人教版 高中数学 选修22学案：第一章 1.3 1．3.3 函数的最大小值与导数

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1、人教版高中数学精品资料13.3函数的最大(小)值与导数预习课本预习课本 P2931，思考并完成下列问题思考并完成下列问题(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？(2)函数的最值与极值有什么关系？函数的最值与极值有什么关系？(3)求函数最值的方法和步骤是什么？求函数最值的方法和步骤是什么？新知初探新知初探1函数函数 yf(x)在闭区间在闭区间a，b上取得最值的条件上取得最值的条件如果在区间如果在区间a， b上函数上函数 yf(x)的图象是的图象是一条连续不断一条连续不断的曲线的曲线， 那么它必有最大值和最那么它必有最大值和

2、最小值小值点睛点睛对函数最值的三点说明对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值极值，则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念函数的最大值和最小值是一个整体性概念(3)函数函数 yf(x)在在a，b上连续上连续，是函数是函数 yf(x)在在a，b上有最大值或最小值的充分而非上有最大值或最小值的充分而非必要条件必要条件2求函数求函数 yf(x)在在a，b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤(1)求函数求函数

3、 yf(x)在在(a,_b)内的极值内的极值(2)将函数将函数 yf(x)的的各极值各极值与端点处的函数值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较比较， 其中其中最大最大的一个是最大值的一个是最大值，最小最小的一个是最小值的一个是最小值点睛点睛函数极值与最值的关系函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念概念(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附

4、近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得有极值的未必有最值，有最值极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值小试身手小试身手1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值函数的最大值一定是函数的极大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值开区间上的单调连续函数

5、无最值()(3)函数函数 f(x)在区间在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()答案答案：(1)(2)(3)2若函数若函数 f(x)x42x23，则，则 f(x)()A最大值为最大值为 4，最小值为，最小值为4B最大值为最大值为 4，无最小值，无最小值C最小值为最小值为4，无最大值，无最大值D既无最大值，也无最小值既无最大值，也无最小值答案：答案：B3函数函数 f(x)3xsin x 在在 x0，上的最小值为上的最小值为_答案：答案：14已知已知 f(x)x2mx1 在区间在区间2，1上的最大值就是函数上的最大值就是函数 f(x)的极大值的极

6、大值，则则 m的取值范围是的取值范围是_答案：答案：(4，2)求函数的极值求函数的极值典例典例 求函数求函数 f(x)4x33x236x5 在区间在区间2，)上的最值上的最值解解f(x)12x26x36，令，令 f(x)0，得得 x12，x232.当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x22，323232，f(x)00f(x)571154由于当由于当 x32时，时，f(x)0，所以所以 f(x)在在32，上为增函数上为增函数因此，函数因此，函数 f(x)在在2，)上只有最小值上只有最小值1154，无最大值，无最大值求函数最值的四个步骤求函数最值的四个步

7、骤第一步求函数的定义域第一步求函数的定义域第二步求第二步求 f(x)，解方程，解方程 f(x)0.第三步列出关于第三步列出关于 x，f(x)，f(x)的变化表的变化表第四步求极值、端点值，确定最值第四步求极值、端点值，确定最值活学活用活学活用函数函数 yx2cos x 在在0，2 上取最大值时，上取最大值时，x 的值为的值为()A0B.6C.3D.2解析：解析：选选 By12sin x，令，令 y0，得，得 sin x12，x0，2 ，x6. 由由 y0 得得 sin x12，0 x6；由；由 y12，622，当当 x6时取最大值，故应选时取最大值，故应选 B.由函数的最值求参数的取值范围由函

8、数的最值求参数的取值范围典例典例 (1)函数函数 f(x)x3x2xa 在区间在区间0,2上的最大值是上的最大值是 3，则，则 a 等于等于()A3B1C2D1(2)已知函数已知函数 f(x)2x36x2a 在在2,2上有最小值上有最小值37，求，求 a 的值，并求的值，并求 f(x)在在2，2上的最大值上的最大值解析解析(1)f(x)3x22x1，令令 f(x)0，解得，解得 x13(舍去舍去)或或 x1，又又 f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则则 f(2)最大，即最大，即 a23，所以所以 a1.答案：答案：B(2)解：解：f(x)6x212x6x(x2)，令令 f(x)0，得，得

9、 x0 或或 x2.又又 f(0)a，f(2)a8，f(2)a40.f(0)f(2)f(2)，所以当所以当 x2 时，时，f(x)mina4037，得，得 a3.所以当所以当 x0 时，时，f(x)max3.已知函数最值求参数的步骤已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决结合已知求出参数，进而使问题得以解决活学活用活学活用已知函数已知函数 f(x)ax

