高等数学电子教案第11章曲线积分与曲面积分

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1、章节第十一章 曲线积分和曲面积分1 对弧长的曲线积分课时2教学目的理解对弧长的曲线积分的概念、性质与计算；掌握对弧长的曲线积分的计算方法。教学重点及突出方法对弧长的曲线积分的计算。教学难点及突破方法对弧长的曲线积分的计算。曲线积分与定积分的定义虽然不同，但都是和的极限，且曲线积分可化为定积分计算，且两者的性质相似。曲线积分的定义可以类似地推广到积分曲线为空间曲线弧的情形。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P262-P268大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P578-P584教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.

2、1 第一类曲线积分定义：。公式： 应用前提:1.曲线L光滑,方程可以写成为:x=x(t) ,y=y(t), z=z(t) t, 2.函数f(x,y,z)在L上有定义，且连续。公式变形：若L为平面曲线，L方程为y=y(x),xa,b，则公式可以写成为： 对弧长曲线积分的性质：1.2. 3. ， （L=L1 +L2 ）常用计算法：对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式对于平面曲线，可以用公式的变形计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz4.当是简单的折线段时，可以将分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对直接套用公式，否则，公

3、式中的将有无意义的点公式推导及证明的总体思想：将曲线先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质分割：在上插入n个分割点，令，=t0t1t2tn=,（t, ）；记dmax（ti-ti-1），si为ti ,ti-1上的弧长，i为ti ,ti-1上任意一点求和：利用积分定义， 由弧长公式： 由中值定理： 其中i*是由中值定理确定的ti ,ti-1上的一点，ti= ti -ti-1；于是： 利用f(x,y,z),x/(t), y/(t), z/(t)的连续性，有： 取极限得公式：第一型曲线积分与定积分和重积分不同的是，曲线积分的积分区域是曲线段。第一型曲线

4、积分弧长无方向性，定义中的si0。章节第十一章 曲线积分与曲面积分2 对坐标的曲线积分课时2教学目的理解对坐标的曲线积分的定义、性质、物理意义及计算。掌握对坐标的曲线积分的计算方法。了解其对积分路径的可加性和有方向性质。两类曲线积分的联系。教学重点及突出方法对坐标的曲线积分的计算方法及物理意义。教学难点及突破方法对坐标的曲线积分的计算方法及物理意义。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P269-P280大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P579-P584教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.2 第二类曲线积分定义

5、：，以上这两个积分称为第二类曲线积分。第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j作用，在xoy平面内从点沿光滑曲线L移动到点时，变力所做的功，即 ,其中ds=dxi+dyj 。类似地可以推广到空间情形。第二类曲线积分的性质：1. 2. ， （L=L1 +L2 ）3. 设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则：第二类曲线积分的计算方法：（1） 把积分曲线的参数方程代入曲线积分中，使其化为定积分再计算 曲线L由方程x=x(t),y=y(t), t给出，则注意：下限对应曲线L的起点，

6、上限对应曲线L的终点。 曲线L由方程y=f(x),(axb)给出，则 曲线L由方程x=g(y),(cyd)给出，则两类曲线积分的关系：其中cos,cos为有向曲线L在点(x,y)处的单位切向量（空间曲线类似）。章节第十一章 曲线积分和曲面积分3 格林公式及其应用课时2教学目的掌握格林公式和曲线积分与路径无关的4个等价命题，利用格林公式计算第二类曲线积分和利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。教学重点及突出方法格林公式和曲线积分与路径无关的4个等价命题，利用格林公式计算第二类曲线积分，利用曲线积分与路径无关来计算第二类曲线积分。教学难点及突破方法利用格林公式计算第二类曲线积分，利用曲线积分

7、与路径无关来计算第二类曲线积分。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P283-P296大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P585-P615教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.3 格林公式及其应用定理（格林公式）：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有成立，其中L是D的取正向的边界曲线。平面上曲线积分与路径无关的条件：设G是连通开区域，P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价： （1）在G内积分与路径无关； （2），L为G内任一

8、闭曲线； （3）； （4）存在可微函数u(x,y)，使du=Pdx+Qdy，(x,y)G；且当上述四个等价命题之一成立时有： = ，（x0，y0）为G内任意一点）对于一个第二类曲线积分的计算题目，先分析其是否满足格林公式：（1）闭区域D由分段光滑的曲线L围成；（2）函数P(x,y)，Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数。如果这两个条件均满足，若L取正向，则利用，若L取负向，格林公式前要加负号。若L不是闭曲线，则可引入辅助线L1，使L+L1成为取正向的封闭曲线，进而采用格林公式，然后再减去L1的曲线积分。因此L1的选取应尽可能简单，既有利用L1与L所围成区域内计算二重积分，又要有利用L1上计算曲

