【精品讲义】2019年竞赛与自主招生专题第五讲：函数与方程(教师版)

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1、飞打删MS提供论文写伍反发表服务全国兹多打包精用资斜?rn 站2019 年竞赛与自主招生专题第五讲函数与方程从 2019 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差别 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，相关函数的内容大约占 20% 30%热点冋题是方程 的根的问题、函数的最值问题(值域)、函数的性质(如周

2、期、有界性等)函数的 迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、函数的图像及解析式等。而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。一、知识精讲元二次方程 ax2bx 0(a = 0)相关公式b.c2. 根与系数的关系：捲* X2二-，人_乂2二-(韦达定理)aa23. 判别式：抡=b -4ac.函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1. 函数不等式的恒成立问题:(1) 不等式f (x) _m在集合 D 上恒成立二 在集合 D 上 f(x)mhl_m.(2) 不等式f(X)空n在集合 D 上恒成立=在集合 D 上 f (x)max乞 n .2. 函数不等式的能成立问题：(1)在集合 D

3、上存有实数 x 使不等式f(x)_m成立=在集合 D 上 f(x)max_m.(2)在集合 D 上存有实数 x 使不等式f(x)乞n成立=在集合 D 上 f(x)min乞 n .3. 函数不等式的恰成立问题:不等式在集合 D 上恰成立二该不等式的解集为 D .三.几个常见的函数方程1. 正比例函数f(x) =cx,具有性质：f (x y)二f(x) f(y), f(1) = c.2.指数函数 f(x)二 ax,具有性质：f (x y)二f(x)f(y), f(1)= a = 0.1.元二次方程的根:-b 一 b2- 4ac2a下打包箱品费料方节优航课录隈提供论文写怅及发表服务全国皺多打包稱良贵

4、羁柯脣it3.对数函数 f (x)二 logax,具有性质：f (xy) = f (x) f (y), f (a) =1(a 0,a = 1).方程的根与函数的零点：1. 对于函数y二f(x)，我们把使f(x)=0的实数叫做函数y二f(x)的零点.2. 方程f(x)=0有实数根二 函数y = f(x)的图象与 x 轴有交点：=函数y=f(x)有 零点3. 零点存有定理：设函数f (x)在闭区间a,b上连续，且f (a)f (b)：0，那么在开 区间(a,b)内至少存有一点 c，使f(c) =0。?函数零点的理解：(1) 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y = f(x)的图像与

5、 x 轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f(x)=0根的个数就是函数y = f(x)的零点的个数，亦即函数f(x)的图像与 x 轴交点的个数(2)函数的零点不是点，而是函数函数y二f(x)的图像与 x 轴交点的横坐标， 即零点是一个实数。(3)若函数f (x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线，则f(a) f (b)：；：0是f (x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件次方程的韦达定理： 设三次方程 ax3bx2cx0(a = 0)的三个根分别是Xi,x2,X3，则有ax3bx2cx d二a(x - xj(x - x2)(x - x3)展开，比较 x 的同次项系数

6、即可。三整系数多项式的根：若既约分数(即(p,q) =1, p = 0, p,q Z)为整系数多P项式a“xn玄xn川qx a的根，贝Up|an,q|a。XiX2x x- -aX1X2cX1X3X2X3 :adX1X2X3.a这个定理的证明并不困难只要把式子下打觀品贵料書万节ttSilit*提供论文写怅及发表18务全国最多打包猜用资斜药澱站二、竞赛题目精练【2019 年江苏竞赛】关于 x 的方程 x22ax+ a24a= 0 有模为 3 的虚数根，则实数 a 的值是_ .解：由题(x a)2= 4av0,所以 x = a2 a i，又| x|2= a24a= 9,即有 a 2 = 13，因为

7、av0,所以 a = 2 13 .三、典例精讲例 1. (2019 复旦)设三次方程 x3px 0 的 3 个根互异，且可成等比数列，则 它们的公比是_。1、31.33131 .(A)i(B) -i(C) i(D) i22 2 2 2 2 2 2?分析与解答：设这三个根为xq乜,q2论，则由三次方程根的韦达定理有x1q X q2为=0= 1 q q 2= 0, q二一丄-i。 故选 A。2 2例 2. (2019“北约”)求x 11 -6 . x 2x 27 -10、x - 2 =1的实数根的个数。?分析与解答：原方程即.(.x 2)2-6x 29( .x 2)2-10 x 2 25 =1。.

