工程数学主要内容与方法

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1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 工程数学主要内容与方法问答题集锦辽宁工学院应用数学教研室 编二五年四月前 言为帮助学生更好地掌握工程数学（包括线性代数、概率论与数理统计）的主要内容与方法，根据我们多年的教学经验，总结编写了这本工程数学主要内容与方法问答题集锦，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。本书线性代数部分是按照同济大学应用数学系编写的线性代数（第四版）的章节顺序编写；概率论与数理统计部分是按照浙江大学盛骤等编写的概率论与数理统计（第三版）的章节顺序编写。编者按篇章次序分别为：线性代数部分，第一、二章由阚永志编写，第三、四章由王贺元编写，第五章由石月岩编写；概率论与数

2、理统计部分，第一章由朱振广编写，第二、三章由徐洪香编写，第四、五章由刘秀娟编写，第六、七、八章由徐美进编写；全书由石月岩统稿，佟绍成教授主审。 在本书的编写中得到辽宁工学院数理科学系的领导和老师的大力支持与帮助，在此表示衷心的感谢。 限于编者水平，加之编写时间仓促，书中不妥和疏漏之处在所难免，敬请读者批评指正。 编 者 2005年4月于辽宁工学院目 录线性代数部分线性代数的研究对象是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（1）线性代数的主要内容有哪些？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（1）第一章 行列式 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（

3、1） 1余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？LLLLLLLLLL（1） 2行列式有哪些性质？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（1） 3对角线法则对四阶以上的行列式是否成立？LLLLLLLLLLLLLLLL（1） 4计算行列式通常采用的方法是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2） 5克莱姆法则的适用条件是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2）第二章 矩阵及其运算 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2） 1为什么要学习矩阵？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2） 2什么是矩阵的代数运算？什么是矩

4、阵的运算系统？LLLLLLLLLLLLL（2） 3为什么矩阵乘法不满足交换律？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（3） 4矩阵运算系统与我们熟悉的实数运算系统的本质区别是什么？LLLLLLLL（3） 5矩阵与行列式有什么区别与联系？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（3） 6判断矩阵可逆的常用方法有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（4） 7什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（4） 8求方阵的高次幂有哪些常用的方法？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（4） 9怎样解矩阵方程？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（

5、5） 10什么是分块矩阵，为什么要对矩阵进行分块？LLLLLLLLLLLLLLL（5）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（5） 1一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？LLLLLLLLLL（5） 2在求解有关矩阵的问题时，何时只须化为阶梯形，何时宜化为行最简形？或者， 它们在功能上有什么不同？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（6） 3矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？引入初等矩阵有什么意义？LLLLL（6） 4初等变换有哪些应用？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（7） 5求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方

6、法？LLLLLLLLLLLLLLL（7） 6阶矩阵是可逆矩阵的特征刻画有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLL（7） 7用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？LLLLLLLLLLLL（8） 8在求解带参数的线性方程组时，对系数矩阵或增广矩阵作初等行变换应注意些 什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（8） 9在求解线性方程组的通解时，常与教材中给出的答案不一致，这是否可以？LL（8）第四章 向量组的线性相关性 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（9） 1线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？LLLLLLLLLLLL（9） 2对于向量

7、组的线性相关、线性无关的概念，能否给出一些几何上的解释？LLL（9） 3两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？ LLLLLLLLL（10） 4矩阵的初等行（列）变换有哪些？它有什么重要应用？ LLLLLLLLLL（10） 5向量组的最大无关组有什么重要意义？ LLLLLLLLLLLLLLLLL（10） 6求向量组的最大无关组有哪些方法？ LLLLLLLLLLLLLLLLLL（11） 7证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？LLLLLLL（11） 8求矩阵的秩有几种方法？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（11） 9矩阵的秩有哪些重要性质？ LLLLL

8、LLLLLLLLLLLLLLLLL（12） 10矩阵的秩有哪些主要应用？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（12） 11如何求齐次线性方程组的基础解系？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（12） 12齐次线性方程组的通解结构是什么？LLLLLLLLLLLLLLL（13） 13非齐次线性方程组的通解结构是什么？LLLLLLLLLLLLLL（14）第五章 相似矩阵及二次型LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 1向量正交变换的几何意义是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 2矩阵的特征值有哪些主要性质？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（

