剪力图和弯矩图讲义

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1、弯弯 曲曲第第 9 章章9-4 求惯性矩的平行移轴公式求惯性矩的平行移轴公式9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究9-3 弯曲正应力弯曲正应力9-6 梁的强度条件梁的强度条件9-5 弯曲切应力弯曲切应力9-8 弯曲应变能弯曲应变能9-10 超静定梁超静定梁9-7 挠度和转角挠度和转角9-1 剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图9-9 斜弯曲斜弯曲材料力学发展大事记材料力学发展大事记 梁的弯曲问题梁的弯曲问题 在在关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明明一书中，伽利略讨论的第二个问题是一书中，伽利略讨论的第二

2、个问题是梁的弯曲强度问梁的弯曲强度问题题。按今天的科学结论，当时作者所得的弯曲正应力公式。按今天的科学结论，当时作者所得的弯曲正应力公式并不完全正确，但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力并不完全正确，但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力和和bhbh2 2（b b、h h分别为截面的宽度和高度）成正比，圆截面梁分别为截面的宽度和高度）成正比，圆截面梁承载能力和承载能力和d d3 3（d d为横截面直径）成正比的正确结论。对于为横截面直径）成正比的正确结论。对于空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“能大能大大提高强度而无需增加重量，所以在技术上得

3、到广泛的应大提高强度而无需增加重量，所以在技术上得到广泛的应用。在自然界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和用。在自然界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具各种芦苇中可以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力有相当高的抵抗能力”。 梁在弯曲变形时，沿长度方向的纤维中有一层既不伸长梁在弯曲变形时，沿长度方向的纤维中有一层既不伸长也不缩短者，称为也不缩短者，称为中性层中性层。早在。早在16201620年荷兰物理学家和力学年荷兰物理学家和力学家比克门（家比克门（Beeckman IBeeckman I）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、

4、另）发现，梁弯曲时一侧纤维伸长、另一侧纤维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。英国一侧纤维缩短，必然存在既不伸长也不缩短的中性层。英国科学家胡克（科学家胡克（Hooke RHooke R）于）于16781678年也阐述了同样的现象，但他年也阐述了同样的现象，但他们都没有述及中性层位置问题。首先论及中性层位置的是法们都没有述及中性层位置问题。首先论及中性层位置的是法国科学家马略特（国科学家马略特（Mariotte E, 1680Mariotte E, 1680年）。其后莱布尼兹年）。其后莱布尼兹（Leibniz G WLeibniz G W）、雅科布）、雅科布伯努利（伯努利（Jakob Be

5、rnoulliJakob Bernoulli，16941694）、伐里农（）、伐里农（Varignon D, 1702Varignon D, 1702年）等人及其他学者的年）等人及其他学者的研究工作尽管都涉及了这一问题，但都没有得出正确的结论。研究工作尽管都涉及了这一问题，但都没有得出正确的结论。1818世纪初，法国学者帕伦（世纪初，法国学者帕伦（Parent AParent A）对这一问题的研究取）对这一问题的研究取得了突破性的进展。直到得了突破性的进展。直到18261826年纳维（年纳维（NavierNavier，C. C. L. L. M. M. H H）才在他的材料力学讲义中给出正确的

6、结论：中性层过横）才在他的材料力学讲义中给出正确的结论：中性层过横截面的形心。截面的形心。 平截面假设平截面假设是材料力学计算理论的重要基础之一。雅科是材料力学计算理论的重要基础之一。雅科布布伯努利于伯努利于16951695年提出了梁弯曲的平截面假设，由此可以证明年提出了梁弯曲的平截面假设，由此可以证明梁（中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁（中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁的挠曲梁的挠曲线微分方程线微分方程。但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹性。但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹性模量的定量结果，致使该理论并没有得到广泛的应用。模量的定量结果，致使该理论并没有

7、得到广泛的应用。 梁的变形计算问题梁的变形计算问题，早在，早在1313世纪纳莫尔（世纪纳莫尔（Nemore J Nemore J dede）已经提出，此后雅科布）已经提出，此后雅科布伯努利、丹尼尔伯努利、丹尼尔伯努利伯努利（Daniel BernoulliDaniel Bernoulli）、欧拉（）、欧拉（Euler LEuler L）等人都曾经研）等人都曾经研究过这一问题。究过这一问题。18261826年纳维在他材料力学讲义中得出了正年纳维在他材料力学讲义中得出了正确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式，为梁确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式，为梁的变形与强度计算问题奠定了正

