两角和与差的公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(a一3)=cosacos 3+ sin a sin §(C(一3 )cos(a十3)=cos_acos_ 3sin_ a sin_ §(C(" + fsin(a一3)=sin_acos_ 3cos_ a sin_ 3(S(一3 )sin(a十3)=sin_acos 3+ cos_ a sin_ 3(S(" + ftan(3)tanatanBIT° a一1 tana tan0(1( 4)tan(十3)tana+ tanBIT° a1 tana tan0(1(8+4)2.二倍角公式sin 2 a = 2sin_ a cos a ;cos 2 a = cos2 a sin 2 a = 2cos2a 1 = 1 - 2sin 2 a ;2tan atan 2 a =;1 tan a3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T（"士 B）可变形为tan a± tan 3 = tan( a ± 3 )(1 ? tan a tan g ),tan a tantan a + tan S =1 tan( a + (3)tan a tan §tan( a (3 )-1.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打或"x”）（1）存在实数a,3,使等式sin(a+3)=sina+sin§成立.（，）(2)在锐角ABC,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.可以变形为tan a +tan 3 = tan(a + B )(1 tantana+tanR公式tan(a+3)=1_tanatanEatan（3）,且对任意角3都成立.（X）(4)存在实数a,使tan2a=2tana.(V)、一一兀I/L/设sin2a=sina,aC（工,兀），则tan2a=j3.（V）因考点自测1.（2013浙江）已知aeR,sina+2cosa=乎,则tan2a等于（）-4D答案C解析sina10+2cosa='2，sin2a+4sin2acosa+4cosa52.化简得:4sin2a=3cos2a,tan2asin2acos2a3-4.故选C.1 2,则 tan 2a等于（4sina+cosa2.若二-sinacosaA.答案B解析,sina+cosa由sina-cosa1-，2,等式左边分子、分母同除cosa得,tana+1tana1解得tan则tan2a2tana31tan2a43.（2013课标全国n）设e为第二象限角，若兀1tane+7=5,则sine+cos0=答案乎5解析tan0+y=1,，tane=1,4233sin0=cos0,即sin2e+cos2e=1且第二象限角，解得sin0=40,cos8=一斗".sin0 + cos4. (2014 课标全国 n )函数 f (x) = sin( x+2 6 ) 2sin 6 cos( x+ 6 )的最大值为 答案 1解析 . f(x)=sin( x+2() 2sin ()cos( x+ 6)=sin( x+ 6 ) + 6 2sin 6 cos( x+ ()=sin( x+ 6 )cos6 + cos( x+ 6 )sin6 2sin ()cos( x+ 6 )=sin( x+ 6 )cos6 cos(x+ 6 )sin6=sin( x+ 6 ) 6 = sin x,，f(x)的最大值为1.题型分类深度剖析题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)设tan a , tan §是方程x2-3x + 2=0的两根，则tan( a + § )的值为()A.B. 1C.D. 3(2)若 0< a <小，一5 <3 <°，cos(亍+ " ) =1， 2243cos("4-2) =-133,则 cos( a+"2j 等于()B.D.3,6 9答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan a + tan B=3, tan a tan B=2.tan a + tan B 3 tan( a + B ) = " '= = 一 3.1 tan a tan B 1 - 2故选A.(2)C0S(a+y)r,兀， 、，兀= cos( + a )-( ，兀，、 ，兀=cos( + a )cos(I ,/r兀 I、/ 兀+ sin( 4- + a)sin( “<丁,sin(?兀0Va<5,1r兀兀则方力3兀2<2,则 sin(故C*+务14+平X乐平.故选C思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.一j兀兀1翻粽训绦1(1)右ae(,兀),tan(a+_4)=7,则sina等于()D.C.(2)计算:1 + cos 20°2sin 20°一sin10°1_(tan 5 tan 5° )=答案(1)A(2)解析(1) tan(oc +tan a + 1 1 tan a1T3sina.tana=-=4cosa-COSa=-sina.3又Sin2a+COS2a=1,.2 Sin a925.