9、15） 3如何求方阵的特征值与特征向量？ LLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 4相似矩阵有哪些主要性质？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 5阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是什么？ LLLLLLLLLLLL（16） 6判断矩阵是否可对角化的基本方法有哪些？ LLLLLLLLLLLLLL（16） 7方阵可相似对角化有什么意义？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（16） 8实对称矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？LLLLLLLLLLLLLLL（16） 9已知阶方阵可对角化, 如何求可逆矩阵, 使得? LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

10、LLLLL（17） 10实对称矩阵正交相似对角化的步骤是什么？LLLLLLLLLLLLLLL（17） 11化实二次型为标准形的常用方法有哪些？ LLLLLLLLLLL（17） 12用正交变换化二次型为标准形的主要步骤是什么？ LLLLLLL（17） 13如何判别二次型的正定性？ LLLLLLLLLLLLLLLLL（18）概率论与数理统计部分概率论与数理统计研究的对象是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（19）概率论与数理统计研究的主要内容是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLL（19）概率论与数理统计的主要任务是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（19）第一章 概率论的基本概

11、念LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（19） 1随机事件的本质是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（19） 2为什么把随机事件定义成样本空间的子集？LLLLLLLLLLLLLLLL（19） 3事件之间有几种关系？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（19） 4事件间有几种运算？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（19） 5概率是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（20） 6概率的古典定义、几何定义、统计定义和公理化定义有什么联系？ LLLLL（20） 7随机事件有两次抽象，指的是什么？其意义何在？

12、 LLLLLLLLLLLL（20） 8什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？ LLLLLLLLLLL（21） 9计算概率的常用公式有哪些？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（21） 10什么是重贝努利试验，计算有关事件概率的方法是什么？LLLLLLLLL（22） 11如何使用全概率公式和贝叶斯公式？ LLLLLLLLLLLLLLLLLL（22） 12对立事件与互斥事件有何联系与区别？LLLLLLLLLLLLLLLLL（23） 13在实际应用中，如何判断两事件的独立性？LLLLLLLLLLLLLLLL（23） 14两事件相互独立与互不相容（互斥）这两个概念有何关系？LLL（23

13、） 15概率为的事件与“不可能事件”有何区别？有何关系？LLLLLLLLL（24） 16什么是“概事件”？ “概事件”与“必然事件”的关系如何？ LLLLL（24） 17什么是“实际推断原理”？它有什么作用？它与小概率事件有什么关系？LLL（24）第二章 随机变量及其分布LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（24） 1为什么要引入随机变量？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（24） 2引入随机变量的分布函数有哪些作用？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（25） 3概率密度函数有哪些性质？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（25） 4对于概率密度的不连续

14、点，如何从分布函数求得？ LLLLL（25） 5为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？LLLLLLLLLLLLLLL（26） 6常见随机变量的概率分布有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（26）第三章 多维随机变量及其分布LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（28） 1如何判定一个二元函数是某个随机变量的概率密度？LLLLLLLL（28） 2边缘分布与联合分布的关系如何？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（28） 3由相互独立的随机变量构成的多维随机变量，它们的联合分布与边缘分布有何 关系？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（28）

15、4如何由联合分布确定两个边缘分布？LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（29） 5怎样判别随机变量与相互独立？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（29） 6相互独立的正态随机变量的线性组合是否仍为正态随机变量？LLLLLLLL（29）第四章 随机变量的数字特征LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（30） 1随机变量的数字特征有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（30） 2随机变量的分布与数字特征有何关系？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（30） 3随机变量的数学期望和方差，在随机变量的研究和实际应用中，有何重要意义？（30） 4数学期望有哪些性质？ LLLL

16、LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（30） 5方差有哪些性质？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（31） 6常用分布的期望、方差是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（31） 7相关系数反映随机变量和的什么特性？ LLLLLLLLLLLLL（31） 8独立性与不相关有何关系？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（32）第五章 大数定律及中心极限定理LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（32） 1大数定律说明什么问题？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（32） 2中心极限定理的意义是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

17、LLL（32）第六章 样本及抽样分布LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 1什么是统计量？为什么要引进统计量？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 2常用的统计量有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 3正态总体的某些常用抽样分布有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 4分布、分布、分布及正态分布之间有哪些常见的关系？LLLLLLLL（34）第七章 参数估计LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（34） 1常用的点估计方法有哪几种？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（34） 2矩估计法的步骤