9、线积分，还要保证L与L1所围成区域满足格林公式条件。若L为闭区线，但P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D内有一点O,不具有一阶连续偏导数，则可采用“挖洞法来利用格林公式。 当且区域为单连通区域时，积分与路径无关，因而我们可选取一条最简单的路经计算。一般可取平行于x,y轴的折线，如果曲线本身是封闭的，可寻找一条更简单的封闭同向曲线，只要两条曲线不象角，且在它们之间的区域满足即可，则两条曲线上的积分值相等。上面的挖洞就是利用了这一点。另外，如果被积函数能凑成某二元函数的全微分，则此曲线积分与路经无关，且有类似定积分中的牛顿莱布尼兹公式，即原函数在两个端点之差。章节第十一章 曲线积分和曲面积分4 对

10、面积的曲面积分课时2教学目的掌握对面积的曲面积分的定义、性质、计算方法。教学重点及突出方法对面积的曲面积分的计算方法。教学难点及突破方法对面积的曲面积分的计算方法。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P298-P304大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P616-P621教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.4 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的定义设f(x,y,z)是定义在光滑曲面上的有界函数，将任意分割成n小块Si（Si也表示第i小块面积，i =1，2，n），在每个Si上任取一点(i,i,i)，记=maxS

11、i的直径| i =1，2，n，若极限存在，则称这个极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积的曲面积分，记作，亦称它为第一型曲面积分。其物理意义是面密度为f(x,y,z)的光滑曲面的质量。其中：f(x,y,z)叫做被积函数，叫做积分曲面，dS叫做曲面面积元素。二、对面积的曲面积分的性质由对面积的曲面积分的定义,可以得知它具有以下性质（假定下面的曲面积分都存在）:1. 2. 若可以分割为1, 2两片,且1与2除公共边界外无交点.则 三、 对面积的曲面积分得计算方法如果可以表示为单值函数z=z(x,y),Dxy为在xoy平面的投影区域.设z(x,y)在,Dxy上有一阶连续偏导数. f(x,y,z)在

12、 上连续,则存在,且可以化为二重积分: 类似地可得到曲面方程形如y=y(x,z)及x=x(y,z)时对面积的曲面积分公式。1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出z/x与z/y后.由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始 公式.2.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可.这样做可大大降地计算量.注意：1.对面积的曲面积分的计算公式可归纳为：一化、二代、三计算。即：根据曲面的方程，将去面的面积元素dS化成相应的二重积分的面积元素；将的方程直接代入被积函数中；计算转化后的二重积分。2.公式中的函数z=z(x,y)

13、等都应为由曲面的方程求得的单值函数。否则，需将曲面分片，使分片后的各片曲面为单值函数。3. 如果曲面既可表示成x=x(y,z)的形式，又可表示成y=y(x,z)或z=z(x,y)的形式时，仍需有选择地使用其中的某一公式，选择标准：在坐标面上的投影区域简单为好；带入后的被积函数也尽可能简单，二重积分易于计算为好。章节第十一章 曲线积分与曲面积分5 对坐标的曲面积分课时2教学目的掌握对坐标的曲面积分的定义、性质、计算方法。教学重点及突出方法对坐标的曲面积分的计算方法。教学难点及突破方法对坐标的曲面积分的计算方法。矢量的点积法计算第二类曲面积分：设曲面方程为z=z(x,y)，规定的法矢量方向为-z/

14、x，-z/y，1，则“+”， “-”的确定：若题设中曲面的侧与-z/x，-z/y，1相同，取“+”，否则取“-”。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P305-P316大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P616-P621教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.5 对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念记R(x,y,z)为定义在光滑的有向曲面上的有界函数，将任意分割成n小块Si（Si也表示第i小块面积，i =1,2,n），Si在xoy平面上的投影为(Si)xy，在每个Si上任取一点(i,i,i)，若极限存在，（=

15、maxSi的直径| i =1，2，n），则称这个极限为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的曲面积分，记作。类似地，可以定义函数P(x,y,z)在上对坐标y,z的曲面积分；也可以定义函数Q(x,y,z)在上对坐标x,z的曲面积分。对坐标的曲面积分亦称第二型曲面积分，常有形式为。其物理意义是单位时间内流向指定侧的流体的流量。二、对坐标的曲面积分的性质：1.其中：=1+22.设是有向曲面，（-）表示与取相反侧的有向曲面，则三、第二类曲面积分计算：步骤是“一代二投三定向，曲积化为重积算”。即若方程为z=z(x,y)，Dxy为在xoy面上的投影区域，则，当为上侧时右侧取“+”， 为下侧时右侧取

