人教版 高中数学【选修 21】习题：第三章3.2第1课时空间向量与平行关系

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1、人教版高中数学精品资料第三章空间向量与立体几何3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法第第 1 1 课时课时空间向量与平行关系空间向量与平行关系A A 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1 1已知已知a a(2(2，4 4，5 5) )，b b(3(3，x x，y y) )分别是直线分别是直线l l1 1、l l2 2的方向向量的方向向量若若l l1 1l l2 2，则则( () )A Ax x6 6，y y1515B Bx x3 3，y y15152 2C Cx x3 3，y y1515D Dx x6 6，y y15152 2解析：因为解析：因为l l1 1l l2 2，所

2、以所以a ab b，所以所以3 32 2x x4 4y y5 5x x6 6，y y15152 2. .答案：答案：D D2 2若若A A( (1 1，0 0，1 1) )，B B(1(1，4 4，7 7) )在直线在直线l l上上，则直线则直线l l的一个方向向量为的一个方向向量为( () )A A(1(1，2 2，3 3) )B B(1(1，3 3，2 2) )C C(2(2，1 1，3 3) )D D(3(3，2 2，1)1)解析：解析：ABAB(2(2，4 4，6 6) )2(12(1，2 2，3 3) )答案：答案：A A3 3若平面若平面与与的法向量分别是的法向量分别是a a(1(

3、1，0 0，2)2)，b b( (1 1，0 0，2 2) )，则平面则平面与与的位的位置关系是置关系是( () )A A平行平行B B垂直垂直C C相交不垂直相交不垂直D D无法判断无法判断解析：因为解析：因为a a(1(1，0 0，2)2)( (1 1，0 0，2 2) )b b，所以所以a ab b，所以所以. .答案：答案：A A4 4平面平面的一个法向量为的一个法向量为(1(1，2 2，0 0) )，平面平面的一个法向量为的一个法向量为(2(2，1 1，0 0) )，则平面则平面与与平面平面的位置关系是的位置关系是( () )A A平行平行B B相交但不垂直相交但不垂直C C垂直垂直

4、D D不能确定不能确定解析：因为解析：因为(1(1，2 2，0 0) )(2(2，1 1，0 0) )0 0，所以两法向量垂直所以两法向量垂直，从而两平面也垂直从而两平面也垂直答案：答案：C C5 5若向量若向量a a(1(1，2 2，1 1) )，b b(1(1，0 0，2 2) )，则下列向量可作为向量则下列向量可作为向量a a，b b所在平面的一所在平面的一个法向量的是个法向量的是( () )A A(4(4，1 1，2 2) )B B( (4 4，1 1，2 2) )C C( (4 4，1 1，2 2) )D D(4(4，1 1，2)2)答案：答案：B B二、填空题二、填空题6 6若平面

5、若平面的一个法向量为的一个法向量为u u1 1( (3 3，y y，2 2) )，平面平面的一个法向量为的一个法向量为u u2 2(6(6，2 2，z z) )，且且，则则y yz z_解析：因为解析：因为，所以所以u u1 1u u2 2. .所以所以3 36 6y y2 22 2z z. .所以所以y y1 1，z z4.4.所以所以y yz z3.3.答案：答案：3 37 7已知直线已知直线l l的方向向量的方向向量v v(2(2，1 1，3 3) )，且过且过A A(0(0，y y，3 3) )和和B B( (1 1，2 2，z z) )两点两点，则则y y_，z z_解析：因为解析：

6、因为ABAB( (1 1，2 2y y，z z3)3)，ABABv v，故故1 12 22 2y y1 1z z3 33 3，故故y y3 32 2，z z3 32 2. .答案：答案：3 32 23 32 28 8已知棱长为已知棱长为 1 1 的正方体的正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，则平面则平面ACBACB1 1的一个法向量为的一个法向量为_解析解析：建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，如图所示如图所示，则则A A(1(1，0 0，0 0) )，B B(1(1，1 1，0 0) )，C C(0(0，1 1，0 0) )，B B1 1(1(1，

7、1 1，1 1) )，所以所以ACAC( (1 1，1 1，0 0) )，ABAB1 1(0(0，1 1，1 1) )设平面设平面ACBACB1 1的一个法向量为的一个法向量为n n( (x x，y y，z z) )，则则由由n nACAC，n nABAB1 1，得，得x xy y0 0，y yz z0 0，令令x x1 1，得得n n(1(1，1 1，1)1)答案：答案：(1(1，1 1，1)(1)(答案不唯一答案不唯一) )三、解答题三、解答题9.9.如图所示如图所示，在正方体在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，M M、N N分别是分别是C C1

