工业机器人技术郭洪红第3章

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1、工业机器人技术Industrial Robot第3章：业机器人 运动学和动力学第三章工业机器人运动学和动力学3.1工业机器人的运动学3.2工业机器人的动力学 3.3工业机器人的运动轨迹规划3.i工业机器人的运动学m正向运动学：所有关节变量已知，可用正向运动学来确定机 器人末端手部的位姿。逆向运动学：对于给定的机器人手部的位姿，可用逆向运动2 点的齐次坐标匸注坐标用(4x1)列阵表示，称为三维空间点P的齐次 坐标，形如r、click hero齐次坐标并不唯一，列阵每一项分别乘以一个非零因子3时p、bP = =V弓c1wa)PCD都表示P点。click hero10x =00J0规定：以列阵a b

2、Of,且a2+b2+c2=l表示某矢量的方向。3、坐标轴方向的描述直角坐标系中，可用亍、了、F表示x,y,z轴的单位向量 用齐次坐标来描述x、y、z轴的方向:00z =10如列阵 b c中第四个元素不为零,则表示空间某点的位置。如图3.2中矢量v的方向可表示为a_ bv =c0其中 a二cosq , b=cosp ,c=cosyabV点坐标为：V =click hero4、动坐标系位姿的描述用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各轴方向进 行描述，如原始的直角坐标系可描述为10 0 0010 0A -00 100 0 0 1如描述一个任意坐标系R,则用其三个坐标轴Xr、yR. zR 在原始坐标系

3、中表示的矢量齐次列阵，和列阵0 0 0叩组 成。5、刚体位姿的描述机器人每一个连杆都可看做一个刚体。给定刚体上某一点 的位置和该刚体在空中的姿态，则刚体在空间上的位姿是 唯一确定的，可用唯一一个位姿矩阵进行描述。如图3.3刚体dxyN是固连于刚体 的一个坐标系，称为动坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的 位置的齐次坐标形式为：pXo 几 Zoclick hero1n O万分别为X：y：z，坐标轴的单位向量:h =nxnyo -oxOynzQ00ax ay az0Ylx Ox Clx XoT = n o a p=nyOyay很ozazZo0001刚体的位姿表示为齐次矩阵:click herox

4、图3.3刚体的位賣和姿态描述图3.4机器人手部的位置和姿态描述6、手部位姿的描述如图3.4机器人手的位姿可用固 连于手的坐标系B的位姿表示B：(1)原点：手部中心点为原点Ob(2)接近矢量：关节轴方向的单位向量方姿态矢量：手指连线方向的矢量 0(4)法相矢量：ri = oxa即法向矢量同时垂直于接近矢量和姿态矢量。click hero手部位置矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向 手部坐标系B原点的矢量P，手部的位姿矩阵为：图3.4机器人手部的位置和姿态描述图3.4机器人手部的位置和姿态描述T = n o a p=nxOxaxPxnyOyaypxnzozazpx0001Y图3.4机器人手部的位

5、置和姿态描述77目标物位姿的描述任何一种物体在空 间的位置和姿态都可 以用齐次矩阵来表示。图3.5楔块Q在图a 的情况可用6个点来 描述：7710-10-101014-14e =002200_111111使Q绕z轴旋转90 : 再绕y轴旋转90。楔块变为图（b）状态。Rot (z, 90 ):Rot (y, 90 )再沿x轴方向平移4： Trans (4, 0, 0)图3. 5目标物的位置和姿态播述446644Q =1-1-111-1000044111111click heroy+ Ay 二 z + AzX1100Ary010yy才001Azz100011BP：记为a =TransAx, Ay

6、Az)53.1.2齐次变换及运算刚体的平移、旋转运动均可由齐次变换矩阵表示，刚体 变换后的位姿可由其原始描述矩阵乘以齐次变换矩阵得 到。平移的齐次变换如图3.6, A点（x，y, z）平移至 N （x y zO 即其中Trance,AyAz）称为平移算子。注：算子左乘，表示点的平移是相对固定坐标系进行坐标变换。算子右乘，表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。z则 Jx = rcosa y = rsina厂cos + &) y= rsin(a + 6)x= rcosacos 一厂 sin a sin。 y = rsinacos - rcosasin2 旋转的齐次变换如图3.7, A点绕z轴旋