16、“-”。类似地，若方程为x=x(y,z)，则，右侧正负号依前后侧而定。若方程为y=y(x,z)，则，右侧正负号依左右侧而定。四、两类曲面积分之间的联系其中cos、cos、cos是有向曲面上点（x,y,z）处的法向量的方向余弦。章节第十一章 曲线积分和曲面积分6 高斯公式 通量与散度课时2教学目的掌握高斯公式的基本概念，并利用高斯公式计算第二类曲面积分。教学重点及突出方法高斯公式及利用高斯公式计算第二类曲面积分。教学难点及突破方法高斯公式及利用高斯公式计算第二类曲面积分。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P317-P325大学数学 概念、方法与技巧（微积分部

17、分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P629-P632教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.6 高斯公式、通量与散度一、 高斯公式 定理：设空间闭区域是由分片光滑的闭区面所围成，函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在区域上具有一阶连续偏导数，则有这里是的整个边界曲面的外侧。二、 通量 设有一矢量场，则称沿场中有向曲面某一侧的曲面积分：为穿过曲面这一测得通量。三、 散度设有一矢量场，P(x,y,z)为场中任一点，在P点的某邻域内作一包含P点的在内的闭曲面，它所围成的小区域及其体积记为v，以表示从内穿出的通量，若当v趋于0时，即v缩成点P时，极限存在，则该极限值就称为矢

18、量场在点P的散度，记为div。计算公式为：利用高斯公式可以把对坐标的曲面积分化为三重积分，而在大多数情况下计算三重积分比计算对坐标的曲面积分容易；利用两类曲面积分之间的关系，有时可把对面积的曲面积分县转化为对坐标的曲面积分，然后应用高斯公式。注意：1、应用高斯公式时，为封闭曲面，取外侧，若不是封闭曲面，有时可以引入辅助曲面1，使+1成为取外侧或取内侧的封闭曲面，进而采用高斯公式。取内侧时，高斯公式中应加负号，辅助曲面1应尽量简单，容易计算其上对坐标的曲面积分，一般情况下应尽量选择平行于坐标面的平面。例如取z=常数，则dydz=0,dzdx=0，只须计算即可。2、应用高斯公式时，要注意P(x,y

19、,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在区域内要有连续的一阶偏导数，否则高斯公式不能用。章节第十一章 曲线积分与曲面积分7 斯托克斯公式 环流量与旋度课时2教学目的掌握斯托克斯公式、环流量及旋度的基本概念，并利用斯托克斯公式计算曲线积分。教学重点及突出方法利用斯托克斯公式计算曲线积分。教学难点及突破方法利用斯托克斯公式计算曲线积分。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P326-P331大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P632-P635教学过程教学思路、主要环节、主要内容11.7 斯托克斯公式、环流量与旋度一、

20、斯托克斯公式设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，则有：此公式叫做斯托克斯公式。二、 环流量设有矢量场，则沿场中某一封闭的有向曲线L的曲线积分叫作此矢量场按所取方向沿曲线L的环流量。 设，则环流量可写成：三、 旋度 简单说，旋度是环流量对面积的变化率。设有矢量场，其中P、Q、R均有连续的一阶偏导数，则旋度为： 章节第十一章 曲线积分和曲面积分场论初步（补充）课时2教学目的简要介绍场的基本概念，介绍数量场的方向导数、梯度，矢量场的散度及旋度。教学

21、重点及突出方法场的基本概念，梯度、散度及旋度。教学难点及突破方法场的基本概念，梯度、散度及旋度。相关参考资料高等数学（第二册）（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P334-P357大学数学 概念、方法与技巧（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P635-P643教学过程教学思路、主要环节、主要内容一、场的概念如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的场。如果这物理量是数量，就称这个场为数量场；若这物理量是矢量，就称这个场为矢量场。二、数量场的方向导数和梯度三、矢量场的通量及散度四、矢量场的环量及旋度五、几种重要的矢量场 有势场；管形场；调和场。章节第十一章 曲线积分与曲面积分习 题课时2教学目的通过习题课提高学生分析问题解决问题的能力。教学重点及突出方法课后习题及补充习题。教学难点及突破方法课后习题及补充习题。相关参考资料数学复习指南2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社，P204-P242教学过程教学思路、主要环节、主要内容第十一章的课后习题及补充补充陈文登考研复习指导中的例题习题及最近几年相关的考研题，通过习题的讲解，使学生掌握解决问题的方法。