+i)2=l+2i + i2=2i.反思与感悟复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便 运算，例如平方差公式、完全平方公式等. 跟踪训练 1 计算：(l)(2 + i)(2i)： (2)(1+2讨. 解(l)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-l)=5；(2)(1 +2讨=1 +4i+(2iF= 1 +4i+4= 3+4i；思考3如何理解复数的除法运算法则？ 答复数的除法先写成分式的形式，再

4、把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共貌 复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).43i 4+3i例2计算：(1)再+禹；(2)(1+2沪l+i, , V2-H/31(4+3讨16-9-24i 16-9+241 7-24i 7+24i* 42+32 =25*25(4+3讨16-9-24i 16-9+241 7-24i 7+24i* 42+32 =25*25(4+3讨16-9-24i 16-9+241 7-24i 7+24i* 42+32 =25*25健(4_3讨辟 黑丙 _(4+3i)(4_3i) 1 (4-3i)(4+3i) 1425;方法-原式=呼 T+通主尹顼一+i.方法二(技

5、巧解法)原式一2 成-”i)i f + S+源-m复数的除法是分子、分母同乘以分母的共觊复数.复数的除法是分子、分母同乘以分母的共觊复数.反思与感悟跟踪训练2跟踪训练2跟踪训练2跟踪训练2计算：急Q月*解I*】(7+i)(34i) 2525i3+4i=(3+4i)(3-4i)= 25 =1 _1 I11-1探究点二共翅复数及其应用思考1像3+4i和3-4i这样的两个复数我们称为互为共轴复数，那么如何定义共钮复数 呢？答一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共辄复数.通常记复数z的共扼复数为丁.虚部不等于0的两个共钮复数也叫做共藐虚数.思考2复数a+b的共轴复数如何表

6、示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数。+丽的共猊复数可表示为abi,由于(o+/,i)bi)=/+，所以两个共钮复 数之积为实数.思考3共辄复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上，两个共钮复数对应的点关于实轴对称.(2) 实数的共辄复数是它本身，即z=7OzGR,利用这个性质可证明一个复数为实数.(3) 若z=0且z+H=(),则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.思考4 z三与|zF和|3F有什么关系？答 Z- Z =|z|2=| Z I2.例3已知复数z满足|z|=l,且(3+4i)z是纯虚数，求z的共辄复数三解 设 z=o+i(s Z?GR),则 z

7、=ab 且|z|=*/TP= 1,即 屏=.因为(3+4i)z=(3+4i)(o+bi)=(3“一4/?)+(3/，+4“)i,而(3+4i)z 是纯虚数，所以3。一仙=0,且33+4“尹0.a=y由联立，解得3 或b=Na=y由联立，解得3 或b=N4=_亍所以z =一学，或Z =_号+学.反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.跟踪训练3己知复数z满足：z3+2iz=8+6i,求复数z的实部与虚部的和.解设 z=o+bi(s 关 R),则ZZ =。2 +朋，.屏+屏+21(。+庆)=8 + 6。即序+屏一2b+2oi=8+6i,屏一22=82。=6屏一2

8、2=82。=6屏一22=82。=6屏一22=82。=64=3.+。=4,.复数z的实部与虚部的和是4.课堂练习设复数z满足iz=l,其中i为虚数单位，则Z等于（）A. -i B. i C. -I D. 1答案A 解析 z=|= i.1. 已知集合A/=1,2, zi, i为虚数单位，N=34, MCN=4,则复数z等于（）A. -2i B. 2i C. -4i D. 4i答案C4解析 由 /Wn/V=4得 zi=4, z=T=4i.3.于 等21+3.孑-4-5 . 1 一 A.C. nB.D.+4-5答案A复数z=|j（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）B.第二象限B.第二象限B

9、.第二象限A. 第一象限C.第三象限C.第三象限C.第三象限C.第三象限D.第四象限答案D2i （2i）2 34i解析 因为2=而=丁，故复数Z对应的点在第四象限，选D.总结复数代数形式的乘除运算 （1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的束法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都来以分母的共规复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.1. 共旋复数的，性质可以用来解决一些复数问题.2. 复数问题实数化思想.复教问题实数化是解决复教问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z=o+bi（。，bR）,利

