计算流体力学讲义

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1、计算流体力学目录第一章 引论1.1计算流体力学及其特征1.2计算流体力学发展的历史1.3计算流体力学研究内容1.4 第二章 流体力学方程与模型方程2.1 流体力学基本方程2.2 模型方程及其数学性质2.3 双曲型方程初边值问题第三章有限差分数值解法3.1有限差分方法3.2差分方程3.3差分解法的理论基础3.4 差分修正方程分析3.5小扰动稳定性分析方法3.6高精度格式以及精度分析第四章有限体积等方法4.1 有限体积法4.2 其他方法介绍第五章代数方程组求解5.1高斯消去法5.2追赶法5.3迭代法5.4 其他常用方法第六章 可压缩流体力学方程组差分解法6.1一维方程以及Jocobin系数矩阵6.

2、2一维Euler方程的离散6.3其他离散方法6.4多维问题差分解法6.5粘性项的差分解法第七章 可压缩流体力学方程组的差分解法7.1控制方程性质分析7.2人工压缩方法7.3非定常原始变量法求解7.4涡量流函数法第八章 渗流力学方程组求解8.1 渗流力学方程组以及方程性质8.2 单相渗流力学方程求解8.3 多相渗流力学方程组求解第九章 网格生成技术9.1网格理论9.2结构网格9.3非结构网格以及混合网格第十章 计算流体力学在石油工程中应用10.1计算流体力学软件介绍10.2计算流体力学软件学习10.3计算流体力学软件使用实例第一章 引论（3学时）1.1 计算流体力学及其特征1.1.1 定义 利用

3、数值方法通过计算机求解描述流体运动的数学方程，揭示流体运动的物理规律，研究定常流体运动的空间物理特征和非定常流体运动的时-空物理特征1.1.2 特点：1. 扩大了研究范围，原则上可以求解如何流体力学控制方程所能描述的流体力学问题2. 可以给出比较完整的定量结果3. 数值解是离散近似解放，与精确解有误差4. 对复杂问题需要与理论分析和实验研究相结合1.1.3 先导课 1. 流体力学以及高等流体力学：解决流体力学基本方程建立的问题2. 数学物理方程：解决流体力学方程的数学性质分析3. 线性代数：解决流体力学方程组的矩阵运算问题4. 计算方法或数值分析：代数方程组的求解方法计算流体力学主要解决偏微分

4、方程组向代数方程组离散方法问题1.2 计算流体力学发展历史计算流体力学的发展：促进了流体力学问题新规律、新机理的研究，也促进了相关偏微分方程组相关理论的发展。可分为四个阶段：1. 求解线性无粘流方程，如小扰动位势流方程。2. 求解非线性无粘流方程，如全位势流方程，Euler方程。3. 求解层流与湍流N-S方程4. 求解非定常全N-S方程1.3 本课主要学习内容1. 流体力学方程与模型方程流体力学基本方程；模型方程及其数学性质；双曲型方程初边值问题2. 有限差分数值解法有限差分方法；差分方程；差分解法的理论基础；差分修正方程分析；小扰动稳定性分析方法；高精度格式以及精度分析3. 有限体积等方法有

5、限体积法；其他方法介绍4. 代数方程组求解高斯消去法；追赶法；迭代法；其他常用方法5. 可压缩流体力学方程组差分解法一维方程以及Jocobin系数矩阵；一维Euler方程的离散；其他离散方法；多维问题差分解法；粘性项的差分解法6. 可压缩流体力学方程组的差分解法控制方程性质分析；人工压缩方法；非定常原始变量法求解；涡量流函数法7. 网格生成技术网格理论；结构网格；非结构网格以及混合网格8. 计算流体力学在石油工程中应用1.4 计算流体力学研究事例1. 射流元件附壁与切换流动规律研究2. 射流式井底增压器流场数值实验研究主要参考书1傅德薰计算流体力学，高等教育出版社2张涵信计算流体力学差分方法的