8、确的理论基础。的变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。 俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（）于于18551855年得到年得到横力弯曲时的切应力横力弯曲时的切应力公式。公式。3030年后，他的同胞别年后，他的同胞别斯帕罗夫（斯帕罗夫（）开始使用弯矩图，被认为是）开始使用弯矩图，被认为是历史上第一个使用历史上第一个使用弯矩图弯矩图的人。的人。 内内 容容 提提 要要剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图9 1 剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。aPAB一、梁的剪力

9、（一、梁的剪力（ FS ）和弯矩）和弯矩 （ M ） 的定义与计算的定义与计算mmx1、用截面法求横截面上的内力、用截面法求横截面上的内力FS用截面法假想地在用截面法假想地在横截面横截面mm处把梁分处把梁分为两段，先分析梁左段。为两段，先分析梁左段。xxmAmyCaPABmmx00FFySA由平衡方程得由平衡方程得可得可得 FS = FAFS 称为称为 FA可得可得 M = FAx由平衡方程由平衡方程 0mC0 xFMAM内力偶内力偶 M 称为称为 aPABmmxFSxxmAmyCFAMaPABmmxFSxxmAmyCFA梁在弯曲变形时，梁在弯曲变形时，横截面上的内力有横截面上的内力有两个，即

10、，两个，即，结论结论剪力剪力 FS弯矩弯矩 MFSM其上剪力的指向和弯矩其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。研究对象所示相反。MFSxxmAmyCFA取右段梁为研究对象。取右段梁为研究对象。BmmFBPdx+（1）剪力）剪力 FS 的符号的符号2、FS 和和 M 的正负号的规定的正负号的规定剪力剪力 FS 使使 梁的微段发生梁的微段发生 “ 左上右下左上右下 ” 的错动的错动为为 正正。FSFS或使或使 考虑的脱离体考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为有顺时针转动趋势的剪力为正正。dx剪力剪力 FS 使使 梁的微段发生梁的微段发生 “ 左下右上左下右上

11、” 的错动的错动为为负负。FSFS或使或使 考虑的脱离体考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为有逆时针转动趋势的剪力为负负。+横截面横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正正 。（2）弯矩符号）弯矩符号（受拉）（受拉）MM（受压）（受压）横截面横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为 负负。-（受压）（受压）MM（受拉）（受拉）例题例题：求外伸梁：求外伸梁 1-1，2-2，3-3，4-4 横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。12KN.mAB2m2m2m2KN11223344FB

12、FA解：求支座反力，取整体为研究对象解：求支座反力，取整体为研究对象)(6),(4KNFKNFBA12KN.mAB2m2m2m2KN1123344FBFA)(.8),(411mKNMKNFSFA11M1FS1求求 1-1 横截面上的内力（假设横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正剪力和弯矩为正）。）。02, 00, 011MFMFFFACSAy212KN.mAB2m2m2m2KN223344FBFAmkNMkNFS.4 , )(422M2FS2求求 2-2 横截面上的内力（假设横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正剪力和弯矩为正）。）。FA12KN.m2211)(.8),(411mKNMKNFS012

13、2 00 022MFMFFFACSAy12KN.mAB2m2m2m2KN223344FBFAmkNMkNFS.,4 )(42211)(.8),(411mKNMKNFS在集中力偶两侧的相邻横截面上在集中力偶两侧的相邻横截面上, 剪力相同而弯矩发生突变剪力相同而弯矩发生突变, 且突变值等于外集中力偶之矩且突变值等于外集中力偶之矩.12KN.mAB2m2m2m2KN223344FBFA11)(.4),(433mKNMKNFS求求 3-3 横截面上的内力（假设横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正剪力和弯矩为正）。）。FA12KN.m33M3FS30124 00 033MFMFFFACSAy12KN.mA

14、B2m2m2m2KN223344FBFA11)(.4),(433mKNMKNFS求求 4-4 横截面上的内力（假设横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正剪力和弯矩为正）。）。M4FS4)(.4),(244mKNMKNFS2KN4412KN.mAB2m2m2m2KN223344FBFA11)(.4),(433mKNMKNFS)(.4),(244mKNMKNFS在集中力两侧的相邻横截面上在集中力两侧的相邻横截面上 , 剪力发生突变剪力发生突变 , 且突变值等于且突变值等于集中力的数值集中力的数值 。而弯矩保持不变。而弯矩保持不变。横截面上的横截面上的 剪力剪力 在数值上等于此横截面的在数值上等于此横截