10、用 复数相等的充要条件转化.一、基础过关1.复数一i+等于（）A. -2i B.|i C. 0 D. 2i答案A 解析 _i+?=_i_；=_2i,选 A.2. i为虚数单位，等于（）A. 0 B. 2i C. -2i D. 4i答案A牛+身+3+$=。若bGR, i 为虚数单位，且（o+i）i=A+i,贝ij（）A. 67=1, b=2. 若bGR, i 为虚数单位，且（o+i）i=A+i,贝ij（）A. 67=1, b=A. 67=1, b=A. 67=1, b=A. 67=1, b=B. a= , b=C. a= b= 1CI. a= b= 1CII. a= b= 1CIII. a= b

11、= 1D. a= 1, b= 1答案D解析 V(a+i)i= 1A解析 V(a+i)i= 1A解析 V(a+i)i= 1A解析 V(a+i)i= 1Ah=-3. 在复平面内，复数言+（1+3。2对应的点位于（B.第二象限B.第二象限B.第二象限B.第二象限A.第一象限C.第三象限C.第三象限C.第三象限C.第三象限D.第四象限答案B 解析+Si)2=!+i + ( 2+2寸5i) =_+(2,+，对应点（一 23+|）在第二象限.4. 设复数z的共轴复数是z ,若复数zi=3+4i, Z2=?+i,且zr z2是实数，则实数t等于（）3-44-3 B.D4-33-4A.c.答案A解析.z2=，

12、+i, . Z2 =/i.Z|云=(3+4i)(，一i)=3，+4+(4i3)i,又.ziZ2ER,.4,一3=0,又.ziZ2ER,.4,一3=0,又.ziZ2ER,.4,一3=0,又.ziZ2ER,.4,一3=0,3_41 +2i若z=则复数z等于（）A. -2-iA. -2-iA. -2-iB.-2+iC. 2-iD. 2 + i答案Dz =2+i.7计算：尚+（*）2。0；(2)(4 -i5)(6+2i7)+(7 + i )(43i).解尚+（粉,。Ji2+2、时= i(l+i)+( 5= 一 1+i +(一 i)i 知=1+i i= 1.(2)原式=(4 一 i)(6-2i)+(7

13、i)(4-3i) =22- 14i+25-25i=47-39i.二、能力提升设复数z满足（1i）z=2i,则z等于（B. -1-iB. -1-iB. -1-iA. -1+iC. 1+iC. 1+iC. 1+iC. 1+iD. 1-i答案A 解析由已知得z=涪;WE）=_i+i.8. 复数z满足（z3）（2i）=5（i为虚数单位），则z的共辄复数z为（）A. 2 + i B. 2-i C. 5 + i D. 5-i答案D解析由(z3)(2i)=5 得, z_3=!；=2+i, .z=5 + i, :. z =5 i.9. 设复数i满足i(z+l)= 3+2i(i为虚数单位)，则z的实部是. 答案

14、13 + 2i解析 由 i(z+ 1)= -3 + 2i 得到 z= _ 1 =2 + 3i- 1 = 1 +3i.10. 己知复数z满足(1+2i)z=4 + 3i,求z及二.Z解因为(l+2i)z=4+3i,弭 N 4+3i (4+3i)(l2i).所以 zi+q 521,故 z 2+i.z 2-i (2-i)2 3-4i 3 4.所以项=而=丁=衬孑.1()11. 已知复数z的共辄复数为z,且zz 3iz=Y，求乙解 z=a+b(af bR),则 z =ab.又井3iz=吾，.+朋 一 3 i(o+bi)。，*),a2+/?2+3b3ai = 1 +3i,屏+朋+3/?=1,a= ,= 1,或， .3a=3.b=0,b=3z= 1,或 z= 13i.三、探究与拓展己知1+i是方程jr+hx+c=()的一个根(/八c为实数).求b, c的值;(2)试说明li也是方程的根吗？解(1)因为1 + i是方程.r+/?x4-c=。的根，.(l+i)2+(l+i)+c=0,b+c=0b=2即(A + c) + (2 + A)i = 0.c，得 c .2-rb=0c=2:.b、c 的值为。=2, c=2.(2)方程为/一处+2=0.把1i代入方程左边得(1 i)22(1 i)+2=0,显然方程成立，.Ii也是方程的一个根.