6、原理与应用，国防工业出版社3陶文铨数值传热学西安交通大学出版社关于考试与成绩作业两次：编程求解模型方程与一维可压缩流体力学方程组期末考试：闭卷开始，考试前拉知识点考试成绩：平时以及作业成绩占30分，期末考试成绩占70分第二章 流体力学方程及模型方程（6学时）2.1 流体力学基本方程2.1.1 可压缩Navier-stokes 方程教学点：（1）方程表达式讲解 （2）矩阵形式方程与微分形式的联系 （3）矩阵形式方程与微分形式的区别1组合变量形式可压缩N-S方程状态方程： ， 黏度公式2、三维Jacbian系数矩阵形式（参看教材129页） 系数矩阵特征值2.1.2 可压缩 Euler方程教学点：（

7、1）方程与欧拉方程区别 （2）方程性质讲解2.1.3 不可压缩N-S方程1、 原始变量不可压缩N-S方程教学点：方程讲解矢量形式不可压缩方程组方程原始变量：，直角坐标系下有：守恒形式 非守恒形式：2、泊松形式N-S方程教学点：方程推导过程3、 涡量流函数方程教学点：（1）适用条件讲解（2）推导过程讲解2.1.4积分形式的N-S方程 （有限体积法出发方程） 式中：流体密度，；流动速度，；运动网格的网格速度；为扩散系数。源项；控制体；为连续方程；分别为笛卡尔坐标系下三个方向分量动量方程；分别为湍动能和湍流耗散率方程。上述流体力学方程描述了非定流体力学问题。控制方程中具体表达式可参考文献。2.1.5

8、贴体坐标系下N-S方程(参看197页) 实际计算一般在贴体坐标系下进行，自变量需要由物理空间(x,y,z)变换到计算空间(,)，变换要求单值唯一：.把以上变换关系带入N-S方程得到其在一般坐标系下的守恒形式：其中： J为坐标变换的Jocobian行列式，为坐标逆变换Jocobian行列式： .网格导数的计算表达式： 2.1.6流体力学方程组数学性质1、N-S方程性质对于定常N-S方程，方程为非线性椭圆方程对于非定常N-S方程，方程性质为双曲-抛物性方程2、EULER方程性质对于亚音速流动，定常欧拉方程为椭圆型方程对于超音速流动，定常欧拉方程为双曲型方程对于跨音速流动，定常欧拉方程为椭圆与双曲混

9、合型方程更多形式参考文献计算流体力学差分方法的原理与应用；第一章：流体力学的各级近似方程及其数学性质；张涵信，沈孟育著；国防工业出版社 以上流体力学各级近似方程均可归类为一阶拟线性偏微分方程组2.2 模型方程2.2.1 模型方程介绍（1）三类模型方程：1、单波方程：双曲型方程，用于模拟EULLER与N-S方程的对流项性质2、热传导方程：抛物型方程，用于模拟N-S方程中扩散项性质3、线形Burgers方程：N-S方程的模型方程4、Laplace方程：椭圆型方程，主要用于位势流动与渗流力学方程（2）偏微分方程定解条件数学提法必须保证偏微分方程提法在数学上是适定的，即解存在、唯一、并连续依赖于定解条

10、件 定解条件提法很复杂，目前并没有完全解决，下面针对模型方程讨论各自的合适的提法。2.2.2 线性模型方程1、单波方程讲解点： （1）单波方程是EULER方程的模型方程 （2）单波方程解析解推导 （3）传播规律分析 （4）单波方程初边值问题单波方程例子：控制方程： 初始条件：边界条件：解析解：结果分析： （1）解析解讲解：特征线概念讲解：直线族 上解不变，换句话说，初始扰动沿着特征线传播过程中，扰动形式与值不变（2）假设为三角型函数，看传播规律分析 （a）c0 (b) c0 (b) c02、热传导方程讲解点： （1）热传导方程性质 （2）热传导方程形式以及推导过程 （3）解的特征分析控制方程：

11、初始条件： 边界条件： 解析解：解特征分析图2-3（b）对于给定边界问题，还需提边界条件，提法有三种（1）第一类边界条件：边界上给定函数值（2）第二类边界条件：边界上给定函数的外法向导数值（3）第三类边界条件：混合边界条件3、线性Burgers方程 （1）Burgers方程性质 （2）Burgers方程形式 （3）解的特征分析控制方程：初始条件：边界条件解析解：解特征分析：图2-3 （c）边界条件提法：综合波动方程与热传导方程，一般以波动方程提法为主。4、Laplace方程讲解点；椭圆型方程中，没有时间相关项，所以不需要提初始条件，要求在封闭边界上提边界条件。控制方程： 边界条件（1）Diri