10、36ax2b，问是否存在实数问是否存在实数 a，b，使使 f(x)在在1,2上取得最大值上取得最大值 3，最小值最小值29，若存在，求出，若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由解：解：存在显然存在显然 a0.f(x)3ax212ax3ax(x4)令令 f(x)0，解得，解得 x10，x24(舍去舍去)(1)当当 a0， x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：的变化情况如表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)单调递增单调递增极大值极大值单调递减单调递减所以当所以当 x0 时，时，f(x)取得最大值，所以取得最大值，所以 f(0)b3.又又

11、f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)所以当所以当 x2 时，时，f(x)取得最小值，取得最小值，即即16a329，解得，解得 a2.(2)当当 af(1)所以当所以当 x2 时，时，f(x)取得最大值，取得最大值，f(2)16a293，解得，解得 a2，综上可得，综上可得，a2，b3 或或 a2，b29.与最值有关的恒成立问题与最值有关的恒成立问题典例典例 已知函数已知函数 f(x)x3ax2bxc 在在 x23与与 x1 处都取得极值处都取得极值(1)求求 a，b 的值及函数的值及函数 f(x)的单调区间的单调区间(2)若对若对 x1,2，不等式，不等式 f(x)c2恒成立，求

12、恒成立，求 c 的取值范围的取值范围解解(1)由由 f(x)x3ax2bxc，得得 f(x)3x22axb，因为因为 f(1)32ab0，f23 4343ab0，解得，解得 a12，b2，所以所以 f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：的变化情况如表：x，232323，11(1，)f(x)00f(x)单调递增单调递增极大值极大值单调递减单调递减极小值极小值单调递增单调递增所以函数所以函数 f(x)的递增区间为的递增区间为，23 和和(1，)；递减区间为递减区间为23，1.(2)由由(1)知知，f(x)x312x22xc，x1,2，当当

13、 x23时时，f23 2227c 为极大值为极大值，因为因为 f(2)2c，所以，所以 f(2)2c 为最大值为最大值要使要使 f(x)f(2)2c，解得解得 c2.故故 c 的取值范围为的取值范围为(，1)(2，)一题多变一题多变1变设问变设问若本例中条件不变，若本例中条件不变，“把把(2)中对中对 x1,2，不等式，不等式 f(x)c2恒成立恒成立”改为改为“若存在若存在 x1,2，不等式，不等式 f(x)c32，所以所以 f(1)c32为最小值为最小值因为存在因为存在 x1,2，不等式，不等式 f(x)f(1)c32，即，即 2c22c30，解得解得 cR.2变条件，变设问变条件，变设问

14、已知函数已知函数 f(x)13x3axb(a，bR)在在 x2 处取得极小值处取得极小值43.(1)求求 f(x)的单调递增区间的单调递增区间(2)若若 f(x)m2m103在在4,3上恒成立，求实数上恒成立，求实数 m 的取值范围的取值范围解：解：(1)f(x)x2a，由，由 f(2)0，得，得 a4；再由再由 f(2)43，得，得 b4.所以所以 f(x)13x34x4，f(x)x24.令令 f(x)x240，得，得 x2 或或 x2.所以所以 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，2)，(2，)(2)因为因为 f(4)43，f(2)283，f(2)43，f(3)1，所以函数所以函数

15、 f(x)在在4,3上的最大值为上的最大值为283.要使要使 f(x)m2m103在在4,3上恒成立，上恒成立，只需只需 m2m103283，解得解得 m2 或或 m3.所以实数所以实数 m 的取值范围是的取值范围是(，32，)恒成立问题向最值转化的方法恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式要使不等式 f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立，则上面的不等式恒成立(2)要使不等式要使不等式 f(x)h 在区间在区间m，n上恒成立，可先在区间上恒成立，可先在区间m，n上求出函数上求出函数 f(x)的最的最小值小值 f(x)min，只要，只要 f(x)minh，则不等式，则不等式 f(x)

16、h 恒成立恒成立层级一层级一学业水平达标学业水平达标1设设 M，m 分别是函数分别是函数 f(x)在在a，b上的最大值和最小值，若上的最大值和最小值，若 Mm，则，则 f(x)()A等于等于 0B小于小于 0C等于等于 1D不确定不确定解析：解析： 选选 A因为因为 Mm，所以，所以 f(x)为常数函数，故为常数函数，故 f(x)0，故选，故选 A.2函数函数 y2x33x212x5 在在2,1上的最大值、最小值分别是上的最大值、最小值分别是()A12，8B1，8C12，15D5，16解析：解析：选选 Ay6x26x12，由由 y0 x1 或或 x2(舍去舍去)x2 时，时，y1；x1 时，时