一兀又 a £ (-2,),sin a =-. 5(2)原式=2cos210°4sin 10° cos 10一sin10cos 25° sin 25sin 5° cos 5°cos10°sin20°2sin10°-sin10°cos10°2sin20°2sin10°cos10°2sin(30°10°)2sin10°cos10°2sin30°cos10°+2cos30°sin102sin10°,3"2".题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°x)cos(110°x)的值为()(2)化简:2cos4x 2cos2x+ - 22tan( 4- - x)sin 2(y+x)(3)求值:cos15°+sin15cos15°sin151答案(1)B(2)2cos2x(3)3解析(1)原式=sin(65°x)-cos(x-20°)+cos(65°x)cos90°(x-20°sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x20°)=sin(65°x)+(x20°2吉sin45=2.故选B.1 .4.2.2(4cosx-4cosx+1)(2)原式=兀2 xsin(一x)3 cos2(-x),兀4cos(x)4(2cos2x1)2cos 22x兀4sin(x)cos(4兀兀4-x) 2sin( -2x)cos22x1=zcos 22cos 2 x 2x.、1 + tan 15°(3)原式: 1tan 15。=tan 45° + tan 15°1 tan 45° tan 15= tan( 45° + 15° )=艰.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan a + tan (3 =tan( a + §) (1 tan a tan B)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.a a(1 + sin a+cos a) , (cos 万一sin 万)强踪训赛Z (1)已知 a e (0 ,兀)，化简：Jy2 + 2cos a(2)在 ABC中，已知三个内角A C AC.A B, C成等差数列，则 tan2+tan 2 + 43tan tan"2的值为答案(1)cos a (2)市(2cos-+2sincos-)(cossin-)解析(1)原式=4cos2-2-一.a因为a(0,),所以cos>0,(2cos2-2-+2sin/cos-2-)-(cos-2-sin-y)所以原式:a2cos万=(cossin飞(cossin)=cos2%sin2=cosa.'2222，22(2)因为三个内角A,B,C成等差数列，且A+B+C=所以A+C=2兀A+C兀3",-2-=T,tanA+C2所以tanA2+tanCAC2+q3tan2tan2=tan 2 + 2ACAC1tan2tan2+-3tan2tan2=，31tanACA2tan2+3tan2tanC2=3题型三三角函数公式运用中角的变换例3 (1)已知a , §均为锐角，且sin3a =二，tan( a5223,贝 COS aB)=q.贝Usin(a-3)=3cos3=(2)(2013课标全国n)已知sin2a答案-噂讪()AA,一兀一一兀兀解析(1);a,§C(0,),从而<a一3<.又'tan(aB)=<0,310，c、3：10 Sin(aB)=10,cos(aB)=10 a为锐角，sina二，COSa二.55.cos3=cosa(a3)=cosacos(a§)+sinasin(a3)4310310910=5xr+5x(-%)=击.兀1+cos2a+(2)因为 cos2 a +-44，c,兀1+cos2a+21sin2a一一.2所以cos1 sin 2 a2131、=选A.26思维升华1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已(2)当“已知角”知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2.常见的配角技巧：2a=(a+B)+(aB)a=(a+3)一a+Saa=2十一(2)已知cos(答案解析cos(_2+B)等.(1)设a、(3都是锐角，且COS4(2)-5=-5,sin(a+B),则cos3等于(5或-125,则sin(a)+sina(1)依题意得sina=5/1COs2a=,5a+§)=±41-sin2(a+§)=+.53均为锐角，所以0<a<a+B<兀，COSa>COS(a+(3)所以cos(a4+B)=5.于是cos3=cos(=COS(oc+3)cosa+sin(a+3)sin-4X55532_25+-x=5525(2) .cos(a6-)+sinCsCOSa+;rSinasin(兀4至+")=5,sin(a+76-)=-sin(1+a)=-5.