高考数学 第十四章 第三节 特征值与特征向量及矩阵的简单应用课件 理 苏教版

《高考数学 第十四章 第三节 特征值与特征向量及矩阵的简单应用课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 第十四章 第三节 特征值与特征向量及矩阵的简单应用课件 理 苏教版（40页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第三节 特征值与特征向量及矩阵的简单应用1.1.特征值与特征向量特征值与特征向量对于二阶矩阵对于二阶矩阵A，要使实数，要使实数成为它的一个特征值，必须满足成为它的一个特征值，必须满足条件：存在一个非零向量条件：存在一个非零向量 ，使得，使得_；非零向量非零向量 称为称为A的属于特征值的属于特征值的一个特征向量的条件是：的一个特征向量的条件是：_._.从几何观点分析，特征向量的方向经过变换矩阵从几何观点分析，特征向量的方向经过变换矩阵A A的作用后，的作用后，与原向量保持在同一直线上与原向量保持在同一直线上.0 0方向方向_；0 0方向方向_；0 0，特征向量就被变换成，特征向量就被变换成_._

2、.零向量零向量相相反反A = A = 不变不变设设 是一个二阶矩阵，是一个二阶矩阵，RR, ,则则A的特征多项式为：的特征多项式为：f(f()=_=_.)=_=_.2.2.矩阵矩阵M的的n n次变换次变换对于二阶矩阵对于二阶矩阵M，它的特征值分别为，它的特征值分别为1 1和和2 2，其对应的特征，其对应的特征向量分别为向量分别为 和和 ( (两者不共线两者不共线) )，则当任一向量，则当任一向量时，时， = _.= _.a bc dAa bc d2 2-(a+d)+ad-bc-(a+d)+ad-bc1212mnnM nn1122()n()m 判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括

3、号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)任意向量都可以作为特征向量任意向量都可以作为特征向量.( ).( )(2)(2)矩阵矩阵A的属于特征值的属于特征值的特征向量是惟一的的特征向量是惟一的.( ).( )(3)(3)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量.( ).( )(4)(4)矩阵矩阵A的属于特征值的属于特征值的特征向量共线的特征向量共线.( ).( )(5)(5)矩阵矩阵A的特征向量分别为的特征向量分别为1 1,2 2, ,任意非零向量任意非零向量均可以用均可以用1 1,2 2表示表示.( ).( )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .特征

4、向量必须是非零向量特征向量必须是非零向量. .(2)(2)错误错误. .矩阵矩阵A的属于特征值的属于特征值的特征向量有无数个的特征向量有无数个. .(3)(3)错误错误. .如矩阵如矩阵 就没有特征值，也就没有特征向就没有特征值，也就没有特征向量量. .31 2213 22(4)(4)正确正确. .若若是矩阵是矩阵A的特征向量，则的特征向量，则k(k0)k(k0)都是矩阵都是矩阵A的的特征向量，显然是共线向量特征向量，显然是共线向量. .(5)(5)正确正确. .都可以表示为都可以表示为 ( (其中其中t t1 1,t,t2 2为实数为实数) )的形式的形式. .答案：答案：(1)(1) (2

5、) (2) (3) (3) (4) (5) (4) (5)1 122tt 考向考向 1 1 二阶矩阵的特征值与特征向量的求法二阶矩阵的特征值与特征向量的求法【典例【典例1 1】(2012(2012江苏高考江苏高考) )已知矩阵已知矩阵A的逆矩阵的逆矩阵A-1-1= =求矩阵求矩阵A的特征值的特征值【思路点拨【思路点拨】由矩阵由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而，从而求出矩阵求出矩阵A的特征值的特征值. .13 4411 22，【规范解答【规范解答】A-1-1A= =E，A=(=(A-1-1) )-1-1. .矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为令令f(f(

6、)=0)=0，解得矩阵，解得矩阵A的特征值的特征值1 1=-1,=-1,2 2=4.=4.11113 2 344().112 1 22，AAA22 3f( )34.2 1 【互动探究【互动探究】在本题中，改为求矩阵在本题中，改为求矩阵A的特征向量的特征向量. .【解析【解析】设矩阵设矩阵A的特征向量为的特征向量为当当=-1=-1时，时，即即得得x+yx+y=0.=0.所以矩阵所以矩阵A的属于特征值的属于特征值-1-1的一个特征向量为的一个特征向量为当当=4=4时，时， 即即得得2x=3y.2x=3y.所以矩阵所以矩阵A的属于特征值的属于特征值4 4的一个特征向量为的一个特征向量为xy ，2 3

