高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修22
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1、 【成才之路】高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时,验证n1时,左边应取的项是()A1B12C123 D1234答案D2如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)对一切正整数n都成立,则a,b的值应该等于()Aa1,b3 Ba1,b1Ca1,b2 Da2,b3答案D解析当n1时,上式可化为abab11;当n2时,上式可化为ab2(ab)16.由可得ab5,ab6,验证可知只有选项D适合3(2014揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”,要利用归纳假设
2、证nk1时的情况,只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析因为从nk到nk1的过渡,增加了(k3)3,减少了k3,故利用归纳假设,只需将(k3)3展开,证明余下的项9k227k27能被9整除4某个命题与正整数n有关,若nk(kN*)时该命题成立,那么可推知nk1时该命题也成立,现已知当n5时该命题不成立,那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立答案C解析若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若nk(kN*)时该命题成立,那么可推得nk1时该命题也成立,可推得若nk1时命题不成立可推得nk(kN*
3、)时命题不成立,所以答案为C5(2014合肥一六八中高二期中)观察下列各式:已知ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则归纳猜测a7b7()A26 B27C28 D29答案D解析观察发现,134,347,4711,71118,111829,a7b729.二、填空题6(2014吉林长春一模,13)用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时,当n1时左边表达式是_;从kk1需增添的项是_答案123;4k5(或(2k2)(2k3)解析因为用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时,当n1时,2n13,所以左边表达式是123;从kk1需增添的项的是4k5
4、或(2k2)(2k3)7使|n25n5|1不成立的最小的正整数是_答案5解析从n1,2,3,4,5,取值逐个验证即可8凸k边形有f(k)条对角线,则凸k1边形的对角线条数f(k1)f(k)_.答案k1解析设原凸k边形的顶点为A1,A2,Ak,增加一个顶点Ak1,增加Ak1与A2、A3,Ak1共k2条再加上A1与Ak的一条连线共k1条三、解答题9数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解析(1)当n1时,a1S12a1,a11;当n2时,a1a2S222a2,a2;当n3时,a1a2a3S323a3,a3.由此猜想a
5、n(nN*)(2)证明:当n1时,a11结论成立,假设nk(k1,且kN*)时结论成立,即ak,当nk1时,ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1,2ak12akak1,当nk1时结论成立,于是对于一切的自然数nN*,an成立10求证:(n2,nN)证明(1)当n2时,左边,不等式成立(2)假设当nk(k2,kN)时不等式成立,即,则当nk1时,.所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)可知原不等式对一切n(n2,nN)都成立.一、选择题1(2014秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1aa2an1(nN*,a1),在验证n1时,左边所得的项为()A1 B1aa2C1a D1aa2a3答案B解析因为当n1时,an1a2,所以此时式子左边1aa2.故应选B.2(2014衡水一模,6)利用数学归纳法证明不等式11.因为a11,所以an1(nN)下面用数学归纳法证明不等式bn.(1)当n1时,b11,不等式成立(2)假设当nk(k1)时,不等式成立即bk,那么bk1|ak1|bk.所以,当nk1时,不等式也成立根据(1)和(2),可知不等式对任意nN都成立
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