2017年湖南长沙雅礼中学高三月考（四）数学（文）试题

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1、2017届湖南长沙雅礼中学高三月考（四）数学（文）试题一、选择题1若集合，且，则集合可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意得，结合，即集合，故选A.【考点】集合子集的运算.2命题“，”的否定是（ ）A， B， C， D，【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“，”的否定是“，”，故选D.【考点】命题的否定.3以为圆心，且与两直线与同时相切的圆的标准方程为（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：由题意得，两平行线与的距离为，即所求圆的半径为，又由圆心到直线距离等于半径得，解得，所以所求圆的方程为，故选A.【考点】圆的标准方程的

2、求解.4函数的值域不可能是（ ）A B C. D【答案】A【解析】试题分析：由题意得，设，所以，根据对数函数的图象与性质可知，函数的值域不可能为，故选A.【考点】对数函数的图象与性质.5已知向量，若，则实数（ ）A B C. D【答案】C【解析】试题分析：由向量的数量积可知，又，所以，所以，即向量与为反向向量，设，即，可得，解得，故选C.【考点】共线向量的应用.6若偶函数在上单调递减，则满足（ ）A B C. D【答案】B【解析】试题分析：由偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，又因为，所以，即，故选B.【考点】函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的应用，其中解答中

3、涉及到函数的单调性与函数的奇偶性的应用，以及对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，试题比较基础，属于基础题，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键.7在中，若,，则（ ）A B C. 或 D或【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理可知，所以三角形为等腰三角形，所以，则，故选A.【考点】余弦定理及三角函数值的求解.8“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣和（牟和）在一起的方形伞（方盖）. 其直观图如

4、下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线. 其实际直观图中四边形不存在，当正视图和侧视图完全相同时，它的的正视图和俯视图分别可能是（ ）A B C. D【答案】A【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的正方形伞（方盖），所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有两条对角线且为实线的正方形，故选A.【考点】几何体的三视图.9已知两点，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”.给出下列直线：；.其中为“型直线”的是（ ）A B C. D【答案】C【解析】试题分析：因为点，若直线上存在

5、点，使，所以点的轨迹方程是以为焦点，且的双曲线，可得，所以双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线的方程为，所以直线与双曲线没有公共点，直线经过原点，斜率，与双曲线也没有公共点，而直线和都与双曲线有公共点，因为和上存在点点，使，满足型直线的条件，故选C.【考点】曲线与方程.10函数的图象大致是（ ）【答案】B【解析】试题分析：设，则函数满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，又，当时，所以单调递增，故选B.【考点】函数的图象及性质.11在正方体中，分别是棱的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，则直线的夹角为（ ）A B C. D【答案】D【解析】试题分析：因为分别是棱的中点，所以，则面即

6、为平面与平面相交于，即为直线，由，可得面，所以面与面相交于时，必有，即，所以直线的夹角为，故选D.【考点】异面直线所成的角.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理与性质定理的应用，以及空间中直线与直线的位置关系的判定与证明等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据题意找出直线，判定出的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.12设，若对任意实数都有，则满足条件的的组数为（ ）A1组 B2组 C. 3组 D4组【答案】B【解析】试题分析：因为对于任意实数都有，所以必有，若，则方程

7、等价为，则函数的周期相同，若，此时（舍去），若，此时（舍去），若，则方程等价于，若，此时，若，此时，综上所述满足条件的有序实数组为，故选B.【考点】三角函数的化简求值.【方法点晴】本题主要考查了三角函数图象与性质，其中解答中涉及到三角函数图象的振幅、三角函数的周期、以及三角函数的初相与相位等知识点的综合考查，本题解答中结合三角函数的饿恒成立，三角函数的性质，同时借助三角函数的诱导公式进行合理化简是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题13已知直线与平行，则它们之间的距离是 【答案】 【解析】试题分析：由直线与平行，则，解答，所以两平行线之间的

8、距离为.【考点】两平行线之间的距离.14已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则 【答案】【解析】试题分析：由抛物线上一点到其焦点的距离为，由抛物线的定义可得，解得，即，把点代入抛物线的方程，解得，解得.【考点】抛物线的标准方程及定义的应用.15已知函数在处有极值为，则的值等于 【答案】【解析】试题分析：由题意得，且，即，解得或，当时，此时，函数无极值；当时，则.【考点】导数与函数极值的关系.【方法点晴】本题主要考查了导数与函数极值的关系，其中解答中涉及到导数的运算，函数的极值点与导数的关系，利用导数研究函数的极值点与极值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属

