曲线与方程专题训练

《曲线与方程专题训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲线与方程专题训练（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、曲线与方程力6.1曲线与方程的概念则 知识点睛1 .坐标法：在直角坐标系中确定曲线的方程，并用方程研究曲线的性质，这种研究几何的方法称为坐 标法.2 .轨迹方程：一条曲线可以看成动点的运动轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.3 .在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x, y)=0之间具有如下关系： 曲线C上点的坐标都是方程 F(x , y) =0的解； 以方程F(x,y) =0的解为坐标的点都在曲线 C上.那么，曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线，方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程.即：M (x, y) WCu F(x , y) =0 .曲线C用集合的特征描述为 C=M

2、(x, y)|F(x, y)=0.教师备案 曲线的方程和方程的曲线比较抽象，尽可能举例说明，从学过的直线、圆、圆锥曲线中挑都可以.此外，还可以举反例加深理解.比如过点P(6,1)且平彳T于x轴的直线l和方程y=1 之间的关系，只具备，不满足，因此 |y =1不是直线l的方程，l也不是方程|y =1所表 示的曲线，只是其一部分.又比如满足到两个坐标轴距离之积为k ( k0)的点所成的曲线与xy =k之间的关系.经典精讲考点1:曲线与方程的概念【铺垫】 若曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，则下面判断正确的是()A.曲线C的方程是f(x,y)=0B.以方程f(x, y) =0的解为坐标

3、的点都在曲线 C上C.方程f(x, y) =0表示的曲线是CD.方程f(x, y) =0表示的曲线不一定是 C 如果命题“坐标满足方程f (x, y )=0的点都在曲线C上”不正确，那么以下正确的命题是()A .曲线C上的点的坐标都满足方程 f (x, y )=0.B.坐标满足方程f (x, y )=0的点有些在C上，有些不在 C上.C.坐标满足方程f (x, y )=0的点都不在曲线 C上.D. 一定有不在曲线 C上的点，其坐标满足方程f (x, y )=0.【解析】DD【例1】 ，下列哪组方程表示相同的曲线()2A. y =xf y =B. y=x与 y=V7xC . y = x 与 y=

4、7xD . y=lgx2 与 y=2lgx*设曲线C的方程为(x3)2+(y 2)2 =1 ,直线l的方程为x + y3 = 0,点P的坐标为 (2,1),那么()A.点P在曲线C上，但不在直线l上 B.点P不在曲线C上，但在直线l上 C.点P既在曲线C上，又在直线l上 D.点P既不在曲线C上，又不在直线l上方程(xy)2+(xy1)2=0表示的曲线是()A. 一条直线和一双曲线B.两条直线C.两个点 D.以上答案都不对*下列命题正确的是()A .到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是x -y =0B.已知三点 A(0,3), B(-2,0), C(2,0), ABC的边BC上的中线方程是

5、x = 0C.到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是 xy=1)7 1/ 12 3 4 /| / /! /|D.到x轴的距离等于2的点的轨迹方程是 y=2 CB C C提高班学案1【拓1】 已知方程x2+(y-1)2 =10 ,判断P(1, 2)、Q(夜，3)是否在此方程表示的曲线上；若点m m, _m在此方程表示的曲线上，求 m . 2【解析】P(1, 2)在方程x2 +(y1)2=10表示的曲线上，Q(T2,3 )不在此方程表示的曲线上. m=2或m=18.5.LCJ3LC ,右点 M (m , y2 ), N , n 在I2 )抛物线目标班学案1【拓3】 指出方程x2(x2+y2_1

6、)=y2(x2+y21)所表示的曲线曲线C上，则m =, n =. 方程J(x +3 j +(y _1 j一/3|所表示的曲线为( 2A.圆B.直线 C.椭圆 D.【解析】m =士* ,门=土史或门=/.22D;6.2曲线的交点和性质知识点睛1 .已知两条曲线 g和C2的方程分别为F (x, y )=0和G(x, y尸0 ,则C1和C2的交点坐标对应方程组2y)=的实数解.jG(x, y )=02 .利用方程研究曲线的性质：曲线的组成和范围；曲线与坐标轴的交点；曲线的对称性质；曲线的变化情况；画出方程的曲线.经典精讲考点2:曲线的交点和性质【例2】 1曲线2y2 +3x+3=0与曲线x2 +y