7、转0角后移至/V,二 xcosO 一 ysin。 y= xsinO + ycosO z= z推导：设A点在xoy平面上投影的长度为r,与x轴夹角为a兀=xcosO ysinOy+z坐标未变，故皿 sinecosP00RoigB =c=ck here0cos9sin000 sineCOS00COS00 sine0sin90COS00-4其旋转齐次变换矩阵为Rot (k,)图3.8中R为任意过原点的单位矢量， 其在三个坐标轴上分量为kx，ky, kz,且若a点绕卩旋转e角，则可以证明，Rot 仗,&) =疋(1 COS&) + COS&kxky(l-cosO) + kz sin0&仁(l-cos&

8、)-忍 sin0r9r0kvkY(l-cosO)-k7 sin。y 人乙(1 cosP) + cosPkykz (l-cos) +A:v sin。0k_k(l-cosO) + kv sin& 0(人y人、(1 cos。) 仁 sin& 0 z y兀疋(1 cosP) +COS&001(3.24)注： 该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z 轴进行旋转变换的情况。反之，当给出一个旋转齐次变换 矩阵，则可求得斤及e角。click hero 适用于点、矢量、坐标系、物体的旋转。 左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的 变换。3、平移加旋转的齐次变换用旋转算子乘上平移算子即是旋转加平

9、移的齐次变换算子。3.13工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵click hero机器人运动学研究的是杆 件尺寸、运动副类型、杆 件相互关系（包括位移关 系、速度关系和加速度关 系）等。连杆参数及连杆坐标系建如图3-9某机器人手臂连 杆m两端有关节n和n +1o关节斥关节川图3连杆的儿何参数连杆长度：连杆两端关节轴线的公垂线长度為。连杆扭角：连杆两端关节轴线的夹角即将一条轴线沿 公垂线平移至另一条轴线上的垂足时，两条直线的夹角。如图3.10,相邻连杆n与n-1 的关系参数可由连杆转角和 连杆距离描述。沿关节n轴线两个公垂线间 的距离dn即为连杆距离。 垂直于关节n轴线的平面内 两个公垂线的夹角B

10、n即为连 杆转角。图3. 10连杆的关参数每个连杆可以由四个参数来描述：连杆长度、扭角、连杆转角、 连杆距离。前两个是连杆自身参数，后两个表示与相邻连杆的连接关系。 旋转关节亦改变,为关节变量，其它三个参数不变； 滑动关节血改变，为关节变量。click here连杆坐标系： 连杆n坐标系的坐标原点：位于n+1关节轴线上，是关节 n+1的轴线与关节n轴线公垂线的垂足。 Z轴：与n+1关节轴线重合。 X轴：与公垂线重合;方向为从n指向n+1关节。 Y轴：由Z轴和X轴按右手螺旋法则确定。2.连杆坐标系之 间的变换矩阵坐标系与n坐标系间 关系可以视为n坐标系是 由坐标系经由一系列 的平移、旋转变化得到

11、。(1) 令nl绕Z-i轴旋转On角，使Xml与Xn平行,算子为Rot(z?0n)o(2) 沿Z“1轴平移dn，使Xn_i与Xn重合,算子为Trans(O,O,dn) o(3) 沿Xn轴平移如,使两个坐标系原点重合,算子为Trans(an,O,O)o 绕Xn轴旋转禺角，使得ml系与n系重合，算子为Rot(x, n)oBP：Rot(二仇)TTanm(0,(),血)7Yan$a Q0)Rot(x “)cow耳Sill 佻0-sin co洱cog仇cog %sin 6n sm 务-cos 耳 sin ansin an0co、0% ex久%血%1costt-血400_1000_10051000_Sil

12、l 必cos Q00010001000cos an-汕1 %00010001山00100sin务cow乙00001_0001_0001_0001_(2)(4)实际中，多数机器人连杆参数取特殊值，女nan=0 dn=0,计 算一般简单。3.1.4工业机器人运动学方程click here齐次变换矩阵A】表示连杆i坐标系相对于连杆坐标系il的位 姿变换矩阵。2如街表示连杆1相对连杆0 （基座），A?矩阵表示连杆1坐 标系相对于连杆1坐标系的位姿变换。连杆2相对固定坐标系 的位姿可用可用A2和A的乘积表示依此类推,对于六连杆机器人，有下列矩阵:T 6二 A1A2A3A4A5A6上述等式称为机器人运动学