12、chlet问题：边界上给定函数值（2）Neumann问题：边界上给定函数的外法向导数值（3）Robin问题：混合边界条件2.2.3 非线性Burgers方程讲解点：（1）非线性特征（2）方程形式（3）与N-S方程关系控制方程： 定常边界条件：定常条件下解析解：2.2.4 拟线性偏微分方程弱解 初值问题： 初始条件：边界条件一般意义下的通解为：古典解定义：在时刻满足初始条件，在时刻满足控制方程，且解连续可微，即：导数在流场内连续。特例：对于 ，当时，则，则说明流场中出现强间断，解在间断面位置不再连续可微。则解失去通常的古典意义。弱解定义：在存在间断面的流场中，在间断面位置，控制方程不再满足，但如

13、果满足积分形式的守恒方程，在间断面外依然满足微分形式的控制方程，则成为弱解。弱解在加上熵条件，则可以证明方程组的解存在并唯一。2.3双曲型方程组特征值和特征矢量特征矢量和特征值讲解点： （1）特征值、特征值矩阵、特征向量、特征矩阵概念讲解（2）特征值、特征值矩阵、特征向量、特征矩阵计算方法（3）特征值矩阵与方程性质关系讲解如： 式中：，为特征矢量，则为特征值，为特征值对角阵，右特征矩阵，由特征矢量组成，左特征矩阵 方程性质分析： 矩阵所有特征值为互不相等的实数，方程组为严格双曲型方程组 矩阵所有特征值为复数，方程组为椭圆型方程组。 矩阵部分特征值为实数，部分为复数，方程组为混合型方程。2.4守

14、恒形式的微分方程特点弱守恒型方程：微分方程中，所有导数项的系数仅是自变量的函数强守恒型方程：微分方程中，所有导数项的系数仅是常数1、弱守恒型方程：2、强守恒性方程 守恒型方程又称为散度性方程，在进行离散求解时，在网格点上要注意满足其散度形式，这样有利于保持流体流动中，物理量的守恒，特别是在求解带有间断问题的流场更为重要。第三章有限差分数值解法（12学时）3.2.1问题提出：以热传导方程求解为例 讲解点：求解过程介绍3.1有限差分方法控制方程：初、边界条件：求解过程： （1）把连续求解域化为离散的有限节点的离散点集，网格生成方法后面讲述，这里采用最简单的均匀网格划分方法。 （2）把连续光滑的偏微

15、分方程导数项和整个方程在每一个离散点离散为为代数方程，从而把定义域上连续光滑的偏微分方程转化为在离散点集上近似的代数方程组。 （3）采用适当方法对代数方程组进行求解，后面具体讲述3.2.2定义域离散（网格生成） 讲解点：网格生成方法简介则值域离散为，3.2.3导数项差分逼近 讲解点： （1）导数离散数学基础介绍 （2）空间一阶导数、二阶导数差分格式推导 （3）时间一阶导数向前差分格式介绍1、高数的导数定义：高数的中值定理： 2、Tailer展开： 在区间 Tailer展开 ，为截断误差则一阶精度差分格式为3、引入差分算子向前差分：向后差分：中心差分：二阶中心差分：4、按Tailer级数展开，有

16、以下差分格式一阶差分格式：向前偏心差分格式：向后偏心差分格式：二阶差分格式中心差分格式：三点向前偏心差分格式：三点向后偏心差分格式：二阶导数二阶精度三点中心差分格式：时间项向前差分格式3.2差分方程讲解点：（1）差分方程讲解 （2）显式差分格式与隐式差分格式的区别 （3）差分方程的求解方法说明显式差分格式： 截断误差 隐式差分格式： 截断误差 求解方法说明（1）显式格式方程组求解介绍（2）隐式格式方程组求解过程介绍3.3差分解法的理论基础3.3.1 差分方程的相容性讲解点： （1）相容性的理解 （2）相容性的判断准则 （3）条件相容定义：当差分方程中的步长时，差分方程的截断误差也趋近于零，则差

