2015年高考泄露天机（数学）

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1、当代中学生报2015年高考泄露天机数学一、选择题1.(文)已知集合，则=（ ）（A） （B） （C） （D）1.B由知.（理）若集合，且，则集合可能是（ ）（A） （B） （C） （D） 1.A 由知,故选.2.已知复数，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）2.B .3.已知命题，命题，则（ ）（A）命题是假命题 （B）命题是真命题（C）命题是真命题 （D）命题是假命题 3.D 因为命题，是真命题，而命题，由复合命题的真值表可知命题是真命题.4.已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）或4.B 因为成等差数列，所以.又成等比数列，所以（舍去），所以5.已知，

2、则下列不等式一定成立的是（ ）（A） （B） （C） （D） 5.A由得，所以.6.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )（A）若则 （B）若则（C）若，则 （D）若则6.B A中可以是任意关系；B正确；C中平行于同一平面，其位置关系可以为任意D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行7.（文）“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7.B ，“”是“”的必要不充分条件（理）已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

3、7.B函数有零点时，不满足，所以“函数在上为减函数”不成立；反之，如果“函数在上为减函数”，则有，所以，“函数有零点”成立，故选.8.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ） （A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度（C）向右平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度8.C由图可知 则 ，又，结合可知 ，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度.9.某工厂对一批新产品的长度（单位：）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）（A） （B） （C） （D）9.C产品的中位数出现在概率是的地方自左至右各小矩形面

4、积依次为设中位数是，则由得，10. 如图，、分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）（A） （B） （C） （D）10.D 依题，所以，.11.如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（ ）（A） （B） （C） （D）11.D 设方格边长为单位长.在直角坐标系内，由得，所以，解得，所以，选.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）12.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为，四边形是边长为的正方形，则.13.

5、(文) 在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（ ）（A）（B）（C）（D） 13.B若使函数有零点，必须，即在坐标轴上将的取值范围标出，如图所示当满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分，因此概率为（理）展开式中的常数项为（ ）（A）-8 （B）-12 （C）-20 （D）2013.C ，令，即，常数项为.14. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出的值是（ ）（A） （B） （C） （D）14.A 第一次循环运算：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：，这时符合条件输出.15.已知是首项为的等比数列，是其前项和，且,则数列 前项和为（ ）（A） （B） （C） （D）

6、15.A 根据题意，所以，从而有，所以，所以有，所以数列的前10项和等于.16.若是的重心，分别是角的对边，若，则角（ ）（A） （B） （C） （D）16.D 由于是的重心，代入得，整理得，因此.17.(文)函数的图象大致为（ ）17.A函数定义域为,又,函数为奇函数.其图像关于原点对称.故排除C、D，又当时，,所以可排除B，故A正确.（理）如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟, 瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，如果瓶内的药液恰好156分钟滴完 则函数的图像为（ ）17.C由题意得，每分钟滴下药液的体积为

7、当时，即此时；当时，即此时所以，函数在上单调递减，且时，递减的速度变快，所以应选（C）18 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则=（ ）（A） （B） （C） （D） 18.B 如下图所示，抛物线：的焦点为，准线为，准线与轴的交点为 ， 过点 作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知又因为，所以， 所以， 所以，19.已知不等式组表示平面区域,过区域中的任意一个点,作圆的两条切线且切点分别为,当最大时, 的值为（ ）（A） （B） （C） （D）19.B 如图所示，画出平面区域，当最大时，最大，故最大，故最小即可，其最小值为点到直线的距离，故，此时，且，故20.设

8、函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）（A） （B） （C） （D） 20.B 设 因为对任意 ，所以，= 所以，函数为奇函数；又因为，在上，所以，当时 ， 即函数在上为减函数，因为函数为奇函数且在上存在导数，所以函数在上为减函数，所以， 所以，所以，实数的取值范围为.二、填空题21.（文）已知直线，平行，则 21. 由题意得.（理）已知直线，平行，则它们之间的距离是 21. 2 由题意得，即，所以它们之间的距离是22. 执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的结果是 结束输出y开始 是输入否22.10 若输入 ，则不成立，所以，所以输出的值为1023.（文）采用系统抽样