15、面的 左侧左侧 或或 右右侧侧 梁段上所有竖向梁段上所有竖向 外力（包括斜向外力的竖向分力）的外力（包括斜向外力的竖向分力）的代数和代数和 。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。求剪力和弯矩的简便方法求剪力和弯矩的简便方法剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动趋势时的剪力为正；反之为负。趋势时的剪力为正；反之为负。 横截面上的横截面上的 在数值上等于此横截面的在数值上等于此横截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 梁梁段上的段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和外力（包括外力偶）对

16、该截面形心的力矩之代数和 。外。外力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。不论在截面的不论在截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 向上的外力均将引起向上的外力均将引起 正值正值 的弯矩，而向下的弯矩，而向下 的外力则引起的外力则引起 负值负值 的弯矩。的弯矩。熟练掌握熟练

17、掌握简便法简便法梁的不同截面上的内力是不同的，即梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面的剪力和弯矩是随截面的位置而变化位置而变化。 为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩沿梁长的变化情况用图形来表示沿梁长的变化情况用图形来表示剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图都是函数图形，其剪力图和弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示相应的剪力和弯矩纵坐标表示相应的剪力和弯矩。剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变化

18、的函数式，再由函数式画出函数图形。化的函数式，再由函数式画出函数图形。二、列剪力方程和弯矩方程 ，画剪力图和弯矩图弯矩弯矩 : : 正值正值弯矩画在弯矩画在 x 轴的轴的下侧下侧；负值负值弯矩画在弯矩画在x 轴轴上侧上侧。 剪力剪力 : 正值剪力画在正值剪力画在 x 轴上侧，负值剪力画在轴上侧，负值剪力画在 x x 轴下侧。轴下侧。剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 即即 Fs = Fs (x ) M = M（x）* * *剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 ：以梁的左端点为坐标原点，：以梁的左端点为坐标原点，x 轴与梁轴与梁的轴线重合的轴线重合, , 找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系找出

19、横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系 , , 这种关系称为剪力方程和弯矩方程。这种关系称为剪力方程和弯矩方程。 绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。xM(x)M 图的坐标图的坐标系系oxFs(x)Fs 图的坐标系图的坐标系o例题例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图和弯矩图。和弯矩图。xl解解: 将梁在任意将梁在任意 x 处用横截面截开处用横截面截开, 取左段为研究对象取左段为研究对象qxqMFS横截

20、面上有剪力和弯矩横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值假设均为正值xlqxqMFS根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程)0(21)()0()(2lxqxxMlxqxxFS括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。xlq)0(21)()0()(2lxqxxMlxqxxFS剪力图为一斜直线剪力图为一斜直线qllFFSS)(0)0(FSx-ql弯矩图为二次抛物线弯矩图为二次抛物线qllMqllMM2221)(81)2(0)0(-ql2/2l/2ql2/8xMxlqFSx-ql-ql2/2l/2ql2/8

21、xMqlMqlFS2maxmax,212qlFFBA解解：求得两个支反力求得两个支反力例题例题：图：图示简支梁示简支梁 ，在全梁上受集度为，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。的均布荷载作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。试作此梁的剪力图和弯矩图。ABlqFBFA)0(22)()0(2)(2lxqxqlxxMlxqxqlxFS取距左端为取距左端为 x 的任意横截面。写出的任意横截面。写出 剪力方程剪力方程 和和 弯矩方程弯矩方程。ABlqFBFAxqxqlxFS2)(剪力图为一倾斜直线。剪力图为一倾斜直线。绘出剪力图。绘出剪力图。x = 0 处处 ，2qlFS x = l 处处 ，2qlFS +

22、ABlqFBFAx2ql2ql_22)(2qxqlxxM弯矩图为一条二次抛物线。弯矩图为一条二次抛物线。0)(8)2(0)0(2lMqllMMABlqFBFAx绘出弯矩图绘出弯矩图+82ql2( )(0)222AxqlxqxM xF xqxxlABlqFBFAx梁跨中截面上的弯矩值为最大梁跨中截面上的弯矩值为最大82qlM max但此截面上但此截面上 ，FS = 02qlFS max,两支座内侧横截面上剪力两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大绝对值为最大ABlqFBFAx+82ql2l2ql2ql+lPbFA解：求梁的支反力解：求梁的支反力lPaFB例题 : 图示的简支梁在 C 点处受集中荷载