17、分方程与原微分方程是相容的。注：当截断误差中存在有项时，只有当，且存在时，差分方程才是相容的，否则是不相容。条件相容：针对热传导方程，采用Duford-Frankel 提出的D-F格式，差分方程：Tailer展开后，获得截断误差：此截断误差只有在and 条件下，只有在此条件下，D-F差分方程才是相容的，称之为条件相容。3.3.2 收敛性与稳定性讲解点：（1）收敛性定义理解（2）稳定性概念理解（3）Lax等价定理 1、收敛性（1）定义：当差分方程中，存在有 则称为差分方程的解收敛于微分方程的准确解为近似解，精确解（2）实用收敛判据，则判断计算收敛其中定义形式多样，最大值收敛，平均值收敛，算术平均

18、值收敛等多种形式2、稳定性：定义：指在求解过程中，某一时刻所引入的误差扰动不产生实质性的增长，不会导致查分方程解失真（与微分方程的物理解相比）即：差分方程在求解过程中，某时刻引入的误差随时间增长有界，则成为差分方程是稳定的。对线性方程，有数学表达式： 3、Lax等价定理：如果微分方程初边值问题是适定的，差分方程是相容的，则：差分方程解的收敛性与稳定性是等价的。4、误差分析离散误差定义：微分方程精确解与差分方程近似解之间的差截断误差：差分格式中Tailer展开时截断的误差舍入误差：计算过程中，舍入有限位数产生的误差关系：舍入误差与计算机字长与网格点数有关，增加网格点数，截断误差减小，舍入误差增加

19、。3.4 差分修正方程分析讲解点：(1) 修正方程定义(2) 修正方程推导过程(3) 修正方程分析1、定义：差分方程所准确逼近的微分方程（即截断误差为零）2、推导过程：（1）（2）（3）（4）（1）考虑波动方程：（2）其有如下差分方程：（3）将和按Tailer级数展开代入上式有：（4）计算修正方程中对高阶导数项（修正方程对求导）减去（修正方程对求导乘上），可求得等各阶导数 （5）消去修正方程中高阶导数项，得只包含对自变量的各阶导 3、修正方程性质分析：修正方程是差分方程的微分表达式，对差分方程稳定性分析有帮助修正方程与原方程之差是截断误差截断误差中，偶次导数项称为耗散误差项，奇次导数项称为色散

20、误差项截断误差中，最低阶为偶次，则耗散误差占主导，最低阶为奇次，则色散误差占主导。截断误差中偶次导数项又称为差分粘性项，或者隐式人工粘性项，相对于直接加入到差分方程中的人工粘性项称为显式人工粘性项。3.5小扰动稳定性分析方法介绍小扰动稳定性分析方法(1) 推导热传导方程稳定条件：讲解显格式与隐格式区别(2) 推导波动方程稳定性条件：讲解迎风格式与逆风格式区别，以及中心格式(3) 介绍Laplace 方程格式3.4.若干典型格式介绍以及稳定性与精度分析讲解点：（1）介绍波动模型方程典型格式的稳定性条件与精度 （2）介绍热传导模型方程典型格式的稳定性条件与精度 （3）介绍Laplace 方程稳定性

21、与精度1、模型方程离散格式稳定性条件（1）显式一阶迎风格式稳定性条件： 格式精度：（2）Lax格式稳定性条件：格式精度：（3）Lax-Wendroff格式 稳定性条件：格式精度：（4）Leap Frog 格式稳定性条件： 格式精度：（5）两步Lax-Wendroff格式 稳定性条件：格式精度：（6）Mac-Cormack格式稳定性条件：格式精度：（7）Warming-Kutler-Lomax格式稳定性条件：格式精度：（8）时间中心隐式格式稳定性条件：无条件稳定格式精度：2、热传导模型方程典型差分格式稳定性条件（1）简单显式差分 稳定性条件：格式精度：（2）Richardson格式稳定性条件：无

