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1、 1 1课时作业39平面的基本性质与推论一、选择题(每小题5分，共40分)1若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件解析：若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面，这四点共面于；若四点共面，则未必有三点共线答案：A2已知m、n为异面直线，m平面，n平面，l，则l()A与m、n都相交B与m、n中至少一条相交C与m、n都不相交D与m、n中的一条直线相交解析：若m、n都不与l相交，m，n，ml、nl，mnl，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、
2、n中至少一条相交答案：B3(20xx安徽，3)下列说法中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：由空间几何中的公理可知，仅有A不是定理，其余皆为公理答案：A4如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于()A.B.C. D.解析：取C1D1的中点G，连OG，GE，易知GOE就是两直线OE
3、与FD1所成的角或所成角的补角在GOE中由余弦定理知cosGOE.答案：B5以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1C2 D3解析：正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是A，B，C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面内答案：B6(20xx郑州一模，4)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：若m
4、，则m；若，m，则m；若n，n，m，则m；若，m，则m.其中正确命题的序号是()A BC D解析：若m，则m或m，或m与相交，故不正确；正确；若，m，则m或m或m，故不正确，故选D.答案：D7已知a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中的假命题是()A若ab，则B若，则abC若a，b相交，则，相交D若，相交，则a，b相交解析：若，相交，则a，b可能相交，也可能异面，故D为假命题答案：D8(20xx福建漳州月考)对于空间中的三条不同的直线，有下列三个条件：三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，能作为这三条直线共面的充分条件的有(
5、)A0个 B1个C2个 D3个解析：中，三条直线两两平行有两种情况：一是一条直线平行于其他两条平行直线构成的平面；二是三条直线共面中，三条直线共点最多可确定3个平面，所以当三条直线共点时，三条直线的位置关系有两种情况：一是一条直线与其他两条直线构成的平面相交；二是三条直线共面中，一定能推出三条直线共面故只有是空间中三条不同的直线共面的充分条件故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)9.如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD2AB4，EFAB，则EF与CD所成的角是_解析：取AD的中点H.连接FH、HE.则EHCD，FHAB，FEH为EF、CD所成角，EFFH，
6、EH2，又FH1，FEH30.EF与CD所成的角为30.答案：3010(20xx东莞模拟)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所在的角为_解析：在平面ABC内，过点A作DB的平行线AE，过点B作BHAE于点H，连接B1H，则在RtAHB1中，B1AH为AB1与BD所成角设AB1，则A1A，B1A，AHBD，cosB1AH，B1AH60.答案：6011(20xx武汉模拟)若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对解析：如图正方体，若要出现所成角为60的异面
7、直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB，BC，AD，CD，正方体的面对角线有12条，故所求的黄金异面直线对共有24(对)(每一对被计算两次，所以要除以2)答案：24三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点求异面直线A1E与GF所成角的大小解：连接B1G，EG，B1F，CF.E、G是棱DD1、CC1的中点，A1B1綊EG.四边形A1B1GE是平行四边形B1GA1E.B1GF(或其补角)就是异面
8、直线A1E与GF所成的角在RtB1C1G中，B1C1AD1，C1GAA11，B1G.在RtFBC中，BCBF1，FC.在RtFCG中，CF，CG1，FG.在RtB1BF中，BF1，B1B2，B1F，在B1FG中，B1G2FG2B1F2，B1GF90.因此，异面直线A1E与GF所成的角为90.13(20xx潍坊模拟)在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解：(1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面AB
9、CD所成的角，即PBO60.在RtPOB中，BOABsin301，又POOB，POBOtan60，S菱形ABCD2，四棱锥PABCD的体积VPABCD22.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA.DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角)在RtAOB中，AOABcos30OP，在RtPOA中，PA，EF.四边形ABCD为菱形，且DAB60，ABD为正三角形PBO60，BO1，PB2，PBPDBD，即PBD为正三角形，DFDE，cosDEF.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.14(20xx河北唐山一模，18)空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小解：取AC的中点G，连接EG、FG，则EG綊AB，GF綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15；故EF与AB所成的角为15或75.
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