万变不离其宗：高中数学课本典例改编之必修四、五：专题三 三角恒等变换 Word版含解析

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1、专题三 三角恒等变换一、题之源：课本基础知识1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan()(,均不为k,kZ)2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.(,2均不为k,kZ)3三角公式关系二、题之本：思想方法技巧1深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式,知其结构特征仅是第一层面要求,重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵如1sin2(sincos)2有并项的功能,cos2cos2sin2有升幂的功能,sin22sinco

2、s有将角由大化小的功能,两角和与差的正切公式,揭示的是同名不同角的正切函数的关系等2余弦的差角公式是本节公式之源,掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的3三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明对于有条件的恒等证明,需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异,探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件,特别是将条件变形整理后使用4熟知一些恒等变换的技巧公式的正用、逆用及变形用熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对的,如2()(),()(),是的半角,是的倍角等在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,尤其要重视常数“1”

3、的各种变形,例如：1tan,1sin2cos2等在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂通过对角的分拆,达到使角相同；通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形,达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降,达到幂的统一5.辅助角公式（化一公式）：(其中角所在的象限由a, b 的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.把形如 的函数化为的形式,再研究其性质,是近几年高考常考题型.6.已知值求

4、角中,角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除要避免上述情况的发生,应合理选择三角函数形式进行求解,根据计算结果,估算出角的较精确的取值范围,并不断缩小角的范围,在选择三角函数公式时,一般已知正切函数值,选正切函数,已知正余弦函数值时,若角在时,一般选余弦函数,若是则一般选正弦函数如：若、B均为锐角,且,则A+2B的值为7.两角和正切公式的变形：tan+tan=tan(+)(1-tantan),它体现了两个角正切的和与积的关系,在解题中有广泛的应用,如求值：8.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的

5、拆分,从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等9.三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求

6、角的范围,确定角三、题之变：课本典例改编1.原题（必修4第一百二十七页例2）改编 已知求.2.原题（必修4第137页A组第十题）已知：,是方程的两根,试求的值.改编 已知：,是方程的两根,求的值.【解析】由题意有,.3.原题（必修4第一百三十九页例1）改编 化简：的结果是 .【解析】2sin24.原题（必修4第147页复习参考题B组第七题）改编 如图,正方形ABCD的边长为1,P、Q分别为AB、DA上的点,当PCQ=时,求APQ的周长.5.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B组第六题）改编 若函数在区间上的最小值为3,求常数的值及此函数当(其中可取任意实数)时的最大值.【解析】,时,由于最小正周期为,所以当取任意实数时,区间上的最大值是6.