两角和与差的公式

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(a一3)=cosacos 3+ sin a sin (C(一3 )cos(a十3)=cos_acos_ 3sin_ a sin_ (C( + fsin(a一3)=sin_acos_ 3cos_ a sin_ 3(S(一3 )sin(a十3)=sin_acos 3+ cos_ a sin_ 3(S( + ftan(3)tanatanBIT a一1 tana tan0(1( 4)tan(十3)tana+ tanBIT a1 tana tan0(1(8+4)2.二倍角公式sin 2 a = 2sin_ a cos a ;cos 2 a = cos2 a sin

2、 2 a = 2cos2a 1 = 1 - 2sin 2 a ;2tan atan 2 a =;1 tan a3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T（士 B）可变形为tan a tan 3 = tan( a 3 )(1 ? tan a tan g ),tan a tantan a + tan S =1 tan( a + (3)tan a tan tan( a (3 )-1.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打或x”）（1）存在实数a,3,使等式sin(a+3)=sina+sin成立.（，）(2)在锐角ABC,sinAsinB和co

3、sAcosB大小不确定.可以变形为tan a +tan 3 = tan(a + B )(1 tantana+tanR公式tan(a+3)=1_tanatanEatan（3）,且对任意角3都成立.（X）(4)存在实数a,使tan2a=2tana.(V)、一一兀I/L/设sin2a=sina,aC（工,兀），则tan2a=j3.（V）因考点自测1.（2013浙江）已知aeR,sina+2cosa=乎,则tan2a等于（）-4D答案C解析sina10+2cosa=2，sin2a+4sin2acosa+4cosa52.化简得:4sin2a=3cos2a,tan2asin2acos2a3-4.故选C.1

4、 2,则 tan 2a等于（4sina+cosa2.若二-sinacosaA.答案B解析,sina+cosa由sina-cosa1-，2,等式左边分子、分母同除cosa得,tana+1tana1解得tan则tan2a2tana31tan2a43.（2013课标全国n）设e为第二象限角，若兀1tane+7=5,则sine+cos0=答案乎5解析tan0+y=1,，tane=1,4233sin0=cos0,即sin2e+cos2e=1且第二象限角，解得sin0=40,cos8=一斗.sin0 + cos4. (2014 课标全国 n )函数 f (x) = sin( x+2 6 ) 2sin 6

5、cos( x+ 6 )的最大值为 答案 1解析 . f(x)=sin( x+2() 2sin ()cos( x+ 6)=sin( x+ 6 ) + 6 2sin 6 cos( x+ ()=sin( x+ 6 )cos6 + cos( x+ 6 )sin6 2sin ()cos( x+ 6 )=sin( x+ 6 )cos6 cos(x+ 6 )sin6=sin( x+ 6 ) 6 = sin x,，f(x)的最大值为1.题型分类深度剖析题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan a , tan 是方程x2-3x + 2=0的两根，则tan( a + )的值为()A.B. 1C.D. 3(

6、2)若 0 a 小，一5 3 ，cos(亍+ ) =1， 2243cos(4-2) =-133,则 cos( a+2j 等于()B.D.3,6 9答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan a + tan B=3, tan a tan B=2.tan a + tan B 3 tan( a + B ) = = = 一 3.1 tan a tan B 1 - 2故选A.(2)C0S(a+y)r,兀， 、，兀= cos( + a )-( ，兀，、 ，兀=cos( + a )cos(I ,/r兀 I、/ 兀+ sin( 4- + a)sin( “丁,sin(?兀0Va5,1r兀兀则方力3

7、兀20,(2cos2-2-+2sin/cos-2-)-(cos-2-sin-y)所以原式:a2cos万=(cossin飞(cossin)=cos2%sin2=cosa.2222，22(2)因为三个内角A,B,C成等差数列，且A+B+C=所以A+C=2兀A+C兀3,-2-=T,tanA+C2所以tanA2+tanCAC2+q3tan2tan2=tan 2 + 2ACAC1tan2tan2+-3tan2tan2=，31tanACA2tan2+3tan2tanC2=3题型三三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知a , 均为锐角，且sin3a =二，tan( a5223,贝 COS aB)=q.贝

8、Usin(a-3)=3cos3=(2)(2013课标全国n)已知sin2a答案-噂讪()AA,一兀一一兀兀解析(1);a,C(0,),从而a一3.又tan(aB)=0,310，c、3：10 Sin(aB)=10,cos(aB)=10 a为锐角，sina二，COSa二.55.cos3=cosa(a3)=cosacos(a)+sinasin(a3)4310310910=5xr+5x(-%)=击.兀1+cos2a+(2)因为 cos2 a +-44，c,兀1+cos2a+21sin2a一一.2所以cos1 sin 2 a2131、=选A.26思维升华1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“

9、已知角”表示.(1)当“已(2)当“已知角”知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2.常见的配角技巧：2a=(a+B)+(aB)a=(a+3)一a+Saa=2十一(2)已知cos(答案解析cos(_2+B)等.(1)设a、(3都是锐角，且COS4(2)-5=-5,sin(a+B),则cos3等于(5或-125,则sin(a)+sina(1)依题意得sina=5/1COs2a=,5a+)=41-sin2(a+)=+.53均为锐角，所以0aa+BCOS(a+(3)所以c