7、xx( 1)2 1yy ，2x3yx,2xyy, 1.12 3xx42 1yy ，2x3y4x,2xy4y,3.2 【拓展提升【拓展提升】求一个矩阵的特征值和特征向量的步骤求一个矩阵的特征值和特征向量的步骤(1)(1)根据条件写出此矩阵的特征多项式根据条件写出此矩阵的特征多项式f(f().).(2)(2)令令f(f() )0 0得特征值得特征值.(3)(3)根据特征向量的定义，得二元一次方程组，求得根据特征向量的定义，得二元一次方程组，求得x,yx,y间的关间的关系式，取其一组特殊值，得之系式，取其一组特殊值，得之. .【变式备选【变式备选】已知二阶矩阵已知二阶矩阵M有特征值有特征值=8=8及

8、对应的一个特征及对应的一个特征向量向量 并且矩阵并且矩阵M对应的变换将点对应的变换将点(-1(-1，2)2)变换成变换成(-2(-2，4).4).(1)(1)求矩阵求矩阵M. .(2)(2)求矩阵求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量的另一个特征值及对应的一个特征向量e2 2的坐标之的坐标之间的关系间的关系. .111 ，e【解析【解析】(1)(1)设设则则 故故又又即即联立以上两方程组解得联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,a=6,b=2,c=4,d=4,故故a bc d，Ma b1188c d118 ，ab8,cd8.a b12,c d24a2b2,c2d4. 6 2.

9、4 4M(2)(2)由由(1)(1)知，矩阵知，矩阵M的特征多项式为的特征多项式为f(f()=(-6)(-4)-)=(-6)(-4)-8=8=2 2-10+16-10+16，故其另一个特征值为故其另一个特征值为=2.=2.设矩阵设矩阵M的另一个特征向量的另一个特征向量则则所以所以所以矩阵所以矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是是2x+y=0.2x+y=0. 2xy ，e26x2yx24x4yy ，Me6x2y2x,4x4y2y,考向考向 2 2 二阶矩阵的简单应用二阶矩阵的简单应用【典例【典例2 2】设设p,qp,q为实数，为实数，,

10、是方程是方程x x2 2-px+q=0-px+q=0的两个实根，的两个实根，数列数列xxn n 满足满足x x1 1=p=p，x x2 2=p=p2 2-q,x-q,xn n=px=pxn-1n-1-qx-qxn- 2n- 2 (n=3,4,) (n=3,4,)试用试用,表示数列表示数列xxn n 的通项公式的通项公式. .【思路点拨【思路点拨】为了探求该数列的通项为了探求该数列的通项, ,我们可以引入辅助数列我们可以引入辅助数列yyn n,利用向量利用向量 与与之间的特征值之间的特征值, ,求出数列求出数列xxn n 的通项公式的通项公式. .nnxyn 1n 1xy【规范解答【规范解答】构

11、造新数列构造新数列yyn n,令令y y1 1=1,y=1,yn n=x=xn-1n-1(n2,nN),(n2,nN),则则x xn n=px=pxn-1n-1-qy-qyn-1n-1，从而从而得转移矩阵得转移矩阵M的特征多项式为的特征多项式为令令f(f()=0.)=0.nn 1nn 1xxp qy1 0y，p q,1 0M2p qfpq,1 （ ）当当时时, ,矩阵的特征值为矩阵的特征值为, ,代入二元一次方程代入二元一次方程- -x+yx+y=0=0得对应的一个特征向量分别为得对应的一个特征向量分别为设设则则且且+=p,=p,解之得解之得: :12,11 ee111221xpkk,y1 e

12、ee1212kkp,kk1,12k,k, 由由得得即即特别地特别地, ,当当=时时, ,综上所述，综上所述，n 1nnn1122n 1xkk,yM eeen 2n 2n 1x,n 1n 1nn 1n 1nnx, nnxn1,nn 1n 1nnx. 【拓展提升【拓展提升】矩阵的作用与应用矩阵的作用与应用一个矩阵是一张由数据一个矩阵是一张由数据( (或字母或字母) )排列成的表排列成的表, ,它能把原本纷繁它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来, ,使人使人一目了然一目了然. .同时对矩阵施行某些运算，则可以使我们看清事物同时