7、2 4x5=0的交点的个数是 .*两曲线y=-x2+10与x+y=10交于两点，此两点间的距离是()A.小于&B.等于行C.等于2D.大于2【解析】1;B.尖子班学案1【拓2】 设0 日 ,曲线x2 sin 0+y2cos8 =1和x2 cos9 一 y2sin9 =1有四个交点，求 0的范围. 2【解析】06 1)的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则45正52的面积不大于 la2.2其中，所有正确结论的序号是 .【解析】；6.3曲线方程的求解知识点睛1 .求曲线方程的步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线C上任意一点M的

8、坐标；写出适合条件 p的点M的集合P=m p(M，；用坐标表示条件 p(M1列出方程f(x,y)=0;化方程f (x, y )=0为最简形式；证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点.求曲线方程时，一般、可以省略.但要注意化简前后方程的解集的统一性.2 .求曲线轨迹方程的常见方法有：直接法、相关点法、参数法.直接法：指通过解读题目的条件， 明确轨迹所满足的代数关系与几何性质之后，根据题目条件或曲线的定义直接写出轨迹方程，再进行化简计算的方法.相关点法：有时欲求的轨迹上的动点M (x , y )的坐标取决于已知曲线 C上的点M0(x0, y0)的坐标，可以先把x。、y。表示为x、y的式子

9、，再代入曲线C的方程，即得M点的轨迹方程， 这种方法叫做相关点法(或代入法或转移法).其实质是在设条件以后，得到方程式的关 键在于代入”.参数法：动点坐标 x、y之间的关系很隐蔽时，引入恰当的参数，利用参数求得 x、y与参数之 间的关系，然后消去参数，得 x、y之间的直接关系.运用此法的关键在于恰当的选取 参数，一般的原则是：参数的变化必须直接影响动点的变化；便于消去参数；常 用的参数有几何参数(角度、直线的斜率和截距、点的坐标、线段的长度、有向线段的 数量和定比等等)和物理参数(时间、速度、位移等等)教师备案1、求曲线的方程要注意的问题：适当建立坐标系.坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所

10、得的方程也比较简单，否则会大大增加运算 的繁杂与难度.在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性.如中心对称图形，可 利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中若有直角，可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等.坐标系建立得好与坏与计算的繁简以及方程的形式有关，而与轨迹无关.根据条件列出方程.根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环.应认真分析题设条件， 综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定 理等将几何等式坐标化， 便得曲线的方程，还要将所得方程化简， 使求得的方程是最简 单的形式.证明.还应证明上面所求得的方程

11、就是曲线的方程.课本上说“一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(即证明完备性)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说 明”.不能由此得“不需要证明”的印象，而仅仅是在同解变形的前提下，不要求证明.若化简过程不是方程的同解变形，就必须注意在变形过程中是产生了增根还是减根，并在所得的方程中加以删除或补充，此时也可不必写出证明过程.2、在求解曲线的方程时经常会出现的是产生多解或漏解的错误，在实际求解过程中要注意:注意动点所满足的某些隐含条件；注意方程变形的同解性；注意图形可能的不同位置或字母系数可能取不同值时的讨论等.3、求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的.若是求轨迹，则不仅要求出方

12、程，而且还 要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以 说明、讨论等.经典精讲教师备案 直接法对应例5,两问分别是代数法和几何法，相关点法对应例6,参数法对应例 7.考点3:求轨迹方程【例4】 *已知 ABC的边BC在x轴上，B(_1, 0), 0(1, 0), 22若AB -AC =4,求点A的轨迹方程.若直线AB与AC的斜率之积为-2,求点A的轨迹方程.若AB =72|AC ,求点A的轨迹方程. 22在已知椭圆 2+L=1左、右焦点分别为Fl和F2,直线li过F2且与X轴垂直，动直线12与 32y轴垂直，12交li与点P .则线段PFi垂直平分线与12的

13、交点M的轨迹是()A.直线 B.圆C.椭圆D.抛物线【解析】 所求轨迹方程为x=1 ( y=0 ),轨迹为去掉一点的直线； 2所求轨迹方程为X2 +上=1 ( y =0 ),故所求轨迹为去除两点的椭圆； 2所求轨迹方程为(x -3)2 +y2 =8 ( y =0 ),故所求轨迹为去除两点的圆.D;教师备案 求动点的轨迹方程，如果动点坐标 x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法.提高班学案3【拓1】 已知4ABC的边BC在x轴上，B(-1, 0 ), 0(1, 0),若直线 AB与AC的斜率之积为 m (m#0),求点A的轨迹. 等腰三角形ABC底边上两个顶点为 B(2 , 1) , C(0