13、方程。T6表示手部坐标相对 于固定参考系的位姿。他 J ax px ny y ay Py z色Pz 0 0 0 1click herenR或前三列表示手部的姿态；!尸或第四列表示手部中心点的位置。2 正向运动学及实例图3. 11 SCARA装配机器人的用标条正向运动学：已知各个关节的变量，求手部的位姿。图3.11为SCARA装配机器人，其三个关节轴线是相互平行的。 0、1、2、3分别表示固定坐标系、连杆1的动坐标系、 连杆2的动坐标系、连杆3的动坐标系。原点分别位于关节1、 关节2、关节3和手部中心。连杆运动为旋转运动，连杆参数Bn为变量，其余参数均为常量。 参数见表3-2.图3. 11 SC

14、AR A装配机器人的阳标系click hero表32连杆转角变量en连杆间距dn连杆长度an连杆扭角an1ei01000292010003030200click hero该平面关节型机器人的运动学方程为T3二AA2A3A1连杆1的坐标系相对于固定坐标系的齐次变换矩阵;A2一连杆2的坐标系相对于连杆1坐标系的齐次变换矩阵;A3手部坐标系相对于连杆2坐标系的齐次变换矩阵。Aj =Rot(z0,91)Trans(/1AO)A2 = Rot(z, )Trans (/2,0,0)A3 = Rot(z2,33 )Trans (/3,0,0)T3为手部坐标系的位姿。A, A2, A3相乘可以得到T3表达 丈

15、矩阵(包括转角变量和 玄，&3)T3=AA2A3in图3.13 斯坦福(STANFORD)机器人的湮杆坐标系图3.13 斯坦福(STANFORD)机器人的湮杆坐标系图；J 11 SCAR A装配机器人的邙标系2=60 , 03=如图3.11 (b),转角变量分别为6=30。 30时，代入可得： 0.5-0.8660.8660.500183.2-17.32t3 =001000013反向运动学及实例已知手部的位姿，求出关节变量，也称 逆运动学。如图3.12为六自由度STANFORD机器人，其连杆坐标系图如图3.13o坐 标系0与坐标系1原点重合。(e)其运动学方程为：丁6 = AA2A3A4A5A

16、6现在给出丁6矩阵及各杆的参数a、a、 d,求关节变量，其中=d3。（坐标系3相对2的参数为平移量）其中A为坐标系1相对于固定坐标系 转换矩阵。相当于固定坐标系0的Z。 轴旋转，然后绕自身坐标系冶轴做-90 的旋转。如下图。其中分为转角为0图3.13 斯坦福(STANFORD)机器人的湮杆坐标系和不为0两种情况。图3.13 斯坦福(STANFORD)机器人的湮杆坐标系A = ROT（ZoQ）ROTb9（y） =COS0sin&-sin 仇COS0-1 0 00 0 1列出A1的逆矩阵A；有X =展开方程两边矩阵，对比对应项，可求得2,再利用A-AT6=A3A4A5A6 求得82同样可顺次求得8

17、386.上述求解过程称为分离变量法。c,ickh逆解求解可能存在的问题：解不存在和有多重解。解不存在：一般是给定的工作位置落到了工作区域之外时， 则解不存在。有多重解时：1由于实际关节活动范围的限制，机器人有多组解时，可能有 某些解不能达到。2非零的连杆参数越多，达到某一目标的方式越多，运动学逆 解的数目越多。3在避免碰撞的前提下，按“最短路程”的原则来择优。根据 连杆的尺寸大小不同，应遵循“多移动小关节，少移动大关 节”的原则。3.2工业机器人的动力学321工业机器人的动力学分析click hero（1）工业机器人速度雅可比矩阵雅可比矩阵是一个多元函数的偏导矩阵，机器人的速度分 析和静力学分