9、于基础题题，本题的解答中根据题设条件，列出方程求的的值是解答的关键.16定义，设实数满足约束条件，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由，作出不等式组对应的平面区域，当，即在平面区域中，由，得，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，此时，经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，由，得，即，此时，此时，当，即在平面区域中，由得，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，经过点时，直线的截距最大，此时最大值为，综上所述，的取值范围是.【考点】简单的线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，其中解答中涉及到函数的新定义，利用新定义求出函数的解析式，

10、以及简单的弦性规划求最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想和数形结合思想的应用，本题的解得中仔细审题、转化为简单的线性规划问题是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题17在等差数列中，前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为（），且，.（1）求与；（2）证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）设的公差为，根据题意列出方程组，求得和，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得，利用裂项求和的方法，求得数列，即可得以证明.试题解析：（1）设的公差为，解得或（舍），.故，.（2），.故.，于是，即.【考点】数列的通项公

11、式及数列的求和.18如图，在三棱锥中，点为中点，是上一点，底面，面.（1）求证：为中点；（2）当取何值时，在平面内的射影恰好是的中点.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由面得，又，则，又点为中点，即可证得为中点；（2）过作于点，利用线面垂直的判定定理，得面，设，则，得到，再由勾股定理，即可得到的值.试题解析：（1）证明：由面得，又，则，又点为中点，点为中点.（2）解：如图，过作于点.由，面.又为中点，为等腰三角形.不妨设，则，在中，.【考点】直线与平面垂直的判定与证明.19甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局

12、的得分情况如下：（1）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；（2）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，求的概率；（3）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由题意，得中至少有一个不小于，由此能得到的值；（2）设“从甲乙的局比赛中随机各选取局，且得分满足”为事件，记甲的局比赛为，各局的得分分别为；乙局的局比赛为，各局的得分分别是，利用列举法能求出的概率；（3）由题设条件能求

13、出的可能的取值为.试题解析：（1）由题意得，即.在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，至少有一个小于6，又，且，.（2）设“从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，记甲的4局比赛为，各局的得分分别是6,6,9,9；乙的4局比赛为，各局的得分分别是7,9,6,10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：，.而事件的结果有8种，它们是：，事件的概率.（3）的所有可能取值为6，7，8.【考点】古典概型及其概率的求解20已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的

14、周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意得，求得，即可求解椭圆的标准方程；（2）设的方程为，由与圆相切，得到，分别求得和，结合相切条件可得，即可得到结论.试题解析：（1）由题意得，椭圆的方程为.（2）由题意，设的方程为，与圆相切，即，得，设，则，又，同理，（定值）.【考点】直线与圆锥曲线位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程的求解、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记

15、椭圆的性质、以及把直线方程与椭圆的方程联立，转化为根与系数和韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.21已知函数（），.（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值； （2）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究值的个数；，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线，当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的的值有且仅有两个.【解析】试题分析：（1）当时，得到，依题意，即可求解的值；（2）假设的图象在其公共点处存在公切线，分别求出导数，令，得，讨论，分别，令，研究方程解的个数，可构造函数，运用都是求出单

16、调区间，讨论函数的零点个数即可判断.试题解析：（1）当时，依题意得，.（2）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，由得，即，故.函数的定义域为，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，令，即（）.下面研究满足此等式的的值的个数：设，则，且，方程化为，分别画出和的图象，当时，由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点（且均符合），方程有且只有两个根.综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的的值有且仅有两个.【考点】导数在函数中的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到了利用导数

17、求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用函数的性质解决不等式、方程问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中认真审题，注意导数在函数中的合理应用，试题有一定的难度，属于难题.22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆和的极坐标方程；（2）射线：与圆的交点分别为，与圆的交点分别为，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）由题意得圆和的普通方程分别是和，进而根据极坐标与直角的互化公式，即可得到和的极坐标方程；（2）依题意得点的

18、极坐标分别为，取，得到，从而，即可求得的最大值.试题解析：（1）圆和的普通方程分别是和，圆和的极坐标方程分别为，.（2）依题意得点的极坐标分别为，不妨取，从而.当且仅当，即时，上式取“=”，取最大值是4.【考点】参数方程与普通方程的互化；极坐标与直角坐标的互化.23选修4-5：不等式选讲已知，且.（1）求证：.解关于的不等式；（2）若，使得对一切实数不等式恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由，即可得到证明；（2）题意得，由（1）知，根据不等式的性质，即可得到实数 的取值范围.试题解析：（1）证明： ，当且仅当时等号成立.（2）解：由题意得由（1）知，又，实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式的应用.第 14 页 共 14 页