【最新资料】【名师押题】高考数学理二轮热点突破讲练【第五讲】导数及其应用含新题详解

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1、最新高考数学复习资料第五讲导数及其应用1(导数的几何意义)若函数f(x)在点(2，f(2)处的切线为l，则直线l与y轴的交点坐标为_【解析】f(x)，则f(2)，又f(2)，故直线l的方程为y(x2)，令x0得y，即直线l与y轴的交点坐标为.【答案】2(导数与单调性的关系)函数yx2ln x的单调递减区间为_【解析】yx，且x0.令yx0，解之得0f(2)f(2)m3，最小值为f(2)37.【答案】375(导数的实际应用)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函

2、数关系M(t)M02，其中M0为t0时铯137含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)_太贝克【解析】由题意，M(t)M02()ln 2.M(30)M021()ln 210ln 2，则M0600，故M(60)60022150.【答案】150利用导数研究函数的单调性 (20xx山东高考)已知函数f(x)ax2bxln x(a，bR)(1)设a0，求f(x)的单调区间；(2)设a0，且对任意x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大小【思路点拨】(1)求f(x)，分a0与a0两种情况求f(x)0与f(x)0的解集同时注意b对解集的影响；(2)由f(x)

3、f(1)知，f(1)是函数f(x)的最小值，由此可建立等量关系寻找a、b的关系，进而构造函数比较大小【自主解答】(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).当a0时，f(x).a若b0，当x0时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)b若b0，当0x时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.显然x10，x20.当0xx2时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当xx2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所

4、以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)由题意知函数f(x)在x1处取得最小值由(1)知是f(x)的唯一极小值点，故1.整理，得2ab1，即b12a.令g(x)24xln x，则g(x).令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减因此g(x)g1ln 1ln 40. 故g(a)0，即24aln a2bln a0，即ln a2b.1解答第(2)题的关

5、键是根据b12a，构造函数g(x)24xln x，再求函数g(x)的最大值2根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f(x)(2)将单调性转化为f(x)0或f(x)0恒成立问题求解，要注意“”是否可以取到，应加以检验变式训练1(20xx宜昌模拟)已知函数f(x)aln x2ax3(a0)(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)函数yf(x)的图象在x2处的切线的斜率为.若函数g(x)x3x2f(x)m在区间(1,3)上不是单调函数求实数m的取值范围【解】(1)f(x)的定义域为(0，)又f(x)2a，当a0时，由f(x)0，得0x.当a0，得x，当a0时，f(x)的增区间为(0，)；当a0

6、时，f(x)的增区间为(，)(2)f(x)在x2处的切线斜率为，f(2)a，a1.此时f(x)2，因此g(x)x3x2(2m)x3(2m)x2x.g(x)x22(2m)x1.g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，则g(x)在(1,3)内有零点又g(0)1，结合g(x)的图象知即解之得m0和f(x)0.由f(x)0，得xln 2.由f(x)0，得0xln 2.所以函数f(x)的单调增区间为(，0)和(ln 2，)，单调减区间为(0，ln 2)(2)因为f(x)(x1)exkx2，所以f(x)xex2kxx(ex2k)令f(x)0，解得x10，x2ln(2k)，因为k，所以2k(1,2，所以00

7、，即0ln(2k)k.所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，ln(2k)ln(2k)(ln(2k)，k)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)在0，k上的最大值为f(0)或f(k)f(0)1，f(k)(k1)ekk3，f(k)f(0)(k1)ekk31(k1)ek(k31)(k1)ek(k1)(k2k1)(k1)ek(k2k1)因为k，所以k10.令h(k)ek(k2k1)，则h(k)ek(2k1)对任意的k，yek的图象恒在y2k1的图象的下方，所以ek(2k1)0，即h(k)0，所以函数h(k)在上为减函数，故h(1)h(k)h()e1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最

8、小值【解】(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y46(x2)，即6xy80.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a1时，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2得g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭

9、区间0,2|a|上的最小值为g(a)导数的综合应用 (20xx济南模拟)设f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy10垂直(1)求a的值；(2)若x1，)，f(x)m(x1)恒成立，求m的范围(3)求证：ln .(nN*)【思路点拨】(1)利用f(1)求解(2)把f(x)m(x1)进行等价转化，构造函数，利用导数判断不等式是否恒成立(3)根据第(2)题的结论可得ln x，令x可得到ln ，即ln(2k1)ln(2k1)，kN*，累加求和，可证明结论【自主解答】(1)f(x)，由题设f(1)，.1a1，a0.(2)f(x)，x1，)，f(x)m(x1)，即ln xm.设g(

10、x)ln xm，即x1，)，g(x)0.g(x)m.若m0，g(x)0，g(x)g(1)0，这与题设g(x)0矛盾若m0，方程mx2xm0的判别式14m2.当0，即m时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，g(x)g(1)0，即不等式成立当0m时，方程mx2xm0，其根x10，x21，当x(1，x2)，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(1)0，与题设矛盾综上所述，m.(3)由(2)知，当x1时，m时，ln x成立不妨令x，kN*所以ln，ln(2k1)ln(2k1)，kN*累加可得ln(2n1) (nN*)即ln (nN*)1本题失分原因主要有：(1)对不等式f(x)m(x1)不

11、能正确转化，或对m不能进行分类讨论求解(2)思维能力差，不能根据第(2)题的结论得到ln x，或不能根据结论，令x，从而得不到ln(2k1)(2k1)，kN*.2涉及不等式证明或不等式恒成立问题，常根据题目的特征，恰当构建函数，利用导数研究函数的单调性，转化为求函数的最值、极值问题，解题中要注意转化的等价性对于含参数的不等式，注意分离参数与分类讨论；必要时，可作出函数图象草图，借助几何直观分析转化变式训练3(20xx黄冈模拟)已知函数f(x)x3x2，g(x)aln x(a0，aR)(1)若对任意x1，)，使得f(x)g(x)x3(a2)x恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对nN*，不等

12、式成立【解】(1)f(x)g(x)x3(a2)x转化为a(ln xx)2xx2，易知ln xx，a，设(x)，(x)，设h(x)x22ln x，h(x)1.h(x)在(1,2)单调递减，(2，)单调递增，h(x)minh(2)42ln 20.(x)0，(x)在1，)上是增函数，(x)min(1)1.a1.(2)由(1)知：aln x(a2)xx20对x1恒成立，令a1，则ln xx2x，.取xn1，n2，n2 013得，.相加得：.从近两年高考题来看，导数的应用是高考考查的热点，重点考查利用导数判断函数的单调性，证明不等式解决恒成立等问题，其中利用导数研究方程根的个数问题，山东高考对此做了考查

13、，在复习备考时应高度重视导数在研究函数图象公共点中的应用 (12分)已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2时，求yf(x)和yg(x)图象的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个【规范解答】(1)当a2时，联立得x23x1x，2分整理得x3x2x20(x1)，即联立4分求导得y3x22x10得x11，x2，得到极值点分别在1和处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个.6分(2)联立得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，8分即联立对h(x)求导可以得到极值点分别在1和处，画出草图如图h(1)1，h，10分当ah(1)1时，ya与yh(

14、x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在yh(x)曲线上)，故a时恰有两个公共点.12分【阅卷心语】易错提示(1)第(1)小题中不能把两函数图象的交点个数问题转化为函数的零点个数问题求解或不能利用函数的极值及变化趋势画出函数的大致图象，从而无法求解(2)第(2)小题中，未能分离参数a，使问题进一步转化，从而无法求解防范措施(1)函数图象有公共点方程有解函数有零点，它们之间的相互转化是解决此类问题的关键(2)分离参数是求参数的值或参数范围的常用方法，应切实掌握1若函数f(x)loga(x3ax)(a0，a1)在区间内单调递增，则a的取值范围是()A.B.C. D.【解析】由x3ax0得x(x2a)0，则有或x或x0，即函数f(x)的定义域为(，)(，0)令g(x)x3ax，则g(x)3x2a.由g(x)0得x0.从而g(x)在x上是减函数，又函数f(x)在x内单调递增，则有a1.【答案】B2已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围是_【解析】f(x)3x210恒成立，函数f(x)在R上是增函数又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，函数f(x)是奇函数由f(mx2)f(x)0得f(mx2)f(x)f(x)，mx2x，即xm2x0在m2,2上恒成立记g(m)xm2x，则即得2x.【答案】