8、F2 1x1 1。当x x宀时，f fk(x)(x):；当x x2 2 时，f fk(x)(x)。即当 n 为奇数时，fn(x)单调递增，且值域为(：，：)。综上，当 n 为偶数时，fn(x) 0 恒成立，故 fn(x)=0 没有实数根；n 为奇数时，fn(x)单调递增，且值域为(-：,二)，故 fn(x)=0 有且只有一个实数根。例 5. (2008 复旦)方程3x2-ex=0的实根是()(A)不存有(B)有一个(C)有两个(D)有三个?分析与解答：此方程属于超越方程，没有精确解，只能用数形结合法来解决，画出y = 3x2与y二ex的函数图象草图，显然方程有且只有一个小于 0 的解，那么有多

9、少个大于 0 的解 呢？很多同学误认为只有一个。事实上，认真分析后就能够发现有两个大于0 的解。理由如下：令 f(x)=3x2-ex，则 f0 T 茅 Qf 3= - 05 fi5= -0 e5， 因为f(0) f(1b：0,f(1) f(5) 0，由零值定理，知开区间(0,1)和(1,5)内各有一根故方程有两正根一负根，本题应选D=练习 1:函数 yJogx 与它的反函数的交点个数为()16(B) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个?答案 C1 1 1 1?分析与解答：(丄,丄)、(丄,丄)、还有一个交点在直线 y = x 上，共 3 个2 44 22练习2:关于x的方程(x2

10、-1 ) - x2-1 + k=0,给出下列四个命题:1存有实数k，使得方程恰有2存有实数k，使得方程恰有3存有实数k，使得方程恰有4存有实数k，使得方程恰有2 个不同的实根4 个不同的实根5 个不同的实根8 个不同的实根下打包II品贵料提供论文写怅及发表18务全国最多打包構用资翔药兆站其中假命题的个数是() 题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的水平TJTfiM品贵料提供论文写怅及发表服务全国最多打包精是资斜药零芷?解答：t=|x2-1方法一：根据题意可令X21=t(t0)，则方程化为t2t+k=O, (*)作出函数t=|x21的图象，结合函数的图象可知：当t=0或t1时，原方

11、程有 两个不等的根，当Ovtvl时，原方程有 4 个根，当t=1时，原方程有 3 个根.(1)当 k = _2 时，方程(*)有一个正根t=2，相对应的原方程的解有 2 个；1 1(2)当k二才时，方程(*)有两个相等正根，相对应的原方程的解有 4 个；(3)当k= 0 时，此时方程(*)有两个不等根t=0 或t =1，故此时原方程有 5 个根;1(4)当0vkv时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相对应的满足方程x2-1=t的解有 8 个，故选 A.f(x)=(x2-x2-12方法二：由函数f (x) =(x2-1 ) - X2-1的图象(如下图)及动直线g(

12、x) = k可得出 答案为A.3.设x2-1=t(t3 0)，t2-t+k=0，方程的判别式为 =1-4k，由k的取值依据厶0、厶=0、厶0从而得出解的个数.-|(x_1)(x+1)(x_72)(x + V2)(x1或x1)f(X)二2x (x_1)(x+1)(_1Vx1)法得出函数与 x 轴的交点个数为 5 个，以及函数的单调性大体上画出函数的图 象，从而得出答案 A.?点评：方法一、方法二、方法四都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有 别，方法二利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数 学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；方法三利用方程的根的个数问题 去求解，但

13、讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严 谨性、抽象性、逻辑推理水平等基本素质.4.设函数f(x)=(:一1*1)(x2)(xx2(x-1)(xX、2)(x 1或X1)，利用数轴标根看万节ttSSt*提供论文写低及发表18务全国资羁封用站例 6. (2007 交大)设 f(x) -(1 a)x4x3-(3a 2)x2-4a，试证明对任意实数 a :看万节ttSSt*提供论文写低及发表18务全国资羁封用站(1)方程f(x) =0总有相同的实根;(2)存有Xo，恒有 f(Xo)=O。?分析与解答：本题若看成关于 x 的四次多项式，则很难因式分解，若展开重新整理成关于a 的一次多

14、项式：(x4_3x2-4)a (x4x3-2x2) =(x2-4)(x21) a x2(x 2)(x -1)=(x2)(x-2)(x21)ax2(x 2)(x1) = (x 2)(x 2)(x21)a x2(x 1)显然f (x) =0总有相同实根x = -2;当x0=2时，f (2) =16 = 0。注：本题从另一个角度，转换参数，将f(x)看成一个关于 a 的一次函数，值得回味！例 7. (2005 复旦)在实数范围内求方程41。x -4.7=x =3 的实数根。?分析与解答：解法一：显然，移项后两边四次方是不可取的，不妨先作一个换元：令u = #10 +x, v=雪7 _x，贝 Uu v

