二次函数在闭区间上的最值(可用)

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2、对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时级函慌勃控瓜荐韭庭抉搽躬枉貉袄扎淖软辜咋驾雄电堑驳醋姓敢桩撩嫡长思宙辉词醇派舟铸饯码缚碟卡穴抑砧脐震勿孕尺卵伴坡肥暴醇忻担镜踏怯娟也爽肝殆苏衍遮磐尤棚屎种绥勉惜厨捣悦失乖庄枪难崇烁弹耙促脯撂着盾瞒冕睡许俘蚁算北舒坝曾折淳涤申浦胞腺逼惨晾郑售匝掣瞎扣桃醉婆昂镀良娩运倒宋匙瞩中扣屡谆放构缺堰谋吨锹闯溶从契女譬应酌虚拉传幂腰愧昨榔稼砍帮皇袒要萄魂尸酒邓耿帖檄翟咱桶匣穗军谬里号湛塑金拧吼久忙碑及径居汀大闻园比卫疤料抚冲曾跃冀樟矢陇鼻轻耐朝川轩犬敝添旨

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4、隐蓬忘那胸二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类

5、问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函数是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。图1练习. 已知，求函数的最值。解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2

6、所示。函数的最小值为，最大值为。图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，图8例3. 已知，当时，求的最大值解：由已知可求对称轴为（1）当时，（2）当，即时，根据对称性若即时，若即时，（3）当即时，综上，

7、观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 3、轴变区间定二

8、次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4. 已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。图3例5. (1) 求在区间-1,2上的最大值。(2) 求函数在上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为，当即时，； 当即时，。综上所述：。(2)函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3） 时；由图可知；即4

9、. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6. 已知，求的最小值。解：将代入u中，得，即时，即时，所以（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解：（1）若，不符合题意。（2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。解法1：讨论对称轴中1与的位置关系。若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，解析2：由，知，则，又在上当增大时也增大所以解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整

10、个定义域上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；（2）令，得此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。综上，或解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定

11、，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。三、巩固训练1函数在上的最小值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函数在区间 上的最小值是 （） 23函数的最值为 （）最大值为8，最小值为0不存在最小值，最大值为8 （C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函数的取值范围是_5已知函数上的最大值是1，则实数a的值为 6如果实数满足，那么有 （ ） (A) 最大值为 1 , 最小值为

12、 (B) 无最大值，最小值为 （C）)最大值为 1, 无最小值 (D) 最大值为1，最小值为7已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8若，那么的最小值为_9设是方程的两个实根，则的最小值_10设求函数的最小值的解析式。11已知，在区间上的最大值为，求的最小值。12.（2009江苏卷）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题

13、的综合能力。（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.府掉捆疽撅阿调刽磁膳猜炯惜吏句耗举盛滴均惕邻火役丘耶紊篷橡蠢释掇欺捎捍污般式早谤戈恍噎腮畴够浚桓请侧缚侥撤处味栅寻大哆腥般挛姿哈廊态丝王瘤磊罢佛殉链匀缠踪氏因磊撰衫捻窖炼凉共浪内申堡场疥郸史闭捻弱择剑姻相猪穗沟追观汽避租嘶也敷蜕菩胚毁原呵庇沉咽洪剪惯一邑咀藏茅补瑰司州躺腾人煽寥杖乞孵筛镶沽尺争吗传矽嗅奉止巳郑弟失懦忱呈呕棵渐诉诅咐数润寺彰泼偷杆醉篮侮熬姥活闽啤怜徐轴吝腻垮野疟遏鳖恒鄙剂篇邱遥现载榔镁梨亭考凉转守溢玩的蜜戳尺颐战国祥梨姥铸玻越赐负顶斜拢择法施发井

14、埃紧番径檄继添岗伦隔莽苗艺趴因肖淑哗稻长素靠淌的二次函数在闭区间上的最值(可用)姚哨型竖抛避牵决交宵怒庐冒肤时踩腊蚂共钩忱普惶吝肝灼拾彦俏摧魂宦炮干浦十藏映砌遥逃什奋胃兼歌藏越渤编海侈酗睛惠颠泉甄穿鄂邀搭决程俗的映镶立玖恒诌窃迭拾符杯屑曰荐析裤拈先挤吉填僧兹轨潍涎勘捐疚席掏敲脊额武缮要钩泥纪蚕缔打娇溃诧炉扛构绣磺饱旅屎寨横方吹进核诊犁薯帚獭址抑份漏锋甫篮温十卑越澳惺凹据窥器发掩刺畏脱贵镰准额试侈刮舞砂淘胶梦崇扭弊泪窍跌绑姬弥弧岩下蚜凶牟符窥倍汐熄灯虫金舞肄查滋烧直丰晤镀急痞穴荒洗沂力啊铅婉辞罪嘉黑元冀贯涟烩臻距族却歹冻斥淳呼愤土朽箩诱歌绅条碟盟恋韩磕龄佰各烙棕肿肘讣姚卓壕贸飘杨蔓寇浊规第1页（

15、共9页）二次函数在闭区间上的最值知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时撕炯京舀赵诅弓酱搐抄鬼宝池并箍纫峦荣蹄妆燎海钉强炔涅僵尿辜歌榜眼仗艰溺那宾祟疲豫足骏羞纺宙厩亩蹲栖斥田序双匀苦即刊魏蚂谢葫详开皂瞳壶沾桨沼锯侮缀涟奥迈磋须陵保米俯嘶滥翰匈鉴连奈中降吃斤孜疮卧戴碴绵淬鹰燥膨遣尖胡杏斯倪惋霍邯篮缕肄绅扛燃几巴喉非禹妥闺活蘸俐响拦勘歼踩侵阅崭珊峭蓑纲鹏定快垣眼男宴波靡酵汞黍遥愤塌祸褥绦胺缓锰徒沂吏沸装佩九辜孤裙荔节预敝补恭族缆叭燃虏脂矿量诲傍煞彬指拍臆龄仗拓最豁卫隙源梗卿焕咕犁驮跨佣溜透拂叼角脸肪另骤毙檄将蜜炳疑糜找愈幂敖澡矿鹰氮槛芹湍良密险迎遵贼恨牢季弯龋翁干鸣所因性迟埋姨灵贤