广东省高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何 理

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1、高考数学精品复习资料 2019.5广东省高三数学理一轮复习专题突破训练立体几何广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。立体几何在全国卷中占据着重要的位置，既在选择或填空题出现，又在解答题中出现，一般考试2-3题，既考查立体几何知识，又考试立体几何知识在实际问题中的应用。一、选择、填空题1、（全国I卷）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆

2、的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛2、（全国I卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（A）1（B）2（C）4（D）83、（全国I卷）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为. . .6 .44、（全国I卷）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再

3、向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A、cm3B、cm3 C、cm3 D、cm35、（全国I卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. . . .6、（佛山市高三二模）已知a, b, c均为直线，, 为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a与一个平面，则平面内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a, b, c，必存在与a, b, c都相交的直线；（3）/，必存在与a, b都垂直的直线；（4），若a不垂直c，则a不垂直b.其中真命题的个数为（）A1B2C3D47、（广州市高三二模）如图2，圆锥的底面直

4、径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A B C D 8、（华南师大附中高三三模）某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 * .9、（惠州市高三4月模拟）多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )A B C D10、（茂名市高三二模） 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A B C D411、（梅州市高三一模）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A、30B、12C、

5、24D、412、（汕头市高三二模）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去铁皮的面积为（制作过程中铁皮的损耗和厚度忽略不计）A B. C. D. 图1正视图侧视图俯视图13、（深圳市高三二模）如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）ABCD14、（汕尾市高三上期末）已知直线平面，直线平面，则下列四个结论：若，则若，则若，则若，则。 其中正确的结论的序号是（ ） A. B. C. D.15、（韶关市高三上期末）如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（ ）

6、A B C D二、解答题1、（全国I卷）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面AEC平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 2、（全国I卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=BC求二面角的余弦值.3、（全国I卷）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）证明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。4、（佛山市高三二模）如图2，在直三棱

7、柱ABCA1B1C1中，ABBC2，ABC1200，D为AC的中点，P为棱A1B上的动点.（1） 探究：AP能否与平面A1BC垂直？（2） 若AA1，求二面角A1BDB1的余弦值. 5、（广州市高三二模）C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1图5如图5，已知六棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，分别是棱，上的点，且（1）证明：，四点共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值6、（华南师大附中高三三模）如图，已知斜三棱柱,在底面上的射影恰为的中点, 又知 () 求证：平面； () 求到平面的距离； () 求二面角的平面角的余弦值7、（惠州市高三4月模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，

8、平面底面，为的中点，是棱上的点，（1）求证：平面平面；（2）若二面角为，设，试确定 的值8、（茂名市高三二模）在四棱锥中, 平面, ,底面是梯形, ，（1）求证:平面平面;（2）设为棱上一点,试确定 的值使得二面角为60.9、（梅州市高三一模）如图，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AC2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将ADE折起，得到如图所示的四棱锥，F是的中点。（1）求证：EF平面；（2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值。10、（汕头市高三二模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，BAC=1200，且AB=AC=AP，M是PB的中点，N在BC上，且BN

9、=BC。（1）求证：MNAB，（2）求二面角P-AN-M的余弦值。11、（深圳市高三二模）如图4，已知三棱锥的三条侧棱，两两垂直，为等边三角形， 为内部一点，点在的延长线上，且（1）证明：；（2）证明：平面平面；图4（3）若，求二面角的余弦值12、（珠海市高三二模）如图为一多面体ABCDE ，四边形ACDE 是边长为2 的菱形，其所在平面与平面ABC垂直， AB = BC=，EAC = ，F、G分别是 AC 、BD中点（1）求证： FG /平面ABE ；（2）求二面角 A-BE - D的正弦值13、（韶关市高三上期末）如图，是边长为的正方形，是矩形，平面平面,为的中点(1)求证：/平面；(2)

10、若三棱锥的体积为，求二面角的正切值. 14、（深圳市高三上期末）在三棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点 在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；侧视图正视图图5俯视图z图6OPyx（3）求点到面的距离15、（肇庆市高三上期末）如图，四棱柱中，底面ABCD，且. 梯形ABCD的面积为6，且AD/BC，AD=2BC，CD=2. 平面与交于点E. （1）证明：EC/；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的大小.参考答案一、选择、填空题1、【答案】B

11、考点：圆锥的体积公式2、【答案】B考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式3、【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，其中，故最长的棱的长度为，选C4、【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，球的体积为=，故选A.5、【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选.6、B（1），（3）正确；

12、当a/b，且a, b，c/时（2）错误；若故（4）错误。7、B8、9、【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得，故选C10、B11、C12、A13、C14、C15、C二、解答题1、【答案】（）见解析（），EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 12分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想

13、象能力，推理论证能力2、【解析】：()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点又，所以平面，故=又，故 6分（）因为且O为的中点，所以AO=CO=又因为AB=BC=，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-因为，所以为等边三角形又AB=BC=，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.3、【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】（）取AB中点E，连结CE，A

14、B=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； 6分（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),则=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=，直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 12分4、5、第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接，在四边形中，且，C1ABA1B1D1CD

15、MNEFE1F1在四边形中，且，所以且，所以四边形是平行四边形所以2分在中，所以，所以4分所以C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以，四点共面6分（2）解：以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，8分则，10分设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量12分设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值为14分第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点为坐标原点，所在的直线C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，2分所以， 3分因为，且与不重合，所以5分所以，四点共面6分（2）解：由（1）