18、析常遇到雅克比矩阵。以图3.14二自由度机器 人为例。机器人为手部坐标（x，y）相对于关节变量（比）有图X 14二片由度平而关节机器人X = l COS。 +l2 cos +02) y = l sin0 +l2 sin +0)求微分：k二更昭+空dedex de2 ，dy 二空dq+型d&click hero写成矩阵为dX = Jd(9dxdx3oq其中dx亟d02dqd32ckdX= 9d0 =3dx dx 令 J 二 oq d02dy dydex oqd9,d92偏导数矩阵J即为速度雅可比矩阵运算得:C表示 COS&1,hC2其中S表示sinS12 表示 sin(01+02),d01d02

19、*cos(e1+02)对于n自由度机器人，关节变量(1= qi q2.qn T,当姿圧 节为转动关节时，q：二q；当关节为移动关节时,qj=dj,则dq=dq1 dq2.dqnT反映 关节空间的微小运动。由X=X(q)可知，dX=J(q)dq其中J(q)是(6Xn)的偏导数矩阵 ,称为n自由度机器人速度雅可比矩阵。因为表示的是6个自由度上的速度，所以是6列矩阵click hero自由度手部速度为V =一心2(2)工业机器人速度分析把上式两边各除以dt,得 字二J単dtat即：V = J(q)q其中：V机器人末端在操作空间屮的广义速度，v = xJ(q) 速度雅可比矩阵;4机器人关节在关节空间中

20、的关节速度OVv厶 C +6时，力雅可比可能不是方阵，丁没有逆解，一 般情况下不一定能得到惟一的解。click hero3.2.3.工业机器人动力学分析1.动力学分析的两类问题 给出已知的轨迹点的关节变量“即机器人的关节 位置、速度和加速度，求相应的关協砾也向量T,用以实现 对机器人的动态控制。 已知关节驱动力矩，求机器人系统的相应的各瞬时的 运动，用于模拟机器人运动。动力学分析方法：有拉格朗日方法、牛顿-欧拉方法、高斯方法、凯恩方法 等。其中，拉格朗日方法不仅求解复杂的系统动力学方程简 单，而且容易理解。2拉格朗日方程定义拉格朗日函数L = Er EpKrEq机械系统动能，Ep-势能clic

21、k hero拉格朗日方程为:d dL dLdt d q, %i=1.2.3n动能Ek是关节变量和么的函数，势能EP是的函数。 因此L是qt和训勺函数。F厂关节广义驱动力（移动关节为驱动力，转动关节为驱 动力矩）。click hero建立动力学方程步骤：1）选取坐标系，选定独立的广义关节变量（上1.2.n）；2）选定相应的广义力耳；3）求各构件的动能与势能，构造拉格朗日函数；4）代入拉格朗日方程，求得机器人的动力学方程。click hero图3,17二自由度平面关节机器人3 关节空间和操作空间动力学关节空间：n个自由度操作臂末端位姿x是由n个关节变量 决定的，这n个关节变量叫n维关节矢量q, q

22、所构成的空间称 关节空间。操作空间：末端操作器的位姿是在直角坐标系空间中描述 的，这个空间叫操作空间。小针对图3.17二自由度机器人， 关节空间动力学方程为：T = D(q)q+ Hyq,q + G(q)click herom” + m2(/j2 + pl + 2lp2c m(p： +lp2c2加 2(P； +1P2C2)H q、q 丿是(nXD离心力和哥氏力矢量:( 、H q.q丿2一 m2lp2s20 一 2m2lxp2s2 9 02m2lp2s2 0；G(g)是(n x 1)的重力矢量:+ m2p2sniPisn 在笛卡尔操作空间中，可用末端操作器的位姿矢量来表 示机器人的动力学方程：(

23、 AF = Mx(q)X+Ux q.q +Gq) 丿其中：一为操作空间的惯性矩阵；/ 、Ux q.q 离心力和哥氏力矢量；丿Gg)重力矢量；F广义操作力矢量。两个空间之间的关系:T = JT（q）Fx = J（q）q X = J（q）q+ J（q）q3.3工业机器人的运动轨迹规划3.3.1路径和轨迹click hero机器人的轨迹：指操作臂在运动过程屮的位移、速度和加速度。图3. 18机器人在路径上的依次运动路径：是机器人位姿的一定序列，而不考虑机器人位姿参 数随时间变化的因素。见图3.183.3.2轨迹规划是指根据作业任务要求确定轨迹参数，并实时计算和 生成运动轨迹三个轨迹规划的一般问题cl