13、对矩阵施行某些运算，则可以使我们看清事物之间或对象之间蕴含的数学规律之间或对象之间蕴含的数学规律. .矩阵的简单应用包括生产问矩阵的简单应用包括生产问题、图论问题、信息学问题、数列问题题、图论问题、信息学问题、数列问题. .【变式训练【变式训练】斐波那契数列斐波那契数列aan n 满足满足a a1 1=a=a2 2=1,a=1,an n=a=an-1n-1+a+an-2n-2(n3,(n3,nNnN),),试求其通项公式试求其通项公式. .【解析【解析】设设b b1 1=0,b=0,bn n=a=an-1n-1(n2,nN),(n2,nN),则则a an n=a=an-1n-1+b+bn-1n

14、-1, ,于是向量于是向量 之间满足之间满足所得转移矩阵为所得转移矩阵为M的特征多项式为的特征多项式为nn 1nn 1aabb与nn 1nn 1aa1 1,b1 0b1 1,1 0M2-1 -1f1,-1 （ ）故特征值为故特征值为 代入二元一次方程代入二元一次方程-x+y-x+y=0=0得得对应的一个特征向量分别为对应的一个特征向量分别为设设则则解之得解之得: :121515,22 121515,2211111221a1kk,b0 12121515kk1,22kk0,1211k,k,55 从而从而从而得从而得即即n 1n 1abnnn111222kk,Mnn1515115115.222255

15、11（）（）n 1n 1n 111515a,225（） （） nnn11515a.225（）（） 1.1.已知矩阵已知矩阵 求矩阵求矩阵M的特征值及其相应的特征的特征值及其相应的特征向量向量. .2 0,1 1M【解析【解析】矩阵矩阵M的特征多项式为的特征多项式为令令f(f()=0,)=0,解得解得1 1=1,=1,2 2=2.=2.将将1 1=1=1代入二元一次方程组代入二元一次方程组解得解得x=0 x=0，y y可取任意值可取任意值. .矩阵矩阵M属于属于1 1的一个特征向量可以为的一个特征向量可以为同理矩阵同理矩阵M属于属于2 2的一个特征向量可以为的一个特征向量可以为22 0f321

16、1 （ ），2x0 y0,x1y0, （）（）0,1 1.1 2.(20132.(2013苏州模拟苏州模拟) )已知二阶矩阵已知二阶矩阵A有特征值有特征值1 1=3=3及其对应的及其对应的一个特征向量一个特征向量 特征值特征值2 2=-1=-1及其对应的一个特征向量及其对应的一个特征向量 求矩阵求矩阵A的逆矩阵的逆矩阵A-1-1. .11,1 211，【解析【解析】设二阶矩阵设二阶矩阵则有则有 且且即即且且解得解得a=1,b=2,c=2,d=1.a=1,b=2,c=2,d=1. 从而从而a ba,b,c,dRc d，Aa b113,c d11 a b11,c d11 ab3,ab1 ，cd3,

17、cd1,1 2,2 1A112 33.21 33A3.(20133.(2013苏州模拟苏州模拟) )求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. .1 42 6M【解析【解析】f(f()=(+1)(-6)-8=)=(+1)(-6)-8=2 2-5-14=(-7)(+2),-5-14=(-7)(+2),由由f(f()=0)=0可得：可得：1 1=7,=7,2 2=-2.=-2.由由 可得可得所以属于所以属于1 1=7=7的一个特征向量为的一个特征向量为由由 可得可得所以属于所以属于2 2=-2=-2的一个特征向量为的一个特征向量为71x4y0,2x76y0（）（），x1,y2，1,2 2