9、方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,则抽到的人中，做问卷的人数为 23.8 由于，抽到的号码构成以3为首项，以12为公差的等差数列，因此得等差数列的通项公式为，落在区间的人做问卷满足，得，由于是正整数，因此，人数为8人.（理）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置

10、，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示） 23. 先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有种不同方法；再安排其余人员，有种不同方法；所以，共有种不同方法.24.函数为奇函数，则实数 .24.-1 因为函数为奇函数，所以，即25.已知正实数满足，则的最小值为 .25. 由题知即于是可将给定代数式化简得当且仅当时取等号.26. 如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点从点测得点的俯角,点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高

11、 26.300 在中, ，在中， 由正弦定理可得即解得,在中27.（文）如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示： 按如此规律下去，则 27. ， ，这个数列的规律是奇数项为偶数项为，故，故（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，第个三角形数为.记第个边形数为（），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 可以推测的表达式，由此计算 .7. ，从中不难发现其中的规律：就是表示以为首相，为公差的等差数列前项的和，即有，所以.28.已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成

12、正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 28. 设正六棱柱的的底面边长为，高为，则，所以，正六棱柱的体积，令，解得，令得，即函数在是增函数，在是减函数，所以在时取得最大值，此时.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为所以外接球的表面积为29.我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：双曲线是黄金双曲线；若，则该双曲线是黄金双曲线；若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，）且，则该双曲线是黄金双曲线；若经过右焦点且，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为_29.对于，则，所以双曲线是黄金双曲线；对于，整理

13、得解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于，由勾股定理得，整理得由可知所以双曲线是黄金双曲线；对于由于，把代入双曲线方程得，解得，由对称关系知为等腰直角三角形，即，由可知所以双曲线是黄金双曲线.30.设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；函数是“似周期函数”； 函数是“似周期函数”； 如果函数是“似周期函数”，那么“”其中是真命题的序号是 （写出所有满足条件的命题序号）30.如果“似周期函数”的“似周期”为-1，则，则，所以它是周期

14、为2的周期函数；假设函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使对于恒成立，即，即恒成立，则且,显然不成立； 设，即,易知存在非零常数，使成立，所以函数是“似周期函数”；如果函数是“似周期函数”，则，由诱导公式，得，当时，,当时，,所以“”；故选.三、解答题31.设函数，.（）当时，求函数的值域；（）已知函数的图象与直线有交点，求相邻两个交点间的最短距离.解析：（）解：因为 =， 因为 ， 所以， 所以 ， 即，其中当时，取到最大值2；当时，取到最小值， 所以函数的值域为. （）依题意，得， 所以 或 ， 所以 或 ， 所以函数的图象与直线的两个相邻交点间的最短距离为.32. (文)某车间将10名

15、技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为.（1）分别求出，的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.（注：方差，其中为数据的平均数）.解析：（1）根据题意可得：，；（2）根据题意可得：，甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各

16、随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为，则所有的有，共计个，而的基本事件有，共计个基本事件，故满足的基本事件共有，即该车间“质量合格”的基本事件有个，故该车间“质量合格”的概率为.（理）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：()若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；()若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为，求的分布列和数学期望解析：()学生甲的平均成绩，学生乙的平均成绩，又，则， 说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更

17、稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. ()的所有可能取值为0，1，2，则，的分布列为012P所以数学期望33.(文) 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，点、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求证：面；（1）证明：连接，是的中点 ，过点，为的中点，又面，面，平面；（2）证明：连结，连接，在直角中，即，且，平面，又，故平面； (理) 如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（）求证：；（）求二面角的余弦值.解析：（）证明：取的中点，连接，又四边形是菱形，且，是等边三角形，又，又，（）由，易求得，以为坐标原点，以，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，设平面的一个法向量为，则

18、，二面角为钝角，二面角的余弦值为.34.在中，角所对的边分别为，满足，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值.解析：（1）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，因为，所以0，从而，即.（2）由余弦定理，得，又，所以，于是，当时，取到最大值.35.如图，、为椭圆的左、右焦点，、 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，若在椭圆上，则点称为点的一个“好点”直线与椭圆交于、两点， 、两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点（）求椭圆的标准方程；（）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由解析：（）由题意得，故， ， 故，即，所以， 故椭圆的标准方程