17、，y12；x1 时，时，y8.ymax12，ymin8.故选故选 A.3函数函数 f(x)x44x(|x|1)()A有最大值，无最小值有最大值，无最小值B有最大值，也有最小值有最大值，也有最小值C无最大值，有最小值无最大值，有最小值D既无最大值，也无最小值既无最大值，也无最小值解析：解析：选选 Df(x)4x344(x1)(x2x1)令令 f(x)0，得，得 x1.又又 x(1,1)且且 1 (1,1)，该方程无解，故函数该方程无解，故函数 f(x)在在(1,1)上既无极值也无最值故选上既无极值也无最值故选 D.4函数函数 f(x)2 x1x，x(0,5的最小值为的最小值为()A2B3C.17

18、4D2 212解析：解析：选选 B由由 f(x)1x1x2x321x20，得，得 x1，且且 x(0,1)时，时，f(x)0，x(1,5时，时，f(x)0，x1 时，时，f(x)最小，最小值为最小，最小值为 f(1)3.5函数函数 yln xx的最大值为的最大值为()Ae1BeCe2D10解析：解析：选选 A令令 y ln x xln xx21ln xx20 xe.当当 xe 时，时，y0；当；当 0 xe 时，时，y0，所以，所以 y极大值极大值f(e)e1，在定义域内只有一个极值，所以，在定义域内只有一个极值，所以 ymaxe1.6函数函数 y xx(x0)的最大值为的最大值为_解析：解析

19、：y12 x112 x2 x，令，令 y0 得得 x14.0 x14时，时，y0；x14时，时，y0.x14时，时，ymax141414.答案：答案：147函数函数 f(x)xex，x0,4的最小值为的最小值为_解析：解析：f(x)exxexex(1x)令令 f(x)0，得，得 x1(ex0)，f(1)1e0，f(0)0，f(4)4e40，所以所以 f(x)的最小值为的最小值为 0.答案：答案：08若函数若函数 f(x)x33xa 在区间在区间0,3上的最大值、最小值分别为上的最大值、最小值分别为 m，n，则，则 mn_.解析：解析：f(x)3x23，当当 x1 或或 x1 时，时，f(x)0

20、；当当1x1 时，时，f(x)0.f(x)在在0,1上单调递减，在上单调递减，在1,3上单调递增上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：答案：209设函数设函数 f(x)exk2x2x.(1)若若 k0，求，求 f(x)的最小值；的最小值；(2)若若 k1，讨论函数，讨论函数 f(x)的单调性的单调性解：解：(1)k0 时，时，f(x)exx，f(x)ex1.当当 x(，0)时时，f(x)0，所以所以 f(x)在在(，0)上单上单调递减，在调递减，在(0，)上单调递增，故上单调递

21、增，故 f(x)的最小值为的最小值为 f(0)1.(2)若若 k1，则，则 f(x)ex12x2x，定义域为，定义域为 R.f(x)exx1，令，令 g(x)exx1，则则 g(x)ex1，由由 g(x)0 得得 x0，所以，所以 g(x)在在0，)上单调递增，上单调递增，由由 g(x)0 得得 x0，所以，所以 g(x)在在(，0)上单调递减，上单调递减，g(x)ming(0)0，即，即 f(x)min0，故，故 f(x)0.所以所以 f(x)在在 R 上单调递增上单调递增10已知函数已知函数 f(x)x3ax2bx5，曲线曲线 yf(x)在点在点 P(1，f(1)处的切线方程为处的切线方程

22、为 y3x1.(1)求求 a，b 的值；的值；(2)求求 yf(x)在在3,1上的最大值上的最大值解：解：(1)依题意可知点依题意可知点 P(1，f(1)为切点，代入切线方程为切点，代入切线方程 y3x1 可得，可得，f(1)3114，f(1)1ab54，即，即 ab2，又由又由 f(x)x3ax2bx5 得，得，又又 f(x)3x22axb，而由切线而由切线 y3x1 的斜率可知的斜率可知 f(1)3，32ab3，即，即 2ab0，由由ab2，2ab0.解得解得a2，b4，a2，b4.(2)由由(1)知知 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4(3x2)(x2)，令令 f(x)0，得

23、，得 x23或或 x2.当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x3(3，2)22，232323，11f(x)00f(x)8极大值极大值极小值极小值4f(x)的极大值为的极大值为 f(2)13，极小值为，极小值为 f23 9527，又又 f(3)8，f(1)4，f(x)在在3,1上的最大值为上的最大值为 13.层级二层级二应试能力达标应试能力达标1函数函数 f(x)x33axa 在在(0,1)内有最小值，则内有最小值，则 a 的取值范围为的取值范围为()A0,1)B(0,1)C(1,1)D.0，12解析解析：选选 Bf(x)3x23a，令令 f(x)0，

