向量地坐标表示及其运算

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1、向量的坐标表示及其运算【知识概要】1.向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a读作向量a，向量也可以用两个大写字母上面加箭uuur头来表示，如 AB，表示由A到B的向量 A为向量的起点，B为uuu向量的终点）向量AB（或 a）的大小叫做向量的模,uuu 记作AB（或a）注： 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； 长度为0的向量叫零向量，记作 0 .0的方向是任意的+注意0与0的区别一 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确

2、定方向例1下列各量中不是向量的是（ D ）A.浮力B.风速C.位移D.密度例2下列说法中错误.的是（ A ）A.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行B.零向量的长度为0D.零向量的方向是任意的例3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（D ）A. 一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.个单位圆2）向量坐标的有关概念 基本单位向量：在平面直角坐标系中， 方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位r r向量叫做基本单位，记为i和j .ruuu r 将向量a的起点置于坐标原点 0，作OA a，则0A叫做位置向量，如果点A的坐uuuuuuuuiur rujur

3、 r标为（x, y），它在x轴和y轴上的投影分别为M , N，则OAOMON, aOAxiyj. 向量的正交分解ujur r在中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量 i、j分别 乘上实数x,y后组成的和式，该和式称为i、j的线性组合，这 种向量的表示方法叫做向量的正交分解， 把有序的实数对（x, y）叫做向量a的坐标，记为a= （x, y）.uuuu一般地，对于以点R（Xi, yj为起点，点 F2（x2,y2）为终点的向量P1P2，容易推得ujurruuurRP2（X2x）i（y2yjj，于是相应地就可以把有序实数对（X2捲心yi）叫做RP?uuju的坐标，记作 RP2 =（X2 xi, y2

4、 yi）.3) 向量的坐标运算：a (x1,y1),b (x2,y2) , Rrrrrr则ab(x X2, yiy2)；ab(Xi x?,%曲;a( Xi, X2).rr4) 向量的模：设a (x, y)，由两点间距离公式，可求得向量a的模(norm).r尸_2ay .注： 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；向量的模是个标量，并且是一个非负实数.uuuuuuAP4,BP3，求点P的解：点P的坐标为(貯或(6 7).例5 已知2a b (4,3), a 2b (3,4)，求a、b的坐标.解：a ( 1,2),b2, 1)例6 设向量a, b,c,R，化简:(1)

5、( a b c)(a b c)()(b c)；(2) 2( a bc) (2 a 2b) 2解：都为0 .2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量(我们规定0与任一向量平行)已知a与b为非零向量，若a (X1,yj,b (X2,y2)，则 a/b 的充要条件是乂2力，所以，向量平行的充要条件可以表示为:a/bab(其中 为非零实数)y2 x2y1.已知点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(3,0)，且例7 已知向量a(2,3)，点 A(2,1),uuu r若向量AB与a平行，且uuuAB2 13，求向量uuuOB的坐标.uuu解：OB的坐标为（6, 7）或（2,5）

6、.3. 定比分点公式1 ）定比分点公式和中点公式 R,F2是直线l上的两点，P是I上不同于R,F2的任一点，存在实数，umr使 RP =PF2 ， 叫做点P分PR 所成的比，有三种情况P F耳耳（内分）0（外分）-1（外分）-10已知R（X1, yj、B（x2,y2）是直线l上任一点，且PP =uurPP2 (R,1).P是直x线PF2上的一点，令P（x, y），贝Uy线段PR的定比分点公式，特别地x点，此时yx1 x22 ，叫做线段PR的中点公式力 y22uuurRPuuuriuuPP2可得RPuurPE ;1时，定比分点的坐标公式x和y咕上显然都无意义，也就是说，当1时，定比分点不存在2)

7、三角形重心坐标公式设 ABC的三个点的坐标分别为 A(Xi,yJ, B(X2,y2),C(X33), G为 ABC的重心，则XGX1X2 X33YgUULT2 PF2，求出Puuur例8在直角坐标系内 R(4, 3),F2( 2,6)，点P在直线RF2上，且RP解：当P在P1P2上时，P(0,3)；当P在RB延长线上，P( 8,15).uuu3AB，求点P的坐标.uuu例9已知A(3, 1),B( 4, 2)，P是直线AB上一点，若2AP解：注意定比分点的定点，可得 P(-).2 2*方法提炼*几个重要结论1. 若a,b为不共线向量，则 a b，a b为以a,b为邻边的平行四边形的对角线的向量