22、条件不稳定格式精度：（3）DuFort-Frankel 格式稳定性条件：无条件稳定格式精度：（4）Laasonen格式稳定性条件：无条件稳定格式精度：（5）Crank-Nicolson格式稳定性条件：无条件稳定格式精度：（6）组合格式 稳定性条件：当，无条件稳定当，条件稳定：格式精度：3、Laplace方程格式：五点格式稳定性条件：格式精度：九点格式格式精度： 3.6高精度格式以及精度分析第四章偏微分方程的其他数值解法4.1常见离散方法讲解点 （1）介绍各种数值方法思想和特点 （2）重点介绍有限差分方法4.1.1常见偏微分方程组离散方法：有限差分方法、有限体积方法、有限元方法、谱方法4.1.2

23、各种方法的特点（1）有限差分法：将求解域划分为结构网格，用有限个网格节点集合代替连续的求解域，直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法。是计算流体力学最重要的方法之一，理论上系统成熟，应用广泛有效。（2）有限元方法：基本求解思想是把计算域划分为有限个单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线性组合来逼近单元中的真解。（3）有限体积法基本思路是将计算区域通过网格划分为一系列控制体积，并将网格中心（称为内节点法）或网格点（称为外节点法）设定为控制点，并使每个控制点周围有一个控制体积。将待解的守恒型控制方程对每一个控制体积分，离散方程因变量的积分守恒对任意一组控制体积和整个计算区域都可以满足。（

24、4）谱方法：谱方法以精度高的近似解逼近真解，收敛速度快，缺点是要求解域足够光滑，不利于求解间断问题。4.2 有限体积法4.21积分形式方程提法1、三维方程通式提法 式中：流体密度，；流动速度，；运动网格的网格速度；为扩散系数。源项；控制体；为连续方程；分别为笛卡尔坐标系下三个方向分量动量方程；分别为湍动能和湍流耗散率方程。上述流体力学方程描述了非定流体力学问题。控制方程中具体表达式可参考文献。9.1 微分形式与积分形式提法2、对应的具体方程另外还有分别为湍动能和湍流耗散率方程3、一维形式 4、其他定解条件（2）定义域：, （3）初始条件：边界条件： 第一类边界条件，第二类边界条件，第三类边界条

25、件4.2.2 控制容积积分法步骤 （1）对控制方程在任一控制容积与时间间隔内做积分 （2）选择未知函数与导数对时间与亏空件局部分布曲线，称为型线 （3）对各选项按型线做积分，整理成代数方程组4.2.3预备知识1、定义域离散：计算域离散4要素：网格、节点、边界、控制容积几何域离散分类：外节点法、内节点法外节点法 内节点法交错网格：主控制体、u控制体、v控制体2、型线说明：(1) 空间分段线性 （2）空间阶梯线性 （1）时间分段线性 （2）时间阶梯线性4.2.4控制方程有限体积离散1）积分形式的一维模型方程守恒形式（控制容积P，在时间内积分） （2）引入各项的处理方法，得到离散的节点方程：非稳态项

26、处理：，需要选择随x变化的型线，空间取阶梯对流项处理：需要选随t变化的型线，时间取显式阶梯，或者隐式阶梯扩散项处理：一阶导数随时间变化取显式阶梯，也可以选隐式阶梯源项处理：时间空空间都取显阶梯，也可取隐式阶梯（3）整理后得 （4）通常可以转化为差分形式 （5）所以以前的差分方法中涉及的差分格式、稳定性条件、差分方程的耗散与色散特性、精度分析方法、数值解的行为与有限体积方法类似，有限体积方法中相关性质可以参考差分方法的相应性质。4.2.5与有限差分方法的比较（1）区别：有限差分便于分析格式性质，有限体积便于处理复杂边界（2）联系：具有一定通用性，很多情况下可以互补；有限差分的格式可以用到有限体积

27、中来4.3 有限元方法4.4 有限体积方法第五章 代数方程的求解（三学时/（9-10）5.1高斯消去法讲解点：Gauss消元法求解过程（1）方程组： （2）消元过程：（3）回代过程5.2 追赶法1、标量追赶法（1）热传导方程离散后的代数方程形式差分方程：边界条件：边界条件：（2）写成方程组则有： （3）消元过程 写为一般形式为：（4）系数计算：代到差分方程得到 （5）计算方法如果已知 ，则 可计算由边界条件：（6）回代计算 5.3 迭代法求解代数方程讲解点:一般迭代法的计算过程5.3.1一般迭代形式（1）方程组（2）两侧各乘以预处理矩阵（3）分解得（4）方程收敛条件5.3.2 GaussSei