24、可得可得 ax2，又又x(0,1)，0a1，故选故选 B.2若函数若函数 f(x)x33x29xk 在区间在区间4,4上的最大值为上的最大值为 10，则其最小值为，则其最小值为()A10B71C15D22解析：解析：选选 Bf(x)3x26x93(x3)(x1)由由 f(x)0，得，得 x3 或或 x1.又又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由由 f(x)maxk510，得得 k5，f(x)mink7671.3设直线设直线 xt 与函数与函数 f(x)x2，g(x)ln x 的图象分别交于点的图象分别交于点 M，N，则当则当|MN|达到最达到最小值时小值时 t 的值

25、为的值为()A1B.12C.52D.22解析：解析：选选 D因为因为 f(x)的图象始终在的图象始终在 g(x)的上方，所以的上方，所以|MN|f(x)g(x)x2ln x，设设h(x)x2ln x，则则 h(x)2x1x2x21x，令令 h(x)2x21x0，得得 x22，所以所以 h(x)在在0，22 上单调递减，在上单调递减，在22，上单调递增，所以当上单调递增，所以当 x22时有最小值，故时有最小值，故 t22.4函数函数 f(x)x3ax2 在区间在区间1，)上是增函数，则实数上是增函数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是()A3，)B3，)C(3，)D(，3)解析：解析：选选 B

26、f(x)x3ax2 在在1，)上是增函数，上是增函数，f(x)3x2a0 在在1，)上恒成立上恒成立，即即 a3x2在在1，)上恒成立上恒成立，又又在在1，)上上(3x2)max3，a3.5设函数设函数 f(x)12x2ex，若当，若当 x2,2时，不等式时，不等式 f(x)m 恒成立，则实数恒成立，则实数 m 的取值的取值范围是范围是_解析：解析：f(x)xex12x2exex2x(x2)，由由 f(x)0 得得 x0 或或 x2.当当 x2,2时，时，f(x)，f(x)随随 x 的变化情况如下表：的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)递减递减递增递增当当 x0

27、时，时，f(x)minf(0)0，要使，要使 f(x)m 对对 x2,2恒成立，只需恒成立，只需 mf(x)min，m0.答案：答案：(，0)6已知函数已知函数 yx22x3 在区间在区间a,2上的最大值为上的最大值为154，则，则 a_.解析解析：y2x2，令令 y0，得得 x1，函数在函数在(， 1)上单调递增上单调递增，在在(1，)上单调递减若上单调递减若 a1，则最大值为，则最大值为 f(a)a22a3154，解之得，解之得 a12a32舍去舍去；若；若 a1，则最大值为，则最大值为 f(1)1234154.综上知，综上知，a12.答案：答案：127已知函数已知函数 f(x)ax3x2

28、bx(其中常数其中常数 a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(1)求求 f(x)的表达式；的表达式；(2)求求 g(x)在区间在区间1,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值解：解：(1)f(x)3ax22xb，g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.g(x)是奇函数，是奇函数，g(x)g(x)，从而从而 3a10，b0，解得解得 a13，b0，因此因此 f(x)的表达式为的表达式为 f(x)13x3x2.(2)由由(1)知知 g(x)13x32x，g(x)x22，令，令 g(x)0.解得解得 x1 2(舍去舍去)，x2 2，而而 g(1)53，g( 2)4

29、23，g(2)43，因此因此 g(x)在区间在区间1,2上的最大值为上的最大值为 g( 2)4 23，最小值为，最小值为 g(2)43.8已知函数已知函数 f(x)ln xax.(1)当当 a0 时，求函数时，求函数 f(x)的单调区间；的单调区间；(2)若函数若函数 f(x)在在1，e上的最小值是上的最小值是32，求，求 a 的值的值解：解：函数函数 f(x)ln xax的定义域为的定义域为(0，)，f(x)1xax2xax2，(1)a0，故函数在其定义域故函数在其定义域(0，)上单调递增上单调递增(2)x1，e时，分如下情况讨论：时，分如下情况讨论：当当 a0，函数，函数 f(x)单调递增

30、，其最小值为单调递增，其最小值为 f(1)a1，这与函数在，这与函数在1，e上的最小值是上的最小值是32相矛盾；相矛盾；当当 a1 时时，函数函数 f(x)在在1，e上单调递增上单调递增，其最小值为其最小值为 f(1)1，同样与最小值是同样与最小值是32相相矛盾；矛盾；当当 1ae 时时，函数函数 f(x)在在1，a)上有上有 f(x)0，f(x)单调递增，单调递增，所以，函数所以，函数 f(x)的最小值为的最小值为 f(a)ln a1，由，由 ln a132，得，得 a e.当当 ae 时，函数时，函数 f(x)在在1，e上有上有 f(x)e 时，显然函数时，显然函数 f(x)在在1，e上单调递减，其最小值为上单调递减，其最小值为 f(e)1ae2，仍与最小，仍与最小值是值是32相矛盾；相矛盾；综上所述，综上所述，a 的值为的值为 e.