平面汇交力系与平面力偶系

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1、第二章 平面汇交力系与平面力偶系2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系，汇交于O（图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明如图和图所示，其中讨论：1）图2中的中间过程可不必求，去掉的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢

2、的起点指向最后一个力矢的终点。3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。2平面汇交力系的平衡 设作用在刚体上的汇交力系为平衡力系，即先将由力多边形法合成为一个力，（）由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：与等值，反向，共线，即， 可得，或结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是，力多边形自行封闭。例1 已知：简支梁AB，在中点作用力，方向如图，求反力解：1。取研究对象AB梁2受力分析如图3作

3、自行封闭的力三角形如图 4求解 例2已知：支架ABC，A、B处为铰支座，在C处用销钉连接，在销上作用，不计杆自重。求：AC和BC杆所受的力。解：1。取研究对象销钉C2受力分析3作自行封闭的力多边形。4解三角形 2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法1 力在坐标轴上的投影 力矢与各投影有以下关系： 此式称为力的解析式2合力投影定理若某平面汇交力系由几个力组成，则合力于是 结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定理。合力的大小： *合力的方向： 2平衡由几何法知。汇交力系平衡 由式（*）知平面汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴

4、上的投影的代数和都等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程，两个方程求两个未知量。例3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为a，在D点作用水平力P，不计自重，求支、C的约束反力。解：分析易知OAB是二力杆件，1以BCD为研究对象；2受力分析3列方程，求解 求得 也可在系中。 可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。例4已知：，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC所受的力。解：1、研究对象：滑轮2受力分析3列方程求解 其中 解得 （压） （拉）小结：从刚才的解题中，我们可以看出，几何法解题直观、简单、容易掌握，力系中各力之间的关系在力多边形中一目了然。但是若力多与三个时，力多边形的几何关系就非常复杂。

5、而且由于按比例尺作图，因此只能反映各量（力、尺寸、角度）的某些特定值之间的关系，不能反映各量之间的函数关系。只要改变一个量，就要重新作图。因此在实际中，我们更多的是采用解析法来解题。2.2 平面力对点之矩的概念及计算平面中力矩的概念oABd（一）、力对点的矩的定义力使刚体绕O点转动的强弱程度的物理量称为力对O点的矩。用MO(F)表示，其定义式为MO(F)=Fd其中：点O称为矩心，d称为力臂。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿米（N m）。由图可知：MO(F)=ABC的面积（二）、平面汇交力系的合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任意

6、一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即例1支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N, 。求 对A、B、C三点之矩。解：由定义由合力矩定理例2如图所示，求F对A点的矩。 解一：应用合力矩定理解二：由定义小结：力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动），其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点的矩（简称力矩）来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。2.4 平面力偶一、力偶的概念在力学中，把等值、反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为力偶。

7、以( F,F)表示。两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的距离称为力偶臂。力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：二、力偶的性质1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶只能与力偶平衡。力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m表示，即正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正；顺时针取负。单位同力矩的单位。2、只要保持力偶矩不

8、变，力偶可以改变力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚体的作用。此性质是力偶系合成的基础。 由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。 在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数量。 力偶可表示为：3、力偶在作用面内任一轴上的投影均为零。4、力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩。三、平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为平面力偶系。 （1） 推广得：结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。四、平面力偶系的平衡平面力偶系总可以简化为图（1）示情形。若R=0，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是R=0或是d=0，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即： 上式称为平面力偶系的平衡方程。例、求图示简支梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：