10、os(a4+B)=5.于是cos3=cos(=COS(oc+3)cosa+sin(a+3)sin-4X55532_25+-x=5525(2) .cos(a6-)+sinCsCOSa+;rSinasin(兀4至+)=5,sin(a+76-)=-sin(1+a)=-5.高频小考点高考中的三角函数求值、化简问题典例:若tan2e=2也,2cos2-2-sin01兀2e2兀，贝u近sin(0+-4)(2)(2014课标全国I)设a兀A.3a=2兀C. 3a+0=*(3)(2012大纲全国)已知a兀兀e(0,5)，”(0,万),兀8. 2a0=5兀D. 2a+0=为第二象限角，sina+(1+sin(3

11、皿tan=COs。，则(A.(4)(2012重庆)sin47sin17cos30cos17等于（）A3D1A.B-2思维点拨（1）注意和差公式的逆用及变形.（2）“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找3的关系. cos a 与 sin a cos a 的联系.(3)可以利用sin2a+cos2a=1寻求sin（4）利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.解析cos 0 sin01 tan 0 /、工sine + cos e 1 + tan ，2tan 9f 厂 2又 tan 2 e = 1 _ tan 2 e = 2 姆,即 /tan 8 tan 0 -2=0,解得tan1 .9 = 1 或

12、tan 9 = 2. 2 e2 7t ,-t 8 兀. tan 9 = ,22故原式=1 +2 一千=3+2也. 12(2)由 tan1 + sin S s sin a 1 + sin Sa = cos B倚 COTT = cos B 即 sin a cos 3 = cos a + cos a sin 3 ,sin( a - 3 ) = cos兀a = sin(兀兀ae（o,万），e（0,万），兀兀兀兀 aBe（a，万），y-ae（o,5）， ，c、，兀、/口c兀 由sin（a0）=sin（a）,得口一口二万一口） 2a 7t2.（3）方法sin a + cos(sina + cos a )2

13、 = -,32sin a cos a2 2-即 sin 2 a323.又a为第二象限角且 sina + cos兀32k兀+-2-oc2kTt+4Tt(kZ),31-4k兀+兀2a0,cosa0,cosa-sina=0,1-tana=1.123,(4cos2122)sin12)=答案413解析3sin12cos123八工二2(2cos2121)sin12232sin12/cos12cos122cos24sin122msim48。)2/3sin48。2cos24sin12cos12sin24cos242,3sin4812sin48=一43.9.已知/1+singY1一sina(1sina1+sin

14、2tana，试确定使等式成立的a的取值集合.因为jl+sina1sinaf1sinaA/1+sina解(1+sin2cosaa)2|1+sina|1sina|cosa|cosa|1+sina1+sina|cosaI2sina|cosIui、，2sina所以而sF=2tan2sinacos所以sina=0或|coscos0.故a的取值集合为2kTt+a2kTt+Tt或2卜兀+兀a2kTt+-2-,kCZ10.已知7t2,7tsin卜cosa 62-2(1)求 cos的值;(2)若 sin(357t2，7t求cos 3的值.解(1)因为asin - + cos两边同时平方，得sin12.cos一，

15、兀(2)因为万a兀，所以一兀-兀，“兀一万，故-于a兀24PH又sin(a-B)=3,得cos(a5cos3=cosa(a3)=cosacos(a0)+sinasin(a3)国4+125十24A/3+310B组专项能力提升（时间：25分钟）11.已知tan(a兀+了）I兀且一五a0,则2sin2a+sin2acos(a等于（A.3.11010答案解析由tan(71tana+1+4)1tana12,得tana13.兀又一万a0,所以sina=W.2sin2a+sin2a2sina(sina+cosa)cos(平(sina+cosa)2J2sina12.若a0,7t2且sin2a+cos2a14，

16、则tana的值等于（答案解析0,7t2且sin2a+cos21a=4,sin+cossin14,cosa=4,cosa2或一2（舍去），.tana=，3.13.若tan18=2,e(07t7t,了)，则sin(20+)=解析因为sin2又由ee(o,余)，得26e(o,/),一3所以cos20=/1sin28=5,一一兀所以sin(20+)=sin 20 cos 了+ cos 20 sin444=5*14.已知函数f(x)=sinx+ cos x-亭，xCR44求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知 cos( 3 a ) =7, cos( 3 5求证：f( B)-2=0.解1 f(x) =

17、 sin x+；4-2兀+ cos7t7t=sin x +sin x = 2sin兀x 7.T=2兀，f(x)的最小值为一2.(2)证明由已知得cos (3 cos a+ sins sin acos 3 cos a sins sin a45,两式相加得2cos 3cos a = 0,兀. ,0aB ,7t2,.f(3)2-2=4sin22=0.兀x+-4) - sin (1215.已知f(x)=(1+tanx)sinx-2sin(若tana=2,求f(a)的值;兀兀(2)若xe而,y,求f(x)的取值范围.解(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+-兀cosx+41cos

18、2x1兀2F2sin2x+sin2x+11=2+(sin2xcos2x)+cos2x=2(sin2x+cos2x)+2.由 tan a = 2,得 sin 2 a2sin a cos a 2tan asin a + cos a tan a + 145.cos 2 acos a sin a 1 tan a sin a + cos a 1 + tan a35.所以,11 3f( a)=2(sin 2 a + cos 2 a ) + 2=5.11(2)由(1)得 f (x) =2(sin 2 x+cos 2x)+2兀 12x+T+2.由xC兀 兀 /，5兀 2 +兀 5兀所以一gwsin兀2x + 1,0 f(x) 2+12-所以f(x)的取值范围是0,42，.