高频小考点高考中的三角函数求值、化简问题典例:若tan2e=2也,2cos2-2-sin01兀<2e<2兀，贝u近sin(0+-4)(2)(2014课标全国I)设a兀A.3a=2兀C. 3a+0=*(3)(2012大纲全国)已知a兀兀e(0,5)，”(0,万),兀8. 2a0=5兀D. 2a+0=为第二象限角，sina+(1+sin(3皿tan"=COs。，则(A.(4)(2012重庆)sin47°sin17°cos30°cos17°等于（）A3D1A.B-2思维点拨（1）注意和差公式的逆用及变形.（2）“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找3的关系.± cos a 与 sin a cos a 的联系.(3)可以利用sin2a+cos2a=1寻求sin（4）利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.解析cos 0 sin01 tan 0 /、工sine + cos e 1 + tan §，2tan 9f 厂 2又 tan 2 e = 1 _ tan 2 e = 2 姆,即 /tan 8 tan 0 -2=0,解得tan1 .9 = 1 或 tan 9 = 2.< <2 e<2 7t ,-t"< 8 < 兀. tan 9 = ,22故原式=1 +2 一千=3+2也. 12(2)由 tan1 + sin S s sin a 1 + sin Sa = cos B倚 COTT = cos B '即 sin a cos 3 = cos a + cos a sin 3 ,sin( a - 3 ) = cos兀a = sin(兀兀ae（o,万），§e（0,万），兀兀兀兀 aBe（a，万），y-ae（o,5）， ，c、，兀、/口c兀 由sin（a0）=sin（a）,得口一口二万一口） 2a 7t2.（3）方法sin a + cos(sina + cos a )2 = -,32sin a cos a2 2-即 sin 2 a323.又a为第二象限角且 sina + cos兀32k兀+-2-<oc<2kTt+4Tt(kZ),31-4k兀+兀<2a<4k兀+2兀(kCZ),，2a为第三象限角,J53 .cos2a=q1一sin22a方法由sina+cosa乂3两边平方得31+2sinacosa13'2sinacosa23.a为第二象限角，sin>>0,cosa<0sinacosa=(sinacos_a)2=11 2sina cos15"一3sina + cos asinj'3+ 156，sina cos acos.：'3 156co cos 2a = 2cos a 1 =(4)原式=sin( 30° + 17° ) - sin 17cos 30cos 17 °sin 30cos 17 0 + cos 30 ° sin 17 cos 17 °sin 17cos 30 °sin 30cos 17 °cos 17 °= sin 3012.答案(1)3 +2小(2)B(3)A(4)C温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.思想方法感悟提高方法与技巧1.巧用公式变形:和差角公式变形：tan x±tan y= tan( x±y) (1 ? tan x , tan y);倍角公式变形：降哥公.21 + cos 2 a式 cos a =22sin a1 cos 2配方变形：1±sin asin y+cos-2- 2,1 +cosa=2cos2-2-,1-cosa=2sin2-2-.2 .重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.失误与防范1 .运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2 .在（0,兀）范围内，sin（a+B）=乎所对应的角a+B不是唯一的.3 .在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值练出高分A组专项基础训练（时间：30分钟）八2兀1兀一1.已知tan（a+B）=5,tan3-=0那么tana+等于（）答案C,1一、，兀兀斛析因为a+"4+3一了=a+B,兀兀所以a+了=(a+§)3-,所以兀兀tana+-=tan(a+§)(3-兀tan(a+0)tan043=工=22.1 +tan(a+(3)tan32 .若8C亍,-,sin20=,则sin0等于()答案D解析由sin2e=37和sin2e+cos2e=1得(sin0+cos378+1=(兀万,sin0+cos同理,sin0cos0=343.已知tan21+cos2a+8sinasin2a的值为（A.43C.4答案解析1+cos2a+8sin2a2cos2a+8sin2asin2a2sinacosa.tana=4,cosaW0,分子、分母都除以2cosa2一2+8tana652tan4.(2013重庆)4cos50°tan40°等于(答案解析4cos50°tan40°4sin40°cos40sin40°5.A.C.2sin80°sin40°cos40°cos40°2sin(50°+30°)sin40°3sin50cos50sin40°cos40°r",兀、V3已知cos(x-)=-2,，33答案C7tcos40°3sin50°cos40°=13.