24、ick hero 运动轨迹的描述一对机器人的任务，及运动轨迹的描述； 根据已经确定的轨迹参数，在计算机上模拟所要求的轨迹。 对轨迹进行实际计算，即在运行时间内按一定的速率计算出 位置、速度和加速度，从而生成运动轨迹。规划中，要规定机器人运动起始点和终止点，而且要给出中 间点（路径点）的位姿及路径点之间的时间分配，即给岀两 个路径点之间的运动时间。轨迹规划：在关节空间中：将所有关节变量表示为时间函数。用其魏 一、二阶导数描述机器人的预期动作。在直角坐标空间中：将手部位姿参数表示为时间函数， 相应的关节位置，速度，加速度由手部信息导出。解释轨迹规划基本原理。以二自由度平面关节机器人为例,A点:oc

25、 = 20邛=30 ； B点:oc = 40,0 = 80图3.19中，两杆均以最大速率10/$运动 下杆2s到达，上杆3秒到达，路径不均匀。click hero图3.20中，两个关节运动用公共因子做归一化处理，速率分别为 4/s和10/s运动均匀。图3. 19二自由度机器人关节空间的非归一化运动图B.20二自由度机器人关节空间的归一化运动图X21二自曲度机器人直角处标空间的运动click hero图3.21中，手部沿AB直线运动，可用插值法；将直线分为 n份，逐点计算出相应的角。显然运动精度与点数有关，属 于直角坐标空间的规划。333关节空间的轨迹规划.利用受控参数在关节空间中对机器人的运动

26、进行轨迹规戈* 有许多方法，多次多项式函数和抛物线过渡线性函数法是 常用的两种。1三次多项式轨迹规划已知机器人初始位姿，通过求解逆运动学方程，可以求得 对应的关节变量。若关节在1时刻变量值为q, tf时刻，关 节变量为S，起、终速度均为o,以上可构成四个边界条件 以求解三次多项式方程中的四个未知量： Cq + ct + ct +一阶导数为：0（t） = c +2c2t + 3c3t2已知条件为:处)=0i0f0 )=0click hero分别代入上两式得:&() = % = 0二 +c右如)二q =0c 2+ 5Cgt f=0=%J=0求得的三次多项式方程可作为ti-tf轨迹规划。轨迹通过一系

27、列点时，每一段末端位、速可作为下一段初 始条件，形成多段三次轨迹。这种轨迹速度连续。如还要求加速度连续，方程采用五次多项式，边界条件增 至六个。2.抛物线过渡的线性运动轨迹click hero图3.22表示，机器人关节以恒定速度完成起、终点之间 的运动，轨迹方程为一次多项式，但在起点、终点处须 有速度过渡的规划，以产生连续的速度切换。可用抛物图3.22抛物线过渡的钱性段规划方法边界条件同前，A、B为抛物线与直线过渡点，抛物线与直线部 分的过渡段对称。得抛物线方程:%)=勺+卯+尹V %)= Cf + c2tclick hero= c2可见:抛物线运动段加速度为常数。将边界条件0o=6/ , 0

28、(0)= 0代入得:则方程简化为:。(0)= co = 0v 0(0)= 0 = qe(t)=c20(f) = q +-c2r2v 0(r) = c2t图3.22抛物线过渡的线性段规划方法0(/) = c2设线性段常量速度为4初速、末速均为6代入上式得:1 ?乞=g +C2a = C2（b= 60 =乞+b/ _。）_订=乞+加/ _o8 = eA =（o=&b+（乞 _q）0=0图3.2?勉物线过渡的线件段规划方法可得:_ CDC-b把c2代入得:进而求岀过渡时间：th由即 e j _ e /、+ 丫i-t co22（9 f-9.）COmax2仇+匕）此时，无直线段。以上求得起点过渡曲线。可得 亠lZ可得到V- 0f 2t G/ 0(0= G/ - J%.lb如初始时间不为零，可平移时间轴使初始时间为零。click hero终点抛物线和起点抛物线对称, 即：e(0=e/_/t)2，但加速方向相反,cotb作业：1-9click hero