23、P作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。lPABCabFAFB因为因为 AC 段和段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段段的内力方程不同，所以必须分段写写剪力方程和弯矩方程。剪力方程和弯矩方程。lPABCabFAFBlPABCabx AC段：段：FAFB)0( )(axlPbxFS)0( )(axxlPbxMlPABCabxx ()()()()()sBPbPaF xPax lllPbPaM xF lxx P x alxax lll CB段：段：FAFBlPABCabFAx1x2lPbxFS)(1lPaxFS)(2Pb/lPa/l+-FBlPABCabx1x2xlPbxM11)()()(22xll

24、PaxM+Pab/lFAFBlPABCabx1x2+Pab/lPb/lPa/l+-在集中荷载作用处的左、在集中荷载作用处的左、右两侧截面上右两侧截面上 剪力值（图）剪力值（图）有突变有突变。突变突变 值等于集中值等于集中荷载荷载 P 。弯矩图形成尖角，弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大该处弯矩值最大 。FAFB例题例题: 试作简支梁的剪力图和弯矩图试作简支梁的剪力图和弯矩图 .0.4mABC2KN.m10KN/m0.2m解解: 求支座反力求支座反力FAFB)(6);(2KNFKNFBA0.4mABC2KN.m10KN/m0.2mFAFB分段列剪力方程和弯矩方程分段列剪力方程和弯矩方程xAC段段 :

25、)2 . 00(2)()2 . 00(2)(xxxFxMxFxFAAS)(6);(2KNFKNFBA0.4mABC2KN.m10KN/m0.2mFAFBxCB段段 :)6 . 02 . 0(8 . 15)2 . 0(102122)()6 . 02 . 0(10)2 . 0(102)(22xxxxxMxxxxFSx)(6);(2KNFKNFBA0.4mABC2KN.m10KN/m0.2mFAFBx)6 . 02 . 0(10)(xxxFSx)2 . 00(2)(xxFS-62剪力图剪力图0.4mABC2KN.m10KN/m0.2mFAFBxx)6 . 02 . 0(8 . 15)(2xxxM)2

26、 . 00(2)(xxxM弯矩图弯矩图AC段为斜直线段为斜直线 , CB段为二次段为二次抛物线抛物线 .CB段取三个截面的弯矩值段取三个截面的弯矩值0)6 . 0(0 . 1)4 . 0(6 . 1)2 . 0(MMM+-1.60.40.4m1.00.4mABC2KN.m10KN/m0.2mFAFB+-1.60.4-62mKNMKNFS.6 . 16maxmax,最大剪力位于最大剪力位于 B 支座稍左横支座稍左横截面上截面上 .最大弯矩位于最大弯矩位于 集中力偶作用集中力偶作用处稍右横截面上处稍右横截面上 .0.4mABC2KN.m10KN/m0.2mFAFB+-1.60.4-62集中力偶作用

27、处弯矩值发生突集中力偶作用处弯矩值发生突变变 , 突变值等于集中力偶之矩突变值等于集中力偶之矩 .以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。取梁的左端点为坐标原点，取梁的左端点为坐标原点，x x 轴向右为正；剪力图向轴向右为正；剪力图向上为正；上为正；弯矩图弯矩图向下为正。向下为正。 梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其

28、突变值等于集中力的数值。在此处（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图弯矩图则形成一个尖角则形成一个尖角。梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在但在此处剪力此处剪力图没有变化。图没有变化。 梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或或 F FS S = 0 = 0的截面处。的截面处。总结总结1. 截面法求指定截面上的剪力和弯矩。截面法求指定截面上的剪力和弯矩。2. 简便法求指定截面上的剪力和弯矩。简便法求指定截面上的剪力和弯矩。3. 列剪力方程和弯矩方程，然后作剪力图和弯列剪力方程和弯矩方程，然后作剪力图和弯矩图。矩图。4. 作剪力图和弯矩图的几条规律。作剪力图和弯矩图的几条规律。重点、难点重点、难点 1、剪力和弯矩符号的规定剪力和弯矩符号的规定2 2、简便法求指定截面上的剪力和弯矩、简便法求指定截面上的剪力和弯矩3 3、根据剪力方程和弯矩方程作剪力图、根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图。和弯矩图。