28、del迭代讲解点：G-S迭代法的计算过程考虑Laplace 方程中心差分方程：一般迭代为，G-S迭代方法5.3.2 松弛迭代法 G-S迭代法 为超松弛迭代5.4 交替方向追赶法讲解点：（1） 交替方向追赶法适用条件（2） 交替方向法理论基础（1）二维热传导方程：（2）差分方程：（3）改写差分方程（4）忽略高阶小量，则有：（5）二维ADI方法是无条件稳定的，简单推广到三维问题则是条件稳定，构造处理则可成为无条件稳定。5.5非线形方程组求解1、非线性方程求根(1)非线性方程：(2)已知p次迭代值为，则，(3)Tailer展开：(4) 重复上描过程，直到 2、非线性方程组求解：（1）方程组（2）近似

29、解为第次迭代的近似解为第次迭代的近似解（3）泰勒展开（4）设，则 则 或 5.6时间关系法及局部时间步长法5.6.1时间关系法实践中定常问题求解很困难一般解其对应的非定常方程，当时间充分发展时，方程就会收敛到定常方程结果5.6.2局部时间步长为求解定常问题而设计针对利用非定常方法求解定常问题，由于稳定性条件限制，时间步长很多时候比较小，影响收敛速度，为加快收敛速度，采用局部时间步长，是对显式求解放方法的改进。例求解如下问题（1）模型方程（2）稳定性条件：（3）如果，则每个时间步长（4）本题中，即使，则满足稳定性条件的时间步长也不相等，如果取同一个步长，只能取最小时间步长，而收敛速度极慢。（5）

30、针对以上问题，可以采用局部时间步长，在不同的空间位置位置，按照稳定性要求，在局部上都采用满足收敛条件的局部时间步长，这样可以极大加快收敛速度。差分方程：5.7 多重网格技术第六章 可压缩流体力学方程组的离散讲解点：(1) 可压缩与不可压缩的概念 (2) 流体力学方程组与模型方程计算方法的关系6.1一维流体力学方程及Jacobian系数矩阵的分裂讲解点：流体力学方程组求解特点：（1）对流项特点与处理 （2）粘性项特点与处理粘性项在较大或空间网格尺寸不是很小时，可以中心差分显式处理，粘性项在很小或空间网格尺寸很小时，需采用隐式处理，粘性项反映耗散，使解光滑，一般采用中心差分，不做重点考虑6.1.1

31、一维流体力学方程组讲解点：可压缩方程的矢量形式一维气体可压N-S方程矢量形式一维气体可压EULER方程矢量形式状态方程： ， 黏度公式6.1.2 Jacobian系数矩阵讲解点：1一维N-S方程与欧拉方程的矩阵形式2 Jacobian系数矩阵特点3系数矩阵变换1、一维N-S方程与欧拉方程的矩阵形式2、Jacobian系数矩阵特点Jacobian系数矩阵为质量热容比，为量纲为一的声速3、矩阵变换（1）Jacobian系数矩阵经相似变换后，可通过对角矩阵表示右特征矢量矩阵，左特征矢量矩阵 为特征值矩阵（2）为特征值矩阵（3）右特征矢量矩阵其中（4）右特征矢量矩阵6.1.3 Jacobian 矩阵的

32、分裂讲解点：1单波方程系数分裂 2 Jacobian系数分裂1、标量方程离散方法（1）单波方程： （2）差分方程：当时，当时，（3）一般形式的差分方程：2、一维流体力学方程组Jacobian系数矩阵分裂：（1）， 其中，则（2）则 （3）常见分裂形式第一种分裂第二种分裂第三种分裂6.1.4流通矢量的分裂讲解点：1流通矢量Sterger-Warming分裂法 2流通矢量范利尔分裂法1、Steger-Waiming 分裂法（1）利用给出（2）f的通用表达式（3）分裂形式取，则取，则（4）特征值修正有利于在零特征值位置抑制振荡2、Van Leer分裂法：适用于理想气体的Euler方程局部马赫数则当时