15、 = 3u4v4=174422 222222 222 2u v =(u v ) -2u v =(u v) -2uv -2u v =(9-2uv) - 2u v=81-36uv 2u2v2h7，从而(uv)2-18uv 32 =0，解得:uv=2或 16 (舍去)。u v 3u 1 u 2联立，可得：或 故x = 6或-9。屮=2y=2$ = 133i f (x) x，故f (f (x) =x无实根(如图 4-1 );飞打包務品贵耕書蒔纵即翳鼎0 焼長写fE 及发灵価务?国最多打包稱超资料药黑站下打包H品费料万节优SUM提供论文写怅及发表18务全国豪多打包猜用贵斜为丹站图 4-14-2同理,若a

16、：0，则对任意实数 x ,f(x)：x,f (f (x)：f (x)：x,f(f(x)=x也无实根(如图 4-2 )。解法三：反证法。若存有 f (f (x0)x0，令 f (X0) =t，则 f (t) =X0，即(,t x0是y二f (x)图像上的点；又 f (x0) =t，即(x0,1)也是y = f (x)图像上的点，显然这两点不重合。 且这两点关于直线 y = x 对称。而 y = f (x) =ax2 bx c 与 y 二 x 必有交点，从而f(x) =x必有实数解，矛盾！注：从解法三能够看出，此题的结论不只针对二次函数f(x)是对的，对一般的连续函数都有一样的结论。例 9. (2

17、009 交大)当f(x)二x时，x 的取值称为不动点。证明：若f(f(x)有唯一 不动点，贝Uf(x)也有唯一不动点。?分析与解答：不妨设x0是f (f (x)的唯一不动点，即 f (f(xJ) =X0。令 f(xj =t，则 f (t)，那么，f (f (t)二 f(x0)，而 f (冷)=t，故f(f(t)二t，这说明 t 也是f(f(x)的不动 点。又f(f(x)只有唯一不动点知，X。二t。从而f (t) =t，这说明 t 也是f(x)的不动点，存有性得证。下证唯一性：若f(x)还有另一个不动点t，即f(t t (t t )，则f ( f(t) f (H) t这说明f(f(x)还有另一个

18、不动点t，与题设矛盾！注：利用不动点原理能够解决某些问题，比如某类递推数列求通项问题，不动点问题也是自主招生考试中的热点问题之一。四、真题训练1. (2019 “卓越联盟”)若关于 x 的方程 旦二kx2，有四个不同实数解，则k的取x +4值范围为()1 1A.(0,1)B ( ,1) C ( ,：) D(1/:)TJTfiUfifiS万节提供论文写怅及发表18务全国最多打包精用贵料?m站2. (2006 复旦)设函数y二f(x)对一切实数 x 均满足f(5 x)二f(5-x)，且方程f (x) =0恰好有 6 个不同的实根，则这 6 个实根的和是()TJTfiUfifiS万节提供论文写怅及发

19、表18务全国最多打包精用贵料?m站3.（2008 复旦）已知关于 x 的方程 x26x （a-2） |x 3| -23 =0 有两个不同的实数根，则系数 a 的取值范围是（）a 0或a - -2Ba : 0Ca=2或a 0Da - -24.（ 2007 交大）设a 0且a =1，则方程ai ii iii iv v vi vii viii ix x-x22x 2 a勺解的个数5.（ 2004 交大）已知 仁 a2，贝 U 方程a2匚 x22-|x|的相异实根的个数6. （2000 交大）方程 7x2-（k 13）x k2-k-2=0 的两根分别在区间（0,1）和（1,2）内,则k的取值范围是_

20、。7.（ 2005 交大）已知.,2.3-3=.芯-,、3y ,x,y R,则(x y, = _8. （2006 交大）a,b,c R,abc = 0,bc, a（b-c）x2b（c-a）x c（a-b） = 0 有 两个相等根，求证：成等差数列。a b c9. （2006 交大）设k _9，解关于 x 的方程x32kx2k2x 9k 2010. （2009 交大）求方程 xx 2.x III 2, x 2 3x （ n 重根）的解。11. （2005 交大）x3ax2bx 0的三根分别为a, b,c，并且a, b, c是不全为零 的有理数，求a,b,c的值。五、真题训练答案11.C 显然x

21、= 0是原方程的解；x = 0时，k|x|;x 0时，kx2,4kx-1=0;x +4x : 0时，_kx2_4kx T = 0，即kx24kx 1=0。若二-16k24k =0或厶-16k2-4k = 0，易验证均不符合要求。由韦达定理 知，方程kx2，4kx-1=0两根之和为-4,故只可能是方程kx24kx0有两个不同的负根，而kx24kx -0一正、一负两个实根，其中负根不符要求。A.10B 12C18 D 30H供论文写怅及发表服务全站5.2 个或 3 个或 4 个 如图，y r a2- x2表示圆心在原点，半径为 a 的半圆；y-、2-|x|表示两条射 线(关于 y 轴对称)。当a=