18、是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（35） 3极大似然估计法的步骤是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（35） 4未知参数的点估计和区间估计有何异同？LLLLLLLLLLLLLLLLL（35） 5用矩估计法和极大似然估计法所得的估计是否是一样的？LLLLLLLLLL（35） 6评价估计量好坏的常用标准是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36）第八章 假设检验LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36） 1假设检验的依据是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36） 2假设检验可能产生的两类错误是什么？LLL

19、LLLLLLLLLLLLLLL（36） 3假设检验的一般步骤是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36）线性代数主要内容与方法问答题集锦（部分内容）线性代数研究的对象是什么？ 答：线性代数是数学的一门重要课程，它主要讨论矩阵理论，并以矩阵理论为工具研究有限维向量空间和线性变换理论。线性代数的主要内容有哪些？答：主要内容包括：行列式，矩阵及其运算，矩阵的初等变换与线性方程组，向量组的线性相关性，相似矩阵及二次型，线性空间与线性变换。第一章 行列式1余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？ 答：在阶行列式中，元素的余子式是把中第行和第列划去后留下来的阶行列式，实质上它还是

20、表示一个数，并且元素的余子式和代数余子式仅与位置有关，而与元素的数值大小和正负无关。它们之间的联系是. 因此，当为偶数时，；当为奇数时，.2行列式有哪些性质？ 答：行列式的性质有： 行列式与它的转置行列式相等。 互换行列式的两行（列），行列式变号。 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；或者，行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式记号的外面。 行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式等于零。 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为行（列），

21、其余各行（列）与原行列式相同。 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。4计算行列式通常采用的方法是什么？ 答：计算行列式通常采用的方法有 对于二阶与三阶行列式可以用对角线法则； 对于特殊的行列式可采用行列式的定义去求； 利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式去计算； 利用行列式按行（列）展开法则计算行列式； 利用数学归纳法计算阶行列式； 利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 利用升阶法（或加边法）计算行列式。第二章 矩阵及其运算1为什么要学习矩阵？ 答：矩阵是线性代数最重要

22、的概念之一，由于对矩阵可以进行运算和变换，所以它成为线性代数的有力工具，是线性代数全部内容的纽带和桥梁。它在数学与其他自然科学、工程技术、社会科学特别是经济学中有着广泛的应用。例如，一般线性方程组有解的充要条件和作为解线性方程组基础的克莱姆定理都可以用矩阵运算导出；二次型的研究可以转化为对称矩阵的研究；由于线性变换与矩阵存在一一对应关系，从而可以利用矩阵来研究线性变换；向量组的线性相关性讨论也可以利用矩阵来研究。3为什么矩阵乘法不满足交换律？ 答：因为按照矩阵乘法的规定，只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数与第二个矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵相乘才有意义。否则无意义。另一方面，即使与都有意

23、义，与仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律。即在一般情况下，. 但是对于同阶方阵，是一定成立的，这是因为. 又对于数的运算，交换律成立，即，故.6判断矩阵可逆的常用方法有哪些？答：判断矩阵可逆的常用方法有（1）若有方阵，使或，则可逆，且. （2）计算方阵（如）的行列式是否不为零，若，则为可逆矩阵。 （3）若的伴随矩阵可逆，或，则可逆。 （4）以后还会学到如下判别方法： 若阶矩阵的秩，则可逆。同理，若，则可逆。 若方程组有唯一解或只有零解，则可逆。 若阶矩阵的行（列）向量组线性无关，或为的基础解系，则可逆。 若阶矩阵的行向量组或列向量组两两正交，则可逆。 若方阵的特征值全不为，则可逆。7

24、什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？ 答：方阵的行列式的各列（行）的各个元素的代数余子式写在同序数的行（列）上所构成的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵。记为. 即若，则.的主要性质有： ； 若，则，. 若，则，. . . .8求方阵的高次幂有哪些常用的方法？答：求方阵的高次幂的常用方法有 利用数学归纳法（找“规律”法）； “二项展开式”法：分解，且，利用二项展开公式. 当时，其中均为矩阵，利用矩阵乘法的结合律 . “方阵的对角化”法：利用相似对角化，即求可逆矩阵，使得，则. 可将大矩阵的运算化为小矩阵的运算，从而使运算条理化； 可为某些命题的证明提供方法。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组4

