2017年山西太原市高三（上）期中数学试题（解析版）

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1、2017届山西太原市高三（上）期中数学试题一、选择题1 已知集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：,所以，故选C.【考点】集合的运算.2 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：函数有意义或，即函数的定义域为，故选B.【考点】故选B.3设函数分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（ ）A.是奇函数 B.是偶函数 C.是奇函数 D.是偶函数 【答案】C【解析】试题分析：因为是偶函数，所以，是奇函数，所以。令，则，为非奇非偶函数，令，则，为非奇非偶函数，令，则，为奇函数，不是偶函数，故选C.【考点】函数的奇偶性.4 已知等比数列中

2、，公比,则（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，故选D.【考点】等比数列的性质.5设函数的极大值为，则函数的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：,由得，又因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且，即，函数在处取得极小值，且，故选A.【考点】导数与函数的极值.6 函数的单调减区间是 （ ）A. B. C. D.和【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为，令得，所以函数的单调递减区间为和,故选D.【考点】导数与函数的单调性.7在公差的等差数列中， 则数列的前项和为 （ ）A. B. C.

3、 D. 【答案】C【解析】试题分析：在等差数列中，即，所以，当时，当时，设数列的前项和为，由数列的前项和为，故选C.【考点】等差数列的定义与性质.8函数的图象大致为 （ ）【答案】B【解析】试题分析：由函数解析式可知，函数的定义域为，排除C、D；值域为，排除A,故选B.【考点】函数的定义域、值域与函数的图象.9设是定义在上的奇函数，当时，,则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意作出函数的图象（如下图所示），由图可知不等式的解集为，故选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数与不等式.10 已知等差数列的前项和为，且，数列满足，若，则的最小值为（ ）A. B

4、. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,令，则，两式作差得，所以，又，当时，即得的最小值为，故选C.【考点】1.等差数列的性质与求和；2.数列与不等式.【名师点睛】本题考查等差数列的性质与求和、数列与不等式，属中档题；解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.11已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由得，或，所以或，由得，由得，所以实数的取值范围为，故选B.【考点】1.分段函数的表示；2.函数与不等式；3.指数函数与对数

5、函数的性质与图象.【名师点睛】本题考查分段函数的表示、函数与不等式、指数函数与对数函数的性质与图象，属中档题；分段函数是一种重要的函数，是高考命题的热点，多以选择题与填空题形式出现，求分段函数的值时，应先弄清自变量所在区间，然后代入解析式，求层层套的函数值，要从最内层逐层往外计算.12已知函数是定义在上的偶函数，若方程的零点分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：函数是定义在上的偶函数,所以函数的图象关于轴对称，函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，所以函数的对称轴为直线，且函数的对称轴也是直线，所以方程零点关于直线对称，所以有，故选B.【考点】1.函数的奇

6、偶性；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程，属难题；函数与方程是高考的重点和难点，选择题、填空题、解答题中均有，解决的方法是根据函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性等），作出函数的简图，通过数形结合或零点存在定理求解.13在极坐标系中，点与点的距离为 （ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：在极坐标系中，作出点与点，可得两点之间的距离为，故选B.【考点】极坐标的表示.14在平面直角坐标系中，若直线与直线是参数，）垂直,则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：直线是参数，）的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线与直线是参数，）垂直,所以，故选D

7、.【考点】1.直线参数方程的表示；2.两直线垂直的条件.15不等式的解集为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：,所以不等式的解集为，故选A.【考点】含绝对值不等式的解法.16关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,由绝对值的几何意义可知表示数轴上的点到和的距离之和，其最小值为，所以，即实数的取值范围为，故选D.【考点】1.绝对值的几何意义；2.绝对值不等式应用.二、填空题17已知集合，则满足条件的集合的个数为 _.【答案】【解析】试题分析：由得或或，故满足条件的集合的个数为，即应填.【考点】集合间的关系.18设曲线在

8、点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为 _.【答案】【解析】试题分析：由得，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的斜率为，由得，所以即，即点.【考点】导数的几何意义.19已知数列的前项和为，且,数列满足, 则数列的前项和 _.【答案】【解析】试题分析：由得当时，又适合公式，所以，又，所以，即则-并化简得.【考点】1.与的关系；2.对数的性质；3.错位相减法求和.【名师点睛】本题考查.与的关系、对数的性质、错位相减法求和以及运算能力，属中档题；求数列前项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前项相加的过程中相互抵消）；（2）错位相减法（适合

9、于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法（根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和）；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）.20已知函数,若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：,当时，因为，所以，解之得，所以应填.【考点】1.函数的值域；2.全称命题与特称命题；3.函数与不等式.【易错点睛】本题考查函数的值域、全称命题与特称命题、函数与不等式，属中档题；本题中存在实数，使得成立，是特称命题，若条件为对任意实数，使得成立，则为全称命题，解题时一定要认准特称命题与全称