14、 , -2),则顶点A的轨迹方程是 【解析】 所求轨迹方程为 mx2 -y2 =m ( y #0 ).当m0时，点A的轨迹为去除两点的双曲线；当me。，且m。-1时，点A的轨迹为去除两点的椭圆，且当-1m0时，椭圆的焦点在x轴上；当m0), I2 : y =x(x 0)上的动点，O为坐标原点，且OAB的面积为定值2.求线段AB中点M的轨迹C的方程.【解析】点M的轨迹方程为x2 -y2 =2 (x 0),为双曲线的一支.教师备案 交轨法：(选讲)当动点为某两条动曲线的交点，但不易直接找到动点坐标x、y之间的关系时，则可选取和两动曲线均相关的某个参变量作媒介，分别求出两动直线的含参变量的方程，然后

15、联立消去参数即得所求轨迹方程，此法为参数法的特殊情形，使用的前提是动点为某两条动曲线的交点”，关键是选好同时影响两条动曲线变化的参变量.一交轨法的一般步骤：1、建系，设动点坐标；2、选取影响两动曲变化的参变量，并求两动曲线的含参变量的方程；3、联立两动曲线的方程，消去参数即得轨迹方程.【选讲】 已知直线li： 5x-2y+3m(3m+1)=0l2： 2x+6y 3m(9m+20) =0 ,则此两直线的交点P的轨迹方程为.已知A(1 , 0)、B(1, 0),圆x2 +y2 =1的一条动弦PQ垂直于AB ,设AP和BQ交于点M , 求M的轨迹方程;OA、OB .过O作AB的垂线,过抛物线y2=4

16、px ( p0)的顶点O作两条互相垂直的弦 求垂足H的轨迹方程.1 2y =一 x +3x ;x =3m92cy = - m 9m225x -2y 3m(3m 1) =02x 6y -3m(9m 20) =0消去 m 得：y =- x2 +3x .2法一：设 P(x1 , y1)，则 Q(x1 , y1),直线AP的方程为:y1 y - x1 1(x+1)；直线BQ的方程为:一 y1yEx-1),22y =x 1,2两式相乘得：y2 = 2 y1 (x2 一1),又x12 +y12 =1 ,故方程为 x1 -1即 x2 -y2 =1 ( x 11).法二：如图建系，设 P(cos8 , sin

17、8), Q(cos9 , -sin9 ),则直线AP：工=上二，即yjxms也；sinf cos rcos1 1直线 bq：即 y=9ns吧；-sin - cos - -11-cos1两方程相乘消参得x2 -y2 =1 ( y*0)为所求M点的轨迹方程. 2/y =4px,1得 B(4k2p, -4kp). 设OA的方程为y =kx(k 00)，点H (x , y) (x#0),则OB的方程为由jy2=4pX得A.色P，如,由y=kx,kyk J.2k 1 - k-kAB =2 ,她 koM =-.1 -kk.AB的方程为y=_x_fp2，OH的方程为y=_tkx， 1 -k 1-kk点H的坐

18、标满足，由消去k ,并整理得点H的轨迹方程是(x2p)2+y2 =4p2(x*0).，点H的轨迹是以(2p, 0)为圆心，2 P为半径的圆(去掉原点(0, 0).实战演练【演练1】条件A:曲线C上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B:以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线 C上.则A与B的关系是()A . A是B的充分不必要条件B. A是B的必要不充分条件C. A是B的充要条件D. A既不是B的充分条件也不是 B的必要条件【解析】D 【演练2】 熏M在曲线y2 =4x上”是点M的坐标满足方程y=-2五的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必

19、要条件【解析】B； 【演练3】y =，1 x2与曲线y=|x|的交点个数是 【解析】2 ;【演练4】平面直角坐标系xOy中，若定点A(1, 2)与动点P(x, y)满足OP OA=4.则点P的轨迹 方程是.【解析】x 2y -4 0【演练5】点M是曲线x2 +y2 -2x 3=0上的动点，点 A(-3, 2),且点A为线段MB的中点, 求动点B的轨迹方程.【解析】动点B的轨迹方程为(x+7)2+(y4)24=0 .【演练6】过圆O:x2+y2 =4外一点A(4, 0),作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹.【解析】点M的轨迹方程为(x -2)2 +y2 =4(0 x 1),所以M的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分.大千世界(2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二竞赛)动点 M(x, y)满足 (x-since)2 +(y -cosa)2 = xsinot +ycosot -1 (其中 口 是常数)，那么点 M 的轨迹是.【解析】 过点(sin a , cos a)且垂直于直线x since +ycosa _1 =0的直线；动点M(x, y)的几何意义是到定点 P(sina , cosa)的距离等于到定直线l :xsinot +ycosot_1 =0的距离. PWl , 点M的轨迹是过 P且垂直l的直线.