25、初等变换有哪些应用？ 答： 求矩阵的秩； 求逆矩阵； 解线性方程组。5求一个可逆矩阵的逆矩阵有哪些常用的方法？ 答：求一个可逆矩阵的逆矩阵的常用方法有 利用定义求逆矩阵，即若（或），则. 利用伴随矩阵求逆矩阵，即. 利用分块对角矩阵求逆矩阵。即；. 其中均可逆。 利用初等行变换求逆矩阵，即.这是求逆矩阵最常用的方法。7用初等行变换法求解线性方程组的主要步骤是什么？ 答： 对于非齐次线性方程组，将增广矩阵用初等行变换化为行阶梯形；从的行阶梯形可同时看出和. 若，则方程组无解。 若，则进一步把化成行最简形。而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵化成行最简形。 设，把行最简形中个非零行的非零首元所对应的

26、未知数取作非自由未知数，其余个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于，由（或）的行最简形，即可写出含个参数的通解。注 只能用初等行变换对增广矩阵（或系数矩阵）进行化简，如果用初等列变换化简，则不能保证变换前后的两个方程组同解。第四章 向量组的线性相关性4矩阵的初等行（列）变换有哪些，它有什么重要应用？ 答：矩阵的初等行（列）变换有 对调两行（列）； 用非零数乘矩阵的某一行（列）的所有元素； 把某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上去。 矩阵的初等行（列）变换可用于： 求逆矩阵； 化矩阵为行阶梯形、行最简形； 求矩阵的秩； 解线性方程组。5向量组的最大无关组有什么重要意义？ 答：设是

27、维向量组的一个最大无关组，那么与生俱来的良好性质是： ，且所含向量个数； 组与组等价，从而有； 在所有与组等价的向量组中，组所含向量个数最少。 这样用组来“代表”组是最佳不过了。特别，当组为无限向量组时，就能用有限向量组来“代表”；凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去。6求向量组的最大无关组有哪些方法？ 答：通常有如下方法 根据定义求； 初等行变换法，即以所给向量组为列向量构成矩阵，对矩阵进行初等行变换，直到能看看出变换矩阵中列向量组的一个最大无关组为止。此最大无关组所对应的原向量组的列向量组就是所求的一个最大无关组； 最高阶非零子式法 以所给向量组

28、为列向量构成矩阵，若的最高阶非零子式为，则所在的列（行）即为的列（行）向量组的一个最大无关组。7证明或判断一个向量组线性相关或线性无关的常用方法有哪些？ 答：以下均是判别线性相关的充要条件 定义 线性相关可以找到不全为的数，使得. 否则, 是线性无关的。 齐次线性方程组法 向量组线性相（无）关齐次线性方程组有非零解（只有零解）. 矩阵秩法 向量组线性无（相）关. 最大无关组法 线性无关的最大无关组为其自身. 表出法 线性相关中至少有一个向量可由其余向量线性表示。线性无关中任一向量都不能由其余的向量线性表示。 反证法 线性相关不线性无关8求矩阵的秩有几种方法？答：求矩阵的秩有以下几种方法 定义法

29、：求矩阵非零子式的最高阶数就得到矩阵的秩。 初等行变换法：利用初等行变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数即为该矩阵的秩。 利用矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩。9矩阵的秩有哪些重要性质？答：矩阵秩的重要性质有 ； ； 若，则； 若可逆，则； ；特别地，当为列向量时，有； ； ； 若，则. 设是阶矩阵的伴随矩阵，则.10矩阵的秩有哪些主要应用？答：矩阵的秩有以下几个方面的应用 判断方阵是否可逆； 判断向量组的线性相关性； 讨论线性方程组解的情况及解的结构。12齐次线性方程组的通解结构是什么？答：齐次线性方程组解的性质、通解如下 （1）解的性质 如果是的

30、解，则也是的解。 如果是的解，则也是的解。 根据上述性质及向量空间定义可知，齐次线性方程组的全部解向量集合构成一个向量空间，称之为解空间，基础解系即为解空间的基。 （2）解的存在性及通解 易知一定有零解。因此，在任何情况下一定有解。 当（未知量的个数）时，方程组只有零解（或有唯一解）。 当时，方程组有无穷解（或有非零解）。此时，方程组有个自由未知量，基础解系包含个解向量，其通解为：。其中为任意实数，为基础解系。 特别地，当为方阵时，方程组有非零解的充要条件是.13非齐次线性方程组的通解结构是什么？ 答：非齐次线性方程组解的性质、通解如下 （1）解的性质 如果是的解，则是对应的齐次线性方程组的解