33、，当时，当时 6.2 一维Euler方程的离散一维Euler方程矢量形式，讲解点：1 MacCormack格式 2 Euler隐式格式 3其他格式：第三章中针对标量方程的格式都可以用，下面举例说明6.2.1 MacCormack格式稳定性条件6.2.2 Euler隐式格式格式形式逼近精度TE=O()对流项线化处理代入整理得：隐式格式，无条件稳定6.2.3 其他格式：（1）蛙跳格式稳定性条件（2）矩形格式：，格式具有时间和空间二阶精度 且是无条件稳定（3）Lax-Wandrof 格式稳定性条件 （4）半隐式错点格式无条件稳定（5）二阶迎风格式：其中 无条件稳定（6）二阶精度错点格式无条件稳定6.

34、6粘性项的差分逼近粘性项在较大或空间网格尺寸不是很小时，可以中心差分显式处理，粘性项在很小或空间网格尺寸很小时，需采用隐式处理，粘性项反映耗散，使解光滑，一般采用中心差分，不做重点考虑讲解点：1粘性项的特点 2显式格式 3粘性项的隐式格式1、 一维n-s方程2、显式格式二阶精度差分：1、 粘性项的隐式格式（1）设 则 （2）设（3）则N-S方程可以写为（4）则考虑粘性项隐式格式为：取值参考后面6.4 Roe格式与Roe分解6.4.1Roe格式 Roe分解式系数确定方法Roe格式拟线性双曲方程组Roe格式满足下面条件：（1）（2） （3）对任意有6.4.2一维Euler方程的Roe分解恒等关系其

35、中：理想流体方程组：引入矢变量则系数换算则则式中则可以求出特征值平均如上构造满足U特性，对2，3维Roe分解以及对应特征值和特征矢量可以参看文献Roe P L. Approximate Reimann solver, parameter vectors and difference scheme J compt Phys,1981, 43:357-3726.3 多维问题的差分逼近6.3.1二维流体力学方程与Jacobian系数矩阵讲解点：1 二维向量形式的欧拉方程 2 二维Jacobian系数矩阵 3 二维Jacobian系数矩阵分裂 4 流通矢量分裂5 三维问题1、二维向量形式的欧拉方程2、

36、二维Jacbian系数矩阵3、二维Jacobian系数矩阵分裂右特征向量矩阵，左特征向量矩阵，特征值矩阵2、 流通矢量分裂：与一维一样，可以采用S-W分裂法和VanLeer分裂法（1）Sterger-Warming分裂 （2）分裂形式如果去，则得到原始通量如果取，则得到分裂后的流通矢量 6.3.2 对于三维问题（1）向量形式的三维欧拉方程 （2）三维欧拉方程Jacobian系数矩阵 （3）三维系数矩阵的分裂（4）具体形式见参考文献Steger J L, Warming R. Fluxvector sprplitting of the inviscid gasdynamic equations

37、with application to finite methods. J Compt Phys, 1981, 40:263-293傅德薰，马延文。流体力学数值模拟。北京：国防工业出版社，19936.5.2单步差分逼近讲解点1单步格式 2 因式分解 3 LU分解 4 MacCormack格式 5 时间分裂法（1）单步格式（2）单步格式因式分解按维数进行因式分解或（3）LU分解法Jacobian矩阵分裂后采用前后差分，则LU分解法LU分解（4） MacCormack格式稳定性条件：（5）时间分裂方法两个一维序列X方向Y方向利用上面算子，构造二维时间分裂格式（6）三维问题方法类似单步格式、因式分解

38、、LU分裂、MacCormack、时间分裂等6.4粘性项的差分逼近粘性项在较大或空间网格尺寸不是很小时，可以中心差分显式处理，粘性项在很小或空间网格尺寸很小时，需采用隐式处理，粘性项反映耗散，使解光滑，一般采用中心差分，不做重点考虑讲解点：1粘性项的特点 2显式格式 3粘性项的隐式格式6.4.1 一维n-s方程2、显式格式二阶精度差分：3、 粘性项的隐式格式（1）设 则 （2）设（3）则N-S方程可以写为（4）则考虑粘性项隐式格式为：取值参考以前部分6.4.2 对多维问题方法类似第七章 不可压缩N-S方程差分逼近7.1控制方程讲解点 1 不可压缩方程求解在石油工程中重要地位 2矢量不可压缩N-