贝Ucosx+cos(x-守）的值是（B+空一3D.±1解析cosx+cos(x-)=cosx+2cosx+33-2-sinx=2cos33x+-2-sinx=V3(cosx+1Sinx)=®os(x-6-)=-1.6.2-sin501+sin10°-1答案22ccsin501cos100斛析1+sin10°=2(1+sin10°)1cos(90°+10°)1+sin10°1=2(1+sin10°)=2(1+sin10°)=2.7.已知a、3均为锐角，且cos(a+B)=sin(aB),则tana=答案1解析根据已知条件：cosacos3sinasin3=sinacos3cosasin3,cos3(cosasina)+sin3(cosasina)=0,即(cosB+sin(3)(cosasina)=0.3为锐角，则sinB+cosB>0,cosa-sina=0,1-tana=1.12°3,(4cos212°2)sin12°)=答案413解析3sin12°cos12°3八工二2(2cos212°1)sin""12232sin12°/cos12°cos12°2cos24°sin12°2msim48。)2/3sin48。2cos24°sin12°cos12°sin24°cos242,3sin4812sin48=一43.9.已知/1+singY1一sina(1sina1+sin2tana，试确定使等式成立的a的取值集合.因为jl+sina1sinaf1sinaA/1+sina解(1+sin2cosaa)2|1+sina|1sina|cosa|cosa|1+sina1+sina|cosaI2sina|cosI'ui、，2sina所以而sF=2tan2sinacos所以sina=0或|coscos>>0.故a的取值集合为2kTt+<a<2kTt+Tt或2卜兀+兀<a<2kTt+-2-,kCZ10.已知7t2,7tsin卜cosa 62-2"(1)求 cos的值;(2)若 sin(35'7t2，7t求cos 3的值.解(1)因为asin - + cos两边同时平方，得sin12.cos一，兀(2)因为万a兀，所以一兀-兀，“兀一万，故-于a兀<24PH又sin(a-B)=3,得cos(a5cos3=cosa(a3)=cosacos(a0)+sinasin(a3)国4+125十24A/3+310B组专项能力提升（时间：25分钟）11.已知tan(a兀+了）I兀且一五a<0,则2sin2a+sin2acos(a等于（A.3.11010答案解析由tan(71tana+1+4)1tana12,得tana13.兀又一万a0,所以sina=W.2sin2a+sin2a2sina(sina+cosa)cos(平(sina+cosa)2J2sina12.若a0,7t2且sin2a+cos2a14，则tana的值等于（答案解析0,7t2且sin2a+cos21a=4,sin+cossin14,cosa=4,cosa2或一2（舍去），.tana=，3.13.若tan18=2,e(07t7t,了)，则sin(20+)=解析因为sin2又由ee(o,余)，得26e(o,/),一3所以cos20=/1sin28=5,一一兀所以sin(20+)=sin 20 cos 了+ cos 20 sin444=5*14.已知函数f(x)=sinx+ cos x-亭，xCR44求f(x)的最小正周期和最小值;(2)已知 cos( 3 a ) =7, cos( 3 5求证：f( B)-2=0.解1 f(x) = sin x+；4-2兀+ cos7t7t=sin x +sin x = 2sin兀x 7.T=2兀，f(x)的最小值为一2.(2)证明由已知得cos (3 cos a+ sins sin acos 3 cos a sins sin a45,两式相加得2cos 3cos a = 0,兀. ,0<a<B <,7t2",.f(3)2-2=4sin22=0.兀x+-4) - sin (1215.已知f(x)=(1+tanx)sinx-2sin(若tana=2,求f(a)的值;兀兀(2)若xe而,y,求f(x)的取值范围.解(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+-兀cosx+41cos2x1兀2F2sin2x+sin2x+11=2+(sin2xcos2x)+cos2x=2(sin2x+cos2x)+2.由 tan a = 2,得 sin 2 a2sin a cos a 2tan asin a + cos a tan a + 145.cos 2 acos a sin a 1 tan a sin a + cos a 1 + tan a35.所以,11 3f( a)=2(sin 2 a + cos 2 a ) + 2=5.11(2)由(1)得 f (x) =2(sin 2 x+cos 2x)+2兀 12x+T+2.由xC兀 兀 /，5兀 <2 +兀 <5兀所以一gwsin兀2x + < 1,0 <f(x) <2+12-所以f(x)的取值范围是0,42，.