31、； 如果是的解，是对应的齐次线性方程组的解，则是的解。 根据以上两个性质可知，非齐次线性方程组全部解的集合不构成一个向量空间，因此，非齐次线性方程组不存在基础解系。 （2）解的存在性及通解 非齐次线性方程组不是在任何情况下都有解，方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即，. 在方程组有解时，称方程组是相容的，否则称为不相容。 当（为未知量的个数）时，方程组有唯一解，其解可由克莱姆法则求出。 当时，方程组有无穷多组解。其通解形式为.其中是方程组的一个特解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意实数。 当为方阵时，方程组有唯一解的充要条件是.第五章 相似矩阵及二次型2矩阵的特征值有

32、哪些主要性质？答：矩阵的特征值有以下性质 矩阵的迹； 阶矩阵的行列式； 设为方阵的特征值，则分别为的特征值（其中均为常数，）. 一般地，若是的特征值，则是的特征值. （其中，）.3如何求方阵的特征值与特征向量？ 答：1）如果方阵是“数值型”矩阵，即矩阵中元素全为常量的矩阵，则求此类型矩阵的特征值、特征向量的基本方法是： 求特征方程的全部根，即的全部特征值。 对于的每一个特征值，求齐次线性方程组的一个基础解系，那么该基础解系的所有非零线性组合就是对应于的全部特征向量。 2）如果方阵是“抽象型”矩阵，即矩阵的元素没有具体给出的矩阵。求此类型矩阵的特征值、特征向量的基本方法是： 利用定义式，满足关系

33、式的为的特征值，为对应于的一个特征向量。 利用特征方程求，进而求对应的特征向量。5阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是什么？ 答：阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。6判断矩阵是否可对角化的基本方法有哪些？ 答：常有如下四种方法 判断是否为实对称矩阵，若是则一定可对角化。 求的特征值，若个特征值互异，则一定可对角化。 求的特征向量, 若有个线性无关的特征向量, 则可对角化,否则不可对角化. 方阵可对角化的充分必要条件是的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。 注 一般来说，方法、常用，且中的条件仅仅是充分的。9已知阶方阵可对角化，如何求可逆矩阵，使得

34、？ 答：当阶方阵可对角化时，求可逆矩阵的具体步骤是 求出的全部特征值； 对每个，求齐次方程组的基础解系，得个线性无关的特征向量； 令, 则,其中为对应的特征值。10实对称矩阵正交相似对角化的步骤是什么？ 答：若为阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵，使为对角矩阵。并可按以下步骤求出正交矩阵 求出方阵的全部特征值，其中重数分别为； 对每一个，求出齐次方程组的基础解系； 将正交单位化（若，则只须单位化）得正交单位特征向量组； 令, 则,其中是特征向量所对应的特征值。11化实二次型为标准形的常用方法有哪些？ 答： 配方法； 正交变换法。12用正交变换化二次型为标准形的主要步骤是什么？答：用正交变换化二次

35、型为标准形的主要步骤是 写出二次型的矩阵. 注意对非平方项的系数应取其一半作为； 求出的全部特征值； 解方程组，求出个线性无关的特征向量； 将先正交化再单位化，便得到个两两正交的单位向量； 以为列向量构成正交矩阵, 则二次型通过正交变换可化为标准形.13如何判别二次型的正定性？答：判别二次型正定性的方法通常有 用定义； 的标准形中的个系数全为正； 对称矩阵的特征值全大于零； 对称矩阵的各阶顺序主子式全大于零； 正惯性指标； ，其中是可逆矩阵。概率论与数理统计主要内容与方法问答题集锦概率论与数理统计研究的对象是什么？ 答：概率论与数理统计研究的对象是随机问题。概率与数理统计研究的主要内容是什么？

36、 答：概率论与数理统计研究的主要内容是随机变量理论。概率论与数理统计的主要任务是什么？ 答：概率论与数理统计的主要任务是从数量侧面研究和揭示随机现象的统计规律性。第一章 概率论的基本概念3事件之间有几种关系？ 答：事件之间有四种关系包含，相等，互斥（或互不相容）和对立（或互为逆事件）.4事件间有几种运算？ 答：事件间有三种运算和（或并），积（或交），差。8什么是古典概型？如何计算古典概型中事件的概率？答：具有以下两个特点的试验，称为古典概型（或等可能概型） 试验的样本空间只包含有限个元素，即； 每个基本事件发生的可能性相同，即.若要计算古典概型中事件的发生的概率，须先确定试验的样本空间中基本事