8、;uuu uuu uuur3. G为ABC的重心 GA GB GCA(Xi, yJ,B(X2, y2)C(X3,y3)X1一/VGX2yyyy3yyt t2T T2T2Ta ba b2(ab2.2)；【基础夯实】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D四点必在一直线上； 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 AB = DC 模为0是一个向量方向不确定的充要条件； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同AB、解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AC在同一

9、直线上. 不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. 不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 、正确.不正确.如图AC与BC共线，虽起点同，但其终点却相同评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好2. 下列命题正确的是（C ）A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中，正确的结论为（D ）a /b且|a|=| b |是a= b的必要不充分条件（2）a /

10、b且|a|=| b |是 a= b的既不充分也不必要条件（3）a与b方向相同且|a |=| b|是a= b的充要条件a与b方向相反或是a的充分不必要条件A. (1)(3)B.C.D. (1)(3)(4)4. 已知点A分有向线段BC的比为2，则在下列结论中错误的是（D ）L1A.点C分AB的比是-B.点C分BA的比是-332 C点C分AC的比是-D点A分CB的比是235.已知两点R（ 1, 6）、P2（3,0），点P（ -,y）分有向线段PP所成的比为，则、y3的值为（ C ）1111A+ , 8B. , 一 8C 一 , 一 8D 4,-44486. ABC的两个顶点A(3 ,7)和 B(-2

11、 , 5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上,则顶点C的坐标是（A)A. (2, -7)B (-7 , 2)C. (-3 , -5)D. (-5 , -3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.答案：必要非充分8. 已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线则c与b必定.答案：不共线9. 已知点A（x,2）,B（5,1）,C（-4,2x）在同一条直线上，那么x=答案：2或-210. KBC 的顶点 A（2，3），B（-4，-2）和重心 G（2，-1），贝U C 点坐标为 (8,-4)答案：11.已知答案：11M为AABC边AB上的一点，且S amc S

12、 abc，贝U M分AB所成的比为817【巩固提高】12.已知点A ( 1, 4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为 R、P2，求R、P2点的坐标以及代B分PP2所成的比解:Pi(1,-2),P 2(3,0),A、B 分 pe 所成的比入 1、入2分别为-,-222 8 13过R(1,3)、P2(7, 2)的直线与一次函数 y x 的图象交于点P，求P分RF2所55成的比值.5解：一1214.已知平行四边形 ABCD 一个顶点坐标为 A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为 M(3 ,0)、N(-1 , -2)，求平行四边形的各个顶点坐标.解：E(8, 1), C(4, 3),D

13、( 6, 1)15.设P是 ABC所在平面内的一点,uuruuu(A).PAPBuuruuu(C).PBPCuur uuu uuuBC BA 2BP,则( uuu uuu r(B). PC PA 0 uu uur uuu(D). PA PB + PC1716.若平面向量a,b满足a b 1,a b平行于x轴，b (2, 1)，则a ( 1,1或( 3,1).17 在ABC 中，点 P 在 BC上，且E3P= 2PC,点 Q 是 AC 的中点.若PA = (4,3) , PQ = (1,5),则BC等于()A (-6,21)C. (6 , - 21)B (- 2,7)D (2 , - 7)解析：选 A.AC= 2AQ = 2(PQ PA) = (-6,4) , PC= PA+ AC = (-2,7) , BC= 3PC= ( 6,21).uuruuruur18.已知O为坐标原点，向量 OA ( 2,m),OB (n,1),OC (5, 1).若A,B,C三点共线,且m 2n,求实数m,n的值1 uuu| AB |，求点P的坐标319.已知点 A(3 , 0),B(-1 , -6), P 是直线 AB 上一点，且 | AP |20.已知向量 m (cos ,sin )和 n (.2 sin ,cos ),(,2 ),且 |m求cos(2孑的值。