10、命题的特点，否则很容易出错.21在平面直角坐标系中，曲线是参数）与曲线是参数）的交点的直角坐标为_.【答案】或【解析】试题分析：由得，将化为普通方程得，将代入得，解之得，所以交点坐标为或【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.直线与圆的位置关系；3.直线参数方程的应用.22在极坐标系中，曲线与的交点到极点的距离为_.【答案】【解析】试题分析：由得，即曲线与的交点到极点的距离为【考点】曲线的极坐标方程及极坐标的几何意义.23不等式的解集为 _.【答案】【解析】试题分析：,所以不等式的解集为.【考点】含绝对值的不等式的解法.24若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】试题分析：

11、在上恒成立, 在上不成立，由在上恒成立得.【考点】含绝对值不等式的恒成立问题.三、解答题25已知集合.（1）求;（2）若求函数的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由指数函数性质化简集合，由此求得集合，从而可求出集合；（2）求函数的导数，在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以.试题解析： （1）,. （2）在上恒成立. 在上单调递增. 在上取得最大值，最大值为.【考点】1.指数函数与幂函数的性质；2.集合的运算；3.导数与函数的单调性、最值.【名师点睛】本题考查指数函数与幂函数的性质、集合的运算、导数与函数的单调性、最值，属中档题；对集合运算问题，首项要确定集合类型

12、，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算.26已知数列满足是等差数列，且.（1）求数列和的通项公式； （2）若,求数列的前项和.【答案】（1） ,；（2）.【解析】试题分析：（1）由可得，两式作差可得，又适合此通项公式，所以；由此可得由等差数列的性质可得；（2）由题意写出数列的通项公式，再用分组求和法求之即可.试题解析： （1） ,两式相减可得 ,当时，所以是以为首项，为公比的等差数列，所以，.（2），【考点】1.与的关系；2.等差数列的性质与通项公式；3

13、.数列求和.27已知定义在上的函数，满足，且.（1） 求实数的值 ;（2）若函数,求的值域.【答案】（1）；（2） .【解析】试题分析：（1）由可得，又，所以有，可得；（2）由（1）先写出，从而得到，分区间逐段求值域即可.试题解析： （1）由题意可得，所以可得. （2）由得，当时，所以在即处取得最小值，所以在处单调递减，在上单调递增，当时，当时，所以在上的值域为.当时，；当，即时取得最小值；当时，；当时，在上的值域为.综上所述，的值域为.【考点】1.分段函数的表示与求值；2.函数的周期性；3.极限思想；4.函数的单调性与最值.28已知函数.（1）若,讨论的单调性; （2）若在处取得极小值，求实

14、数的取值范围 .【答案】（1） 时，在上为增函数；时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】试题分析：（1）先求函数的导数，再求函数的导数，分、分别讨论符号，即可得到函数的单调性；（2）由（1）可知，时，单调递增，恒满足，且函数在处取得极小值，符合题意，当时， 在单调递增，且，故即时，函数在处取得极小值，符合题意，故可得取值范围.试题解析：（1） .时，当时，所以在上为增函数；时，当时，所以在上为增函数；时，令 ，得，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减；综上所述，时，在上为增函数；时，在上单调递增，在上单调递减.（2）.当时，单调递增，恒满足，且函数在处取得极小值；当时，

15、在单调递增，且，故即时，函数在处取得极小值.综上所述，取值范围为.【考点】1.导数与函数的单调性；2.导数与函数的极值；3.分类讨论.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值、分类讨论，属难题；利用导数求函数的单调性与极值的步骤：确定函数的定义域；对求导；求方程的所有实数根；列表格.证明函数仅有一个零点的步骤：用零点存在性定理证明函数零点的存在性；用函数的单调性证明函数零点的唯一性.29在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数） ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程;（2）已知点分别是线的动点，求的最小值.【答案】（1） ;

16、（2）【解析】试题分析：（1）由可得,两边平方消去参数即可求出曲线的普通方程,由得,由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程;（2） 点用参数方程表示,代入点到直线的距离公式,利用三角函数公式可求距离的最小值.试题解析： （1）由可得,两边平方得;由得即（2）设.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.椭圆参数方程的应用.30已知.（1）画出函数的图象;（2） 解不等式.【答案】（1）图象见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）分区间即分、三种情况去掉绝对值将函数表示为分段函数的形式，即可画出函数的图象；（2）解出的值，结合函数的图象，可求出不等式的解集.试题解析： （1）当 时，;当时，； 当时，所以.（2）根据图象可得时，或或或，所以的解集为.【考点】1.绝对值的意义；2.分段函数的表示；3.函数与不等式.