37、件总数，再计算导致事件发生的基本事件个数（即包含的基本事件个数），从而在古典概型中事件发生的概率为.9计算概率的常用公式有哪些？答：计算概率的常用公式有（1）古典概型中事件概率的计算公式 .（2）几何概型中事件概率的计算公式 .（3）若是两两互斥的事件，则.（4）逆事件的概率计算公式 .（5）加法公式 对于任意事件和，有. 推广 . .（6）条件概率计算公式 ，.（7）乘法公式 设，则. 设为事件，且，则. 设为个事件，且，则.（8）全概率公式 .（9）贝叶斯（Bayes）公式 ，.（10）若独立，则.（11）相互独立事件至少发生一个的概率计算公式.（12）二项概率公式 .11如何使用全概率公

38、式和贝叶斯公式? 答: 关于全概率公式应注意以下几点 全概率公式形式上是概率加法公式和乘法公式的综合; 全概率公式中体现的思想是分解，即把复杂事件分解成简单事件之和的形式： . 上面所述是复杂事件，主要指求的概率比较困难；而称是简单事件，是指的概率容易求，即常常是容易求得的。 使用全概率公式的问题，一般都有二个层次：第一个层次是原因事件，第二个层次是结果事件，在全概率公式中，诸便是原因事件，是结果事件。全概率公式处理的问题一般都是“由原因索结果”的问题。贝叶斯公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的情况下，求导致结果的某种原因的可能性大小。比如求，当（常用全概率公式计算

39、），较易求得时，就要用贝叶斯公式，处理的问题恰好是“由结果追原因的”。明白了这一点使用全概率公式和贝叶斯公式就容易多了。第二章 随机变量及其分布3概率密度函数有哪些性质？答：概率密度函数有以下性质 ； ； 对于任意实数，有； 若在点处连续，则有； 连续型随机变量取某一数值的概率为，即. 其中性质与是概率密度函数的特征性质。若某函数满足这两条特征性质，则一定是某个连续型随机变量的概率密度。5 为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？ 答：主要表现在三个方面 正态分布有极其广泛的实际背景。在客观实际中有许多随机变量，它是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个个别因素在总的影响中

40、所起的作用都是微小的，如:在任一指定时刻，一个城市的耗油量是大量用户耗油量的总和；一个实验的测量误差是许多观察不到的、可加的微小误差所合成的，它们都服从或近似服从正态分布。 有些分布（如二项分布）的极限分布是正态分布。 有些分布（如分布、分布）又可以通过正态分布导出。所以，无论在实际中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布。6常见随机变量的概率分布有哪些？ 答：常见的离散型随机变量的概率分布主要有 分布 设随机变量只可能取与两个值，它的分布律是，. 二项分布 设表示重伯努利试验中事件发生的次数，. 随机变量的分布律为,.记作. 泊松分布 设随机变量的所有可能取值为，它的分布律是 ，

41、.其中是常数，记为（或）.其中，二项分布是非常重要的一种分布，特别当时二项分布化成分布；当时，二项分布以泊松分布为极限分布。 常见的连续型随机变量的概率分布主要有 均匀分布 随机变量概率密度函数为：，记为. 其分布函数为 指数分布 随机变量概率密度函数为：.其分布函数为 . 正态分布 随机变量具有概率密度：，.记为. 其分布函数为，.特别，当时，称服从标准正态分布，即.第三章 多维随机变量及其分布1如何判定一个二元函数是某个随机变量的概率密度？答：若二元函数具有以下两条特征性质； .则二元函数一定是某个二维随机变量的概率密度函数。3如何由联合分布确定两个边缘分布？ 答：二维随机变量作为一个整体