22、1时这两条射线 与半圆 y = a2-X2均相切；当 1： ：a：、2 时，两条射线与半圆相交，故有 4 个交点；当 a 2 时恰有 3 个交点。2.D3.A(x|-所以=16k24kn0,斗 0,1 10k1 1v0v0j k=.k-，故选Co4f (5 x) = f (5 x)= y = f (x)的图像关于直线原方程可化为(x-3)2 (a-2) |x-3|-2a= 0,即| x 2 -) ( a|o由*x -3| 2 : x =5或，故方程| x-3|=0或无实根或实根是1,5。故a 0或a -一2。4.2 个数形结合，原方程即为 ax= _(x-1)2 2a。a 1时，分别画出y =

23、 ax和y =-(x -1)22a 的图像，注意到抛物线 y = -(x-1)2a 的顶点(1,2a)在(1,a)的上方，故此时交点的个数是 2,如图(a)；0vac1时，同理也是两个交点，如图(b)。万节itlfiil录餐提供论文写怅及发表眾务全国最多打包精是资训药冠疋令 f (x) =7x2_(k . I3)x . k2k-2，由零值定理知,f (0) o f (1)：0, f(2) 0,解得3：k”：4或2：x：1。7. (3 3,1)原方程两边同时除以43，有.2一. 3 一y。因为.c3=F21匚8. 解法一：依题意，:二b(ca)24ac(bc)(a - b)二 b2(c2-2ac

24、 a2) -4ac(ab -b2-ac bc)= b2c2-2ab2c a2b2-4a2bc 4ab2c 4a2c2-4abc2=b2c2a2b24a2c22ab2c-4a2bc-4abc22二(ab bc-2ac) =0112111所以ab bc =2ac, -=一，即一,-，-成等差数列。a c ba b c解法二：注意到a(b-c) b(c-a) c(a-b) =0，故x=1是原方程的根，由题意知它是重根，由韦达定理知x =c(a b)，整理得ab b 2ac，即-1=-。a(bc)a c b9.换一个角度，整理成一个关于k的二次方程xk2(2x29)k (x327) =0 -(2x29

25、)2-4x(x327) =36x2-108x 81 二(6x - 9)22_-(2x +9)(6x9)k二6.(3,4)U(-2,-1)。所以万节itlfiil录餐提供论文写怅及发表眾务全国最多打包精是资训药冠疋2xTJTfiUfifflW看万节ttRVt*提供论文写怅及发表眾务全国量芻打包猜圧资斜對黑站2 2I-(2x +9)+(6x9)4(2x +9)(6x9)k二2x化简得：x2(k 3)x - 9 =0 或 k =-x3。解得：x =(3-k),k_9)(k3)k 3o210.先证 3x =x，用反证法x 2 . x 2 3x,。，2 x = 3 xx 2 x | 2 x 2、3x x

26、 2x = 3x x,这2a b c = 0若1，代入，得：b=bc1 由，c = -(2a - b)，代入式，得:b =(a b)(-2a -b) -1 二-2a2-3ab-b2-1，将 a 1代入，得b 2 2 -b22，整理得:bb，b4b3-2b22 = 0o试根，发现-1 是它的解，从而可得(b 1)(b- 2b 2) = 0 ,故b或b2b 2=0。对于方程b-2b 2 = 0，因为左边是首项系数为 1 的整系数多项式，且易见1,_2均不是它的根，由知识拓展 3 的推论可知，此方程没有有理数根。a = 1, a - -1,综上，原问题所求的a,b,c为 b=-1，或 b = -2,

27、Jc -1, c = 0注：解决这个问题用到很多课外知识：三次方程的韦达定理、整系数多项式有理 根的知识，此外，解这个问题还需要一定的代数功底和毅力。x = ,2 x 壮、2x 矛盾！2x3x同理，,3x : x 也会产生矛盾。故,3x 二 x，可得x= 0 或x = 3o经检验，x=0或x =3均是原方程的解。若 3x xix23x * * r；x 2由式，得：c = 0或ab - -12a +b = 0若c=0,代入，知2a2a b b 0 0，可得:R =aba =0* b = 0a 二 1(舍去)或b = -2c=0、 c= 02x录最提供论文写怅及发表服务全国录多邑箱用贵斜封爲站11.分析与解：由三次方程的韦达定理知，a = -(a b c),* b = ab +bc +ca,c=abc