39、S方程特点 3直角坐标形式不可压缩N-S方程 4 初边值问题特殊性 5 求解方法引、可压缩方程特点与求解；方程组合变量：，Vis=Vis(U)7.1.1矢量形式不可压缩N-S方程方程原始变量：，其中 or 对流项分量守恒形式对流项分量非守恒形式7.1.2 二维直角坐标形式不可压缩N-S方程守恒形式非守恒形式7.1.3初边值问题提法特殊性1）边界条件：并满足2）初始条件：且要求满足7.1.4不可压缩方程特点 （1）动量方程与质量方程失去关联作用，动量方程求解后，解不一定适用质量方程 （2）压力缺乏边界条件提法7.1.5 不可压缩方程组数值解法 联立求解方法：所有变量联立求解、部分变量联立求解、局

40、部区域联立法 分离式求解：涡量流函数法、人工压缩性法、投影法、MAC法、压力修正算法等 7.2求解定常N-S方程的人工压缩性方法讲解点：1人工压缩性方法思想与适用性 2 Chorin方法方程构造特点 3 方程求解步骤7.2.1基本思想 把不可压缩流体视为一种虚拟的可压缩流体，求解过程中采用非定常的动量方程与人工非定常化的连续方程进行求解，目的是得到定常解 1、Chorin方法方程形式 其中动量方程不变2、初边值问题提法1）边界条件：并满足2）初始条件：可以是任意的可以是任意的7.2.2 方程的离散化方法Mac方法：时间方向1阶，空间方向采用交错网格1交错网格2离散方法（1）各方程离散算法对质量

41、守恒方程对动量方程 其中 对守恒格式其中对非守恒形式其中7.2.3 理论分析（1）精度分析截断误差为 （2）稳定性分析忽略压力梯度：忽略对流项得：(3)收敛性讨论 或其它形式7.3 非定常原始变量N-S方程的求解讲解点：1、原始变量求解特点 2、投影法求解过程 3、Mac法求解过程7.3.1 投影法：简单显式投影法（1）预算步（2）压力修正步通过上式对速度进行修正 通过压力泊松方程求出压力（3）最终步 7.3.2 MAC方法（1）预算步（2）压力求解步（3）最终步7.4 涡量-流函数法讲解点：1、涡量流函数方程特点与适用性分析 2、ADI方法求解步骤7.4.1涡量流函数控制方程 7.4.2离散

42、方法对于求解域，由Peaceman-Rachford提出的ADI方法（1）求解预估步：矫正步：（2）求解预估步： 矫正步：（3）稳定性条件： 当7.5 压力修正算法讲解点：1、求解思想与适用性分析 2、求解步骤 3、具体见下一章，有限体积求解方法7.5.1 数值求解方法动量方程离散：压力修正方程 速度修正方程流场计算 7.5.2求解步骤（1）假定一个速度分布，记作，以此求得动量扩散方程中系数与常数项；（2）假定一个速度场；（3）依次求解动量方程得到；（4）求解压力休正值方程得；（5）有求得改进速度值（6）利用改进后的速度场求得速度场与压力（7）利用改进后的速度场重新计算方程中系数作为下次迭代初值，直到收敛第八章 渗流力学方程组求解8.1 渗流力学方程组及性质8.2 单相渗流力学方程求解8.3 多相渗流力学方程组求解第九章 网格技术（15,16）9.1结构 网格生成技术9.1.1 代数网格生成方法9.1.2微分方程网格生成技术9.2 非结构网格9.3非等距网格上有限差分第十章 计算流体力学在石油工程中应用10.1计算流体力学软件介绍10.1.1 Flent 10.1.2 Cfx10.1.3 cfdesing10.2计算流体力学软件学习10.3计算流体力学软件使用实例10.3.1 单相非牛顿流体力学问题10.3.2 气液两相流体力学问题10.3.3 液固两相流体力学问题