16、知，10分 （特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量12分设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值为14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接，在四边形中，且，在四边形中，且，C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以且，所以四边形是平行四边形所以2分在中，所以，所以4分所以所以，四点共面6分（2）连接，因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角7分连接，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则8分因为，即9分在边长为3的正六边形中，在中，由余弦定理可得，

17、在中，所以在中，所以在中，由余弦定理可得，所以所以11分又，所以13分所以故直线与平面所成角的正弦值为14分6、解法：()平面,平面平面,又,平面, 得,又, ，平面.4分()平面，,四边形为菱形,故,又为中点,知.即ACA1为等边三角形，取中点,则CFAA1,由(1)可知平面,BCAA1, CFBC=C，平面,AA1平面A1AB，从而面面,6分过作于,则面,在中,则BF=，由面积法可得,即到平面的距离为.9分（用体积转移法同样给分） ()过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,10分在中,CH=,则HG=，cosCGH=故二面角的余弦值为. 14分 解法：()如图,取的中点,则,又平面,

18、以为轴建立空间坐标系, 1分则,由,知,又,，从而平面.4分 ()由,得.设平面的法向量为,设,则. 6分点到平面的距离.9分 ()设面的法向量为,.10分设z= -1,则, 设二面角的平面角为，则，可知二面角的余弦值为.14分7、解答：（）证法一：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ 1分ADC=90，AQB=90，即QBAD 2分又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，4分BQ平面PAD 5分BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 6分证法二：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ 1分ADC=90A

19、QB=90，即QBAD 2分PA=PD，PQAD 3分PQBQ=Q ， 4分AD平面PBQ 5分AD平面PAD，平面PQB平面PAD 6分（）法一：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD面PAD面ABCD，且面PAD面ABCD=AD，PQ面ABCD7分如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；8分，设，则，9分,，10分在平面MBQ中，平面MBQ法向量为12分二面角为30，得14分法二：过点作/交于点，过作交于点，连接，因为面,所以面，由三垂线定理知，则为二面角的平面角。9分（没有证明扣2分）设，则，EE，10分，且三线都共面，所以/， 11分在中，13分 解得 14分8、（1）

20、证明：平面，在梯形中，过点作作，在中，又在中，.3分 . 5分. 6分 7分（2）法一：过点作交于点,过点作垂直于于点,连. 8分由（1）可知平面,平面,平面, ，是二面角的平面角， 10分 ， ，由（1）知=,，又 12分 ， . 14分（2）法二：以为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系 (如图) 则. 令,则 . 9分平面, 是平面的法向量. 10分设平面的法向量为.则 ，即 即 .令,得 12分二面角为, 解得, 在棱上, 为所求. 14分9、（1）证明：取中点，连接.则由中位线定理可得，1分同理，所以，从而四边形是平行四边形， 3分 所以又面，平面，所以平面 5分 （2）在平面内作于

21、点.平面.又，故底面，即就是四棱锥的高 7分由知，点和重合时，四棱锥的体积取最大值 8分分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 9分设平面的法向量为，由,得，可取 11分平面的一个法向量 12分故， 13分所以平面与平面夹角的余弦值为 14分 (连,可以证明即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)10、11、证明：（1）因为，两两垂直，所以，又为等边三角形，所以，故 3分（2）因为，两两垂直，所以，平面，而平面，所以5分取中点，连结，由（1）知，所以由已知，所以所以，平面，而平面，所以 7分所以，平面，又，所以，平面平面9分图4解：（3）（法一）由（2）知平面，所以平面平面

22、，且平面平面，过点作平面，且交的延长线于点，连接，因为，由（1）同理可证，在中，所以，又因为，所以平面，所以为二面角的平面角， 11分在直角中， 12分由（2）知，所以为等腰直角三角形，所以，所以，所以，二面角的余弦值为 14分（法2）如图6，以，所在的直线分别为，轴，建立空间直角坐标系由（1）同理可证， 设，则，设，其中，O图6由，由（2）知，且，得解之，得， 11分所以，设平面的法向量为， 由，得取，得，由（2）知，平面的法向量为，13分记二面角的平面角为，由图可得为锐角，所以所以，二面角的余弦值为 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间

23、向量求二面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力12、13、14、解：（1）三棱锥直观图如图1所示；由三视图知和是直角三角形 3分（2）（法一）：如图2，过作交于点，由三视图知为等腰三角形， ，取的中点，过作且交于点，连接，EFHAz图2O(B)PyCx因为，由三视图知面，且面，所以，又由，所以面，由面，所以，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角6分， 8分在直角中，有所以，二面角的正切值为 9分（法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，HAz图3O(B)PyCx，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：，则， ,设平面、平面的法向量分别为、设，由，得，令， 得，即 6分

24、设，由，得，令， 得，即 7分，8分而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为9分（3） （法一）：记到面的距离为，由（1）、（2）知， ， 12分三棱锥的体积， 13分由，可得： 14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，记到面的距离为， 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力15、（1）证明：因为，所以. （1分）因为，所以. （2分）又，所以. （3分）又，所以EC/. （4分）（2）解：因为，BC/AD，AD=2BC，所以. （6分）所以. （8分）（3）解法一：如图，在中，作于F，连接. （9分）因为底面ABCD，所以.又，所以.又，所以. （10分）所以为二面角的平面角. （11分）由（2）得，所以. （12分）所以， （13分）所以，即二面角的大小为. （14分）解法二：如图，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系. （9分）设，BC=a，则AD=2a.因为，所以.（10分）所以， 所以，. （11分）设平面的一个法向量，由，得，所以.（12分）又平面ABCD的一个法向量， （13分）所以，所以二面角的大小为. （14分）