18、 1x4y0,2x26y0 （）（），x4,y1 ，4.14.4.已知矩阵已知矩阵 其中其中aRaR，若点，若点P(1,-2)P(1,-2)在矩阵在矩阵M的变的变换下得到点换下得到点P(-4,0)P(-4,0)，(1)(1)求实数求实数a a的值的值. .(2)(2)求矩阵求矩阵M的特征值及其对应的特征向量的特征值及其对应的特征向量. .2 a2 1，M【解析【解析】(1)(1)由由得得2-2a=-42-2a=-4a=3.a=3.(2)(2)由由(1)(1)知知 则矩阵则矩阵M的特征多项式为的特征多项式为令令f(f()=0)=0，得矩阵，得矩阵M的特征值为的特征值为-1-1或或4.4. 当当=

19、-1=-1时，时， x+y=0,x+y=0, 矩阵矩阵M的属于特征值的属于特征值-1-1的一个特征向量为的一个特征向量为2 a142 120，2 32 1，M22 3f(21634.2 1 （ ）)()2x3y02x1y0 （），（）1;1当当=4=4时，时， 2x-3y=0,2x-3y=0,矩阵矩阵M的属于特征值的属于特征值4 4的一个特征向量为的一个特征向量为2x3y02x1y0 （），（）3.2 5.(20135.(2013扬州模拟扬州模拟) )设设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2 2倍倍, ,纵坐标伸长到纵坐标伸长到3 3倍的伸压变换倍的伸压变换.

20、.(1)(1)求矩阵求矩阵M的特征值及相应的特征向量的特征值及相应的特征向量. .(2)(2)求逆矩阵求逆矩阵M-1-1以及椭圆以及椭圆 在在M-1-1的作用下的新曲线的的作用下的新曲线的方程方程. .22xy149【解析【解析】(1)(1)由条件得矩阵由条件得矩阵它的特征值为它的特征值为2 2和和3 3，对应的一个特征向量分别为，对应的一个特征向量分别为及及(2) (2) 椭圆椭圆 在在M-1-1的作用下的新曲线的作用下的新曲线的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2=1.=1.2 00 3，M10 0.1 11 02,10 3M22xy1496.6.已知矩阵已知矩阵 向量向量(1)(1)

21、求求A的特征值的特征值1 1，2 2和对应的特征向量和对应的特征向量(2)(2)计算计算 的值的值1 21 4，A7.4 12.，5A 【解析【解析】(1)(1)矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为由由f(f() )0 0，解得，解得1 12 2，2 23.3.当当1 12 2时，解得时，解得当当2 23 3时，解得时，解得 21 2f561 4（ ） ，121 ，21.1 a(2)(2)由由 得得解得解得m m3 3，n n1.1.则则2mn7,mn4 ，5511223 （）552 1 4353 23.11 339 12mn55551212(3) 3()A AA A 7.7.已知矩阵已知矩

22、阵 若矩阵若矩阵A属于特征值属于特征值6 6的一个特征向量为的一个特征向量为 属于特征值属于特征值1 1的一个特征向量为的一个特征向量为 求矩阵求矩阵A，并写出并写出A的逆矩阵的逆矩阵. .3 3c d，A111 ，232【解析【解析】由矩阵由矩阵A属于特征值属于特征值6 6的一个特征向量为的一个特征向量为可得可得 即即c cd d6;6;由矩阵由矩阵A属于特征值属于特征值1 1的一个特征向量为的一个特征向量为可得可得 即即3c3c2d2d2 2，解得，解得即即 A的逆矩阵是的逆矩阵是111 ，3 3116c d11 ，232，3 333c d22，c2d4 ， 3 32 4，A21 32.1

23、1 328.8.对任意实数对任意实数x x，矩阵，矩阵 总存在特征向量，求总存在特征向量，求m m的的取值范围取值范围. .x 3m2m 2【解析【解析】由条件得由条件得=(-x)(-2)-(m-2)(-3-m)=(-x)(-2)-(m-2)(-3-m)=2 2-(x+2)+2x+(m+3)(m-2)=0-(x+2)+2x+(m+3)(m-2)=0有实数根有实数根, ,得得:1 1=(x+2)=(x+2)2 2-4(2x+m-4(2x+m2 2+m-6)0+m-6)0对任意实数对任意实数x x恒成立恒成立, ,所以所以2 2=16+4(4m=16+4(4m2 2+4m-28)0,+4m-28)0,解之得解之得:m:m的取值范围是的取值范围是-3m2.-3m2.x 3mfm2 2 （ ）