19、为： （）设、，则、当直线的斜率不存在时，即，由以为直径的圆经过坐标原点可得，即，解得， 又点在椭圆上，所以，解得，所以 当直线的斜率存在时，设其方程为由，消得， 由根与系数的关系可得， 由以为直径的圆经过坐标原点可得，即，即 故整理得，即所以 而故 而点到直线的距离，所以 综合可知的面积为定值1 36.（文）在四棱锥中，底面是正方形，与交于点底面，为的中点.(1)求证：平面；(2)若，在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解析：（1）证明：连接由四边形是正方形可知，点为的中点又为的中点，所以又平面，平面所以平面 (2)解法一：若平面，则必有于是作于点由底面，所以

20、，又底面是正方形所以，又，所以平面 而平面，所以又，所以平面 又，所以所以为的中点，所以 解法二：取的中点，连接，在四棱锥中，所以 又由底面，底面，所以由四边形是正方形可知，又所以平面 而平面所以，平面平面，且平面平面因为，平面，所以平面 故在线段上存在点，使平面由为的中点，得 (理) 已知正四棱柱中，. （1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.证明：（1）因为为正四棱柱，所以平面，且为正方形. 因为平面，所以. 因为,所以平面. 因为平面,所以. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.则 所以. 设平面的法向量.

21、所以 .即 令，则.所以.由（1）可知平面的法向量为. 所以. 因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为. （3）设为线段上一点,且.因为.所以. 即.所以. 设平面的法向量.因为，所以 .即. 令，则.所以. 若平面平面，则.即，解得.所以当时，平面平面. 37. 设，函数，函数，. （）当时，写出函数零点个数，并说明理由；（）若曲线与曲线分别位于直线的两侧，求的所有可能取值.解析：（）证明：结论：函数不存在零点. 当时，求导得， 令，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值. 所以函数的最大值为，所以函数不存在零点. （）解：由函数

22、求导，得 ， 令，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0 所以函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数有最大值； 由函数，求导，得 ， 令 ，解得. 当变化时，与的变化如下表所示：0所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数有最小值. 因为，函数有最大值， 所以曲线在直线的下方，而曲线在直线的上方，所以，解得.所以的取值集合为. 38.已知数列的前项和为，（) 求证：数列是等比数列；（) 设数列的前项和为，点在直线上，若不等式对于恒成立，求实数的最大值解析：（)由，得 ，两式相减得， 所以 （)，因为，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列 （)由（)得，因为点在直线上，所以，故

23、是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以，当时，因为满足该式，所以 所以不等式，即为，令，则，两式相减得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；则的最小值为，所以实数的最大值是 39.已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点.（I）求抛物线和椭圆的标准方程；（II）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值.（III）直线交椭圆于，两不同点，在轴的射影分别为，若点S满足：，证明：点S在椭圆上.解析：（）抛物线上一点到其焦点的距离为；抛物线的准线为抛物线上点到其焦点的距离等于到准线的距离所以,所以抛物线的方程为

24、 椭圆的离心率,且过抛物线的焦点所以，,解得所以椭圆的标准方程为 ()直线的斜率必存在,设为,设直线与椭圆交于则直线的方程为, 联立方程组:所以,所以 (*) 由得: 得: 所以将(*)代入上式,得 ()设所以,则由得(1) ,(2) (3)(1)+(2)+(3)得:即满足椭圆的方程命题得证 40.（文）已知函数，其中为实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围.（3）证明，对于任意的正整数，不等式恒成立.解：（1）当时，在上递减，在上递增当时，在，上递增，在上递减当时，在上递增当时，在，上递增，上递减（2）由（1）知当时当时，不恒成立综上：（3）由（2

