高中数学人教B版必修4学案：2.1.5　向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含解析

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1、 2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1.掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义.(重点)2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题.(难点)基础初探教材整理1平行向量基本定理阅读教材P90“例1”以上内容，完成下列问题.1.平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.2.单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知：a|a|a0或a0.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若b与a共线，则存在实数，使得ba.(

2、)(2)任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点.()(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.()(4)有相同起点的两个非零向量不平行.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2轴上向量的坐标及其运算阅读教材P91“例2”以下P92“例3”以上内容，完成下列问题.1.规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向.根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe.反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量axe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致.单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐

3、标(或数量).2.x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数.实数与轴上的向量建立起一一对应关系.3.向量相等与两个向量的和：设ax1e，bx2e，于是：如果ab，则x1x2；反之，如果x1x2，则ab；另外，ab(x1x2)e，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.4.向量的坐标常用AB表示，则ABe.表示向量，而AB表示数量，且有ABBA0.5.轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则ABx2x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.6.数轴上两点的距离公式

4、：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则|AB|x2x1|.数轴上点A，B，C的坐标分别为1,1,5，则下列结论错误的是()A.的坐标是2B.3C.的坐标是4 D.2【解析】答案C不正确.故选C.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型平行向量基本定理的应用如图2131所示，已知在ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BNBD.求证：M，N，C三点共线.【导学号：72010051】图2131【精彩点拨】利用向量的运算法则将，两向量分别用，表示出来，再利用平行

5、向量基本定理判定，共线，从而证明M，N，C三点共线.【自主解答】设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，又M为公共点，M、N、C三点共线.平行向量基本定理有两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等.(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据.再练一题1.已知任意两个非零向量a，b，作ab，a2b，a3b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.【解】因为(a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b，故有2.所以，且有公共点

6、A，所以A，B，C三点共线.用平行向量基本定理证明几何问题已知梯形ABCD中，ABDC，E，F 分别是AD，BC的中点，求证：EF ABDC.图2132【精彩点拨】解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证.【自主解答】延长EF 到M，使EF F M，连接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平形四边形法则得().由于ABDC，所以，共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数，使.由三角形法则得，且0，()()()，.由于E，D不共点，EF DCAB.1.用平行向量基本定理证直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同

7、时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明.2.用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系.再练一题2.(2016石家庄高一检测)已知e，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f ，4ef ，5e3f .(1)将用e，f 表示；(2)证明四边形ABCD为梯形.【解】(1)根据向量求和的多边形法则，有(e2f )(4ef )(5e3f )(145)e(213)f 8e2f .(2)证明：因为8e2f 2(4ef )2，即2.所以，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，ADBC，且ADB

8、C，所以四边形ABCD为梯形.轴上向量的坐标及其运算已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是4，2，c，d.(1)若AC5，求c的值；(2)若|BD|6，求d的值.(3)若3，求证：34.【精彩点拨】解答本题首先据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解.【自主解答】(1)AC5，c(4)5，c1.(2)|BD|6，|d(2)|6，即d26或d26，d4或d8.(3)因为，而3AD，所以(3)4，所以312，又44(3)12，故34.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序

9、，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.再练一题3.已知数轴上A、B两点的坐标为x1，x2，求，的坐标和长度.(1)x12，x25.3；(2)x110，x220.5.【解】(1)x12，x25.3，AB5.327.3，BA2(5.3)7.3.|7.3，|7.3.(2)同理AB10.5，BA10.5.|10.5，|10.5.探究共研型向量共线问题探究1已知m，n是不共线向量，a3m4n，b6m8n，判断a与b是否共线？【提示】要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数，使得ab即可.若a与b共线，则存在R，使ab，即3m4n(6m8n).m，n不共线，不存在同时满足此方程组，a与b不共线.探

10、究2已知e1，e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？【提示】e1，e2共线，存在R，使e1e2.a3e14e23e24e2(34)e2，b6e18e26e28e2(68)e2，ab，a与b共线.当时，b0，a与b共线.探究3设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1e2和e1ke2共线？【提示】设ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.e1与e2不共线，只能有则k1.已知非零向量e1，e2不共线.如果Ae1e2，B2e18e2，C3(e1e2)，求证A，B，D三点共线.【精彩点拨】欲证A，B，D共线，只需证存

11、在实数，使BA即可.【自主解答】Ae1e2，BBC2e18e23e13e25(e1e2)5A，A，B共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.1.本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.再练一题4.设两个非零向量e1，e2不共线，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【解】设存在kR，使得A，B，D三点共线，(e13e2)(2e1e2)e14e2