42、，具有分布函数，而和都是随机变量，设它们的分布函数分别为，则有，. 对于离散型随机变量，设的分布律为，则关于和关于的边缘分布律分别为，.，. 对于连续型随机变量，设它的概率密度为，则关于，关于的边缘概率密度分别为，.5怎样判别随机变量与相互独立？ 答：设及，分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数，若对于所有的有，即，则随机变量和是相互独立的。 当是离散型随机变量时，和是相互独立的条件可化为：对于的所有可能取的值，有； 当是连续型随机变量时, ，分别的概率密度和边缘概率密度，则和是相互独立的条件可化为：对一切的，总有.第四章 随机变量的数字特征1随机变量的数字特征有哪些？ 答：随机变量数字特

43、征有：数学期望、方差、矩、协方差、相关系数。2随机变量的分布与数字特征有何关系？ 答：随机变量的分布完全确定数字特征，反之则不然。4数学期望有哪些性质？ 答：数学期望具有几个重要性质（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）. 设是常数，则有. 设是一个随机变量，是常数，则有. 设是两个随机变量，则有. 推广 设是个随机变量，是常数，则有. 设是两个相互独立的随机变量，则有. 推广 设是个相互独立的随机变量，则有.5方差有哪些性质？ 答：方差具有以下重要性质（设所遇到的随机变量其方差存在）. 设是常数，则有. 设是随机变量，是常数，则有. 设是两个随机变量，则有 . 特别，若相互独立，则有. 推

44、广 设是个相互独立的随机变量，是常数，则有. 的充要条件是以概率取常数，即. 显然，这里.6 常用分布的期望、方差是什么？ 答： 分布： 二项分布： 泊松分布： 均匀分布： 指数分布： 正态分布：第五章 大数定律及中心极限定理1大数定律说明什么问题？ 答：在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时，也看到在进行大量独立重复试验时，“平均值”也具有稳定性。大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。2中心极限定理的意义是什么？ 答：中心极限定理是阐明有些即使原来并不服从正态

45、分布的一些独立的随机变量，它们的总和的分布渐近地服从正态分布。一般来说，这些随机变量受到大量独立的因素中每项因素的影响是均匀的，微小的没有一项因素起特别突出的影响。那么就可以断言，这些随机变量的和的分布，近似于正态分布。第六章 样本及抽样分布2.常用的统计量有哪些？ 答：常用的统计量有 样本均值 ； 样本方差 ； 样本阶原点矩 ，； 样本阶中心矩 .3正态总体的某些常用抽样分布有哪些？答：设总体，为来自总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则有 ； ； ； .4.分布、分布、分布及正态分布之间有哪些常见的关系？ 答： 正态分布与分布：设随机变量独立且同服从正态分布，则. 正态分布，分布与分布

46、：如果随机变量，且、相互独立，则. 分布与分布：如果，且、相互独立，则. 分布与分布：如果，且、相互独立，则. 分布与分布：若，则. 分布与分布：若，则.第七章 参数估计1常用的点估计法有哪些？答：在参数估计中，常用的点估计方法有三种：顺序统计量法、矩估计法、极大似然估计法。2矩估计法的步骤是什么？答：设为来自总体的一个样本，为总体分布中的两个未知参数，用矩估计法估计未知参数的做法是 求出总体的一阶原点矩及二阶原点矩，与的表达式中含有参数； 求出样本的一阶原点矩及二阶原点矩； 令，这是一个含有两个未知量两个方程的方程组，解之可得的矩估计。3极大似然估计法的步骤是什么？答：设为来自总体的一个样本

47、，为总体分布中的未知参数，则求参数的极大似然估计的步骤为： 求出似然函数； 列出似然方程或对数似然方程； 求解似然方程，得出的极大似然估计值为.6评价估计量好坏的常用标准是什么？答：评价估计量好坏的常用标准是无偏性，有效性，一致性。第八章 假设检验1假设检验的依据是什么？ 答：假设检验的依据是“实际推断原理”，即“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。2假设检验可能产生的两类错误是什么？ 答：第一类错误： 为真但拒绝了，称此类错误为“弃真”； 第二类错误：为假但接受了，称此类错误为“取伪”。3假设检验的一般步骤是什么？答：假设检验的一般步骤是 根据给定问题提出原假设和备择假设； 选取适当的统计量，并在原假设成立的条件下确定其分布； 给定显著性水平，确定检验的拒绝域和接受域； 根据样本观察值计算统计量的观察值； 做出判断。工程数学主要内容与方法问答题集锦编写组成员名单 组长 石月岩 组员 王贺元 朱振广 刘秀娟 徐洪香 徐美进 阚永志 主审 佟绍成XXVIII / 28