25、）知时，恒成立当且仅当时以“=”时，(理) 设函数（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（2）若，试比较当时，与的大小；（3）证明：对任意的正整数，不等式成立解析：（1）又函数在定义域上是单调函数. 或在上恒成立若在上恒成立，即函数是定义域上的单调地增函数，则在上恒成立，由此可得；若在上恒成立，则在上恒成立.即在上恒成立.在上没有最小值不存在实数使在上恒成立.综上所述，实数的取值范围是. （2）当时，函数. 令则显然，当时，所以函数在上单调递减又，所以，当时，恒有，即恒成立.故当时，有 （3）数学归纳法证明：1、当时，左边=，右边=，原不等式成立.2、设当时，原不等式成立，即则当

26、时，左边=只需证明即证即证由（2）知即令，即有所以当时成立由1、2知，原不等式成立补充试题1. 平面四边形中，,将其沿对角线折成四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）（A） （B） （C） （D）1.A 根据题意，如图，可知中，在中，,又因为平面平面，所以球心就是的中点，半径为，所以球的体积为：2.在直角梯形ABCD中，则（ ）（A） （B） （C） （D）2.B由已知条件可得图象如下，在中，.3. 如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为,则（ ）（A）（B）（C）( D） 3.D 三视图复

27、原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是，该几何体的外接球的体积=，= ， =，故选D4. 设函数的定义域为D，如果，使得成立，则称函数为“函数” 给出下列四个函数：；, 则其中“函数”共有（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个4.C ，使得，等价于，使得成立因为是奇函数，所以，即当时，成立，故是“函数”；因为，故不成立，所以不是“函数”；时，若成立，则，整理可得即当时，成立，故是“函数”；时，若成立，则，解得即时，成立，故是“函数”5. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点满足，则该双曲线

28、的离心率是_5. 由双曲线的方程可知，渐近线为，分别于联立，解得，由得，设AB的中点为Q，则，PQ与已知直线垂直，故,则.6. 向面积为的内任投一点,则的面积大于的概率为_ 6. 事件“的面积大于”，由图可知，分别是三角形的边上的三等分点，事件构成的区域是图中阴影部分，因为与相似，相似比，由几何概型的概率计算公式得.7.在中，三内角，的对边分别为，且，为的面积，则的最大值为 .7. ，设外接圆的半径为，则，故的最大值为.8. （文）如图,已知平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形,.(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法).(2)设是直线上的动点,判断并证明直线与直线的位置关系.(3)

29、 求三棱锥的体积.解析：（1）该几何体的三视图如下图所示：（2）连接，因为，所以平面，所以.（3）因为，所以平面，又平面平面，从而，所以点G是CE的中点.由此可得，从而平面.所以过E作.（理）如图，在四棱锥中，侧棱底面，是棱中点（1）求证：平面；（2）设点是线段上一动点，且，当直线与平面所成的角最大时，求的值解析：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则则设平面PCD的法向量是，则即令，则，于是，AM/平面PCD 6分（2）因为点是线段上的一点，可设又面PAB的法向量为设与平面所成的角为则 时， 即时，最大，所以与平面所成的角最大时 9. （文）每年5月17日为国际电信日，某市电信公

30、司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率解析：(1) 设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，则 (2) 设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠30

31、0元的2人，分别记为，从中选出两人的所有基本事件如下：，共15个，其中使得事件成立的为，共4个，则（理）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成规定:至少正确完成其中道题的便可通过已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成,道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？解:（1）设甲正确完成面试的题数为, 则的取值分别为 ； 考生甲正确完成题数的分布列为 设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为 ；, 考

32、生乙正确完成题数的分布列为: （2）因为, （或）所以（10分） (或：因为,所以 ) 综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；10. 已知函数 函数有相同极值点（1）求函数的最大值；（2）求实数的值；（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围解析:（1），由得；由得在上为增函数，在上为减函数函数的最大值为（2）因为，所以由（1）知，是函数的极值点又因为函数与有相同极值点，是函数的极值点，解得经检验，当时，函数取到极小值，符合题意(6分)（3）因为，即， ，由（2）知，在上，；当时，在上为减函数，在上为增函数，而，当，即时，对于，不等式恒成立，即，由得当时，即，对于，不等式恒成立，即，综上所述，所求的实数的取值范围为