12、，2e1ke2.又A，B，D三点共线，2e1ke2(e14e2)，k8，所以存在k8，使得A，B，D三点共线.1.以下选项中，a与b不一定共线的是()A.a5e1e2，b2e210e1B.a4e1e2，be1e2C.ae12e2，be22e1D.a3e13e2，b2e12e2【解析】只有C选项不一定共线.【答案】C2.已知数轴上两点A、B的坐标分别是4，1，则AB与|分别是()A.3,3B.3,3C.3，3 D.6,6【解析】AB1(4)3，|3.【答案】B3.如图2133所示，已知3，3，则向量与的关系为()图2133A.共线B.同向C.共线且同向D.共线、同向，且的长度是的3倍【解析】由题

13、意，知，ABAB，3，故选D.【答案】D4.设a，b是两个不共线的向量，2apb，ab，a2b.若A、B、D三点共线，则实数p的值是_.【导学号：72010052】【解析】A、B、D三点共线，存在实数使x，又2ab，2apb，2apb(2ab)，p1.【答案】15.如图2134，ABCD为一个四边形，E，F ，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EF GH为平行四边形.图2134【证明】F ，G分别是AB，AC的中点，.同理，.同理.四边形EF GH为平行四边形.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达

14、标一、选择题1.已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D【解析】(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2，所以A，B，D三点共线.【答案】A2.(2016临沂高一检测)设a，b为不共线向量，ab，4ab，5a2b，则下列关系式中正确的是()A. B.2C. D.2【解析】8a2b2(4ab)2.【答案】B3.设a，b是不共线的向量，akb，mab(k，mR)，则当A，B，C三点共线时，有()A.kmB.km10C.km10 D.km0【解析】A，B，C三点共线，n，akbmnanb，mk10.【答案】B

15、4.(2016济南高一检测)已知向量e1，e2不共线，ake1e2，be1ke2，若a与b共线，则k等于()A.1B.1 C.1D.0【解析】a与b共线，ab.即ke1e2(e1ke2)，解得k1.【答案】A5.(2016佛山高一检测)已知e10，R，ae1e2，b2e1，若ab，则()A.0 B.e20C.e1e2 D.e1e2或0【解析】ab，存在实数k，使得akb，即(2k1)e1e2.e10，若2k10，则0或e20；若2k10，则e1e2，此时e1e2，又0与任何一个向量平行，有e1e2或0.【答案】D二、填空题6.已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，AB5，AC2，则点C

16、的坐标为_.【解析】设A，C的坐标分别为xA，xC，则AB3xA5，xA2，又ACxCxAxC(2)2，xC0.【答案】07.(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.【解析】ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得【答案】8.(2016绍兴高一检测)设a，b是两个不共线的非零向量，记a，tb(tR)，(ab)，那么当A，B，C三点共线时，实数t的值为_.【导学号：72010053】【解析】a，tb，(ab)，tba，(ab)aba，A，B，C三点共线，存在实数，使，即tba.由于a，b不共线，解得故当t时，A，B，C三点共线.【答案】三、解答题9

17、.已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x25，BA3；(2)x21，|AB|2.【解】(1)BAx1(5)3，所以x18.(2)|AB|1x1|2，所以x11或x13.10.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数，使向量dab与c共线？【解】假设存在这样的实数，使得dab与c共线，dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2.要使d与c共线.则有实数k，使得dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，所以2.故存在这样的，使d与c共线.能力提升1.设e1

18、，e2是不共线向量，若向量a3e15e2与向量bme13e2共线，则m的值等于()A. B.C. D.【解析】ab，存在实数，使得ba，即me13e2(3e15e2)，e1，e2是不共线向量，解得m.【答案】A2.(2016枣庄校级月考)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()A.a B.bC.c D.0【解析】ab与c共线，bc与a共线，abc，bca，两式相减得acca，移项得(1)c(1)a.向量a，c不共线，只有10,10.即1，1.也就是abc，即abc0.【答案】D3.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a2e1e2与be1e2共线，则_.【解析】ab，存在实数，使得ab.即2e1e2e1e2，解得.【答案】4.如图2135，设G为ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于P，Q，若m，n，求证：3.图2135【证明】设a，b，m，n，ma，nb.G为ABC的重心，连接AG并延长交BC于D，则AD为ABC一边BC的中线，(ab)，(ab)，(ab)maab.nb(ab)ab.又与共线，abab，消去得：mn3mn，即3.最新精品资料