8、 1C C、B B1 1C C1 1的中点的中点求证求证：MNMN平平面面A A1 1BDBD. .证明：法一：如图所示证明：法一：如图所示，以以D D为原点为原点，DADA、DCDC、DDDD1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建轴建立空间直角坐标系立空间直角坐标系，设正方体的棱长为设正方体的棱长为 1 1，则可求得则可求得M M0 0，1 1，1 12 2 ，N N1 12 2，1 1，1 1，D D(0(0，0 0，0 0) )，A A1 1(1(1，0 0，1 1) )，B B(1(1，1 1，0 0) )，于是于是MNMN1 12 2，0 0，1 1

9、2 2 ，DADA1 1(1(1，0 0，1 1) )，DBDB(1(1，1 1，0 0) )，设平面设平面A A1 1BDBD的法向量是的法向量是n n( (x x，y y，z z) )，则则n nDADA1 10 0，且且n nDBDB0 0，得得x xz z0 0，x xy y0.0.取取x x1 1，得得y y1 1，z z1 1，所以所以n n(1(1，1 1，1)1)又又MNMNn n1 12 2，0 0，1 12 2 (1(1，1 1，1)1)0 0，所以所以MNMNn n. .又又MNMN 平面平面A A1 1BDBD，所以所以MNMN平面平面A A1 1BDBD. .法二：因

10、为法二：因为MNMNC C1 1N NC C1 1M M1 12 2C C1 1B B1 11 12 2C C1 1C C1 12 2( (D D1 1A A1 1D D1 1D D) )1 12 2DADA1 1，所以所以MNMNDADA1 1，而而MNMN 平面平面A A1 1BDBD，DADA1 1平面平面A A1 1BDBD，所以所以MNMN平面平面A A1 1BDBD. .10.10.如图如图，已知正方形已知正方形ABCDABCD和矩形和矩形ACEFACEF所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直，ABAB 2 2，AFAF1 1，M M是线是线段段EFEF的中点求证：的中点求证：AMA

11、M平面平面BDEBDE. .证明：建立如图所示的空间直角坐标系证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设设ACACBDBDN N，连接连接NENE，则点则点N N、E E的坐标分别是的坐标分别是2 22 2，2 22 2，0 0、(0(0，0 0，1 1) )所以所以NENE2 22 2，2 22 2，1 1. .又点又点A A、M M的坐标分别是的坐标分别是( ( 2 2， 2 2，0 0) )、2 22 2，2 22 2，1 1，所以所以AMAM2 22 2，2 22 2，1 1. .所以所以NENEAMAM，且且A A NENE，所以所以NENEAMAM. .又因为又因为NENE平面平面BD

12、EBDE，AMAM 平面平面BDEBDE，所以所以AMAM平面平面BDEBDE. .B B 级级能力提升能力提升1 1已知平面已知平面内有一个点内有一个点A A(2(2，1 1，2 2) )，的一个法向量为的一个法向量为n n(3(3，1 1，2 2) )，则下列点则下列点中在平面中在平面内的是内的是( () )A A(1(1，1 1，1 1) )B.B.1 1，3 3，3 32 2C.C.1 1，3 3，3 32 2D.D.1 1，3 3，3 32 2答案：答案：B B2 2若若ABABCDCDCECE( (，R)R)，则直线则直线ABAB与平面与平面CDECDE的位置关系是的位置关系是_解

13、析：因为解析：因为ABABCDCDCECE( (，R)R)，所以所以ABAB与与CDCD，CECE共面所以共面所以ABAB平面平面CDECDE或或ABAB平面平面CDECDE. .答案：答案：ABAB平面平面CDECDE或或ABAB平面平面CDECDE3.3.如图如图，四棱柱四棱柱P P ABCDABCD中中，PAPA平面平面ABCDABCD，PBPB与底面成的角为与底面成的角为 4545，底面底面ABCDABCD为直角为直角梯形梯形， ABCABCBADBAD9090，PAPABCBC1 12 2ADAD1 1， 问在棱问在棱PDPD上是否存在一点上是否存在一点E E， 使使CECE平面平面

14、PABPAB？若存在若存在，求出求出E E点的位置；若点的位置；若不存在不存在，说明理由说明理由解：分别以解：分别以ABAB，ADAD，APAP为为x x，y y，z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系，所以所以P P(0(0，0 0，1 1) )，C C(1(1，1 1，0 0) )，D D(0(0，2 2，0 0) )，设设E E(0(0，y y，z z) )，则则PEPE(0(0，y y，z z1)1)，PDPD(0(0，2 2，1)1)，因为因为PEPEPDPD，所以所以y y( (1)1)2(2(z z1)1)0 0，因为因为ADAD(0(0，2 2，0 0) )是平面是平面PABPAB的法向量的法向量，又又CECE( (1 1，y y1 1，z z) )由由CECE面面PABPAB，所以所以CECEADAD，所以所以( (1 1，y y1 1，z z) )(0(0，2 2，0 0) )0.0.所以所以y y1 1，代入代入得得z z1 12 2，所以，所以E E是是PDPD的中点的中点，所以存在所以存在E E点为点为PDPD中点时中点时，CECE平面平面PABPAB. .