“折纸中的几何学”(京教杯入围)——北京101中学邱静

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1、精选优质文档-倾情为你奉上北京市中小学第一届“京教杯”青年教师教学基本功展示活动教学设计“折纸中的几何学”北京市第一一中学年级：初三学科：数学姓名：邱静注： 本课例是“北京教育学院教师教育数理学院2016年教师培训项目协同创新”的首批示范课例，指导教师：王建明； 也是市级规划课题“基于创新能力培养的数学实验教学研究”的示范课例.【整体说明】：邱静老师的“折纸中的几何学”一节课，是对整体把握数学课程（UMC）的一次非常有意义的尝试，是一次实践活动课的新理解，是一次数学核心素养的初中数学教学中的很好落实。 一、本节课的学科主要特点 1. 本节课清晰地理解“折纸几何学”与“欧式几何学”的异同。折纸几

2、何继承了欧式几何的所有公理，同时又利用折纸的具体操作，扩大了欧式几何的公理体系，特别是折纸几何学中可以解决三次多项式方程的根。本节课的三等点是折纸几何学与欧式几何学尺规作图的共同部分。 2. 本节课通过在一个正方形的纸片折出“三等分”点，展现了经验几何、综合几何与几何代数化（方程与函数用于几何的研究）的基本过程，体现了学科知识内容的纵向发展与横向联系。 二、本节课的学生学习特点 1. 学生的初次折纸（三等分点）往往都是依据直观经验，在尝试中寻找正方形纸片边缘的三等分点。这个学习过程与经验几何的发展历史是及其相似的。经验几何与经验数学也是许多数学学习的开始。 2. 初中学生对欧式几何公理化体系与

3、公理化思想，已经初步掌握。在学生实践活动中或实践活动后，有些学生开始做出理性的思考：如何用欧式几何的公理体系，论证三分点的存在，如何用尺规作图的方法“折出”三等分点。这个过程就是欧式几何公理化思想运用的学习。 3. 当正方形纸片边缘的二分点与三分点都已经折出（或尺规作图）得到后，寻求正方形纸片相邻边缘的x分点与y分点，就是几何代数化的学习。 以上的三个阶段，学生的发现问题、提出问题及解决问题的策略在不断发展，学生的一次折纸活动就如一次几何学发展历史的浓缩版。 三、本节课的数学核心素养 六个数学核心素养，在本节课中主要体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模与直观想象。 1. 在学生第一次折出三等分点

4、的学习中，首先是经验与直观想象在发挥作用。 2. 直观想象之后的学习，学生依据欧式几何公里体系，把折纸抽象为正方形的一条边的三等分点，是建立在几何抽象与几何论证基础上的。 3. 在把二等分与三等分的情况，做一般化推广后，数学模型就成为了必然的选择方程与函数成为了解决一般问题的基本模型。本节课的具体模型xy+x+y=1,实际上是一条双曲线，对未来学生高中阶段的函数学习提供直观基础。王建明教授授课题目折纸中的几何学使用教材人教版九年级（上）授课年级初三设计思路1. 选择“数学实验”的原因：第一，在200万年的发展中，可以说人类是通过动手活动积累经验，再有逻辑推理；对学生来说，虽然学习的几乎都是现成

5、的、理性思维的内容，但是还应该有动手操作活动，这不仅符合课标要求，而且与人类学观点“个人的发展和人类的发展是自相似的”保持一致.第二，作为北京市课题“基于创新能力培养的数学实验教学研究”的核心成员，进行过数学实验的思考、尝试，更将对数学实验的探索和实践作为自己的专业特色发展方向；2. 选择“折纸活动”的原因：第一，折纸门槛低，操作方便，覆盖面广，第二，折纸有完整的公理体系保证，第三，期望像著名数学教育家波利亚所说的“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完成的领域.”；3. “三条线的设计”：第一，知识技能方面：引导学生折纸得

6、到边的三等分的三种方法，并感受数学实验“思行结合”的特点；第二，通过折纸活动，初步感受几何学的几个发展阶段（经验几何、综合几何、解析几何、变换几何等），从多角度认识几何学的价值和多样性；第三，在观察、思考过程中发现问题、提出问题，分析问题，解决问题，切实培养创新意识.学情分析1. 学生接触过数学实验（如剪纸折纸，制作模型等），但动手机会不多，动手能力不足，而且抽象思维还需加强，对数学思想方法的体会还不够深刻；2. 虽然重点学习“古典几何”、“几何变换”，也经历“几何问题代数化”的过程，但没有较系统地了解几何学以及数学史的发展阶段，也没有细致体会过其中的了不起的思想和价值，对学科的崇拜、敬畏之心

7、还须通过亲身感受来建立.教法分析为了体现数学实验的特色，教学中让学生独立思考、充分操作；当学生思维有障碍时，教师适时采用“启发式”问题教学法，在学生发现问题之处，适当点拨，并且进行提出问题的角度的指导，使教师一直站在学生思维的最近发展区上.学法分析1. 学生利用已有的几何知识、代数知识、动手活动经验等作为研究新问题的基础，探究正方形的边的三等分点，由此学生不仅会对三等分的构造有了一个新的认识，而且期待他们对折纸问题甚至数学实验操作活动有整体的认识和把握；2. 课堂上多次创造机会让学生发现问题、提出问题、分析问题，最终解决问题；3. 在今后的学习中，相信学生会更加注重几何图形之间的关系以及与代数

8、化解决问题的联系，认清几何和代数的统一性和多样性，扩宽思路，促进发散思维.教学目标1. 探究正方形的边的三等分点的折纸方法；体会折纸等数学实验中“思行结合”的学习方式；2. 了解几何学的几个发展阶段及其特点，简单了解其中数学史的内容；3. 培养学生发现、提出、分析、解决问题的能力；了解提问题的角度等；4. 培养学生动手操作、推理、建模、表达及独立思考、合作交流等能力与精神； 教学重点1. 通过折正方形的边的三等分点，让学生了解几何学的几个发展阶段及其特点；2. 在折纸过程中，让学生经历发现、提出、分析、解决问题的过程，并培养他们的创新意识和能力；教学难点1. 正方形的边的三等分点的推理和构造过

9、程；2. 几何问题代数化的过程；3. 理解几何学几个发展阶段之间的关系，特别是折纸几何学与欧氏几何学的关系（折纸与尺规作图的关系）.主要流程【环节1】问题引入【环节2】推理操作【环节3】课堂小结方法一：不断尝试方法二：综合推理方法三：代数计算【环节4】作业布置在长达数千年的人类历史长河中，可以说，几何史就是数学史、人类文明史的缩影，无论是思想观念的更新，亦是科学理论的创立，几何学都扮演了开路先锋的角色；那么几何学的发展主要经历了哪些阶段？代表人物和伟大的思想分别是什么？这节课，我们就通过折纸活动初步体会一下：一. 环节一：问题引入1. 【问题1】：对于一张正方形纸片，折叠一次，你最常见的操作是

10、什么？（用两张纸） 学生（预设）：如图1、2，对折，使相邻顶点重合，得到一个矩形；对折，使得不相邻顶点重合，得到一个等腰直角三角形；图1 图22. 【问题2】：这些操作的数学原理是什么呢？ 学生（预设）：正方形具有对称性.3. 教师肯定学生的回答，并提问，【问题3】对这两种操作，从局部看，我们分别将边和直角进行了一种分割，分别是什么呢？ 学生（预设）：边的二等分，直角的二等分.设计意图：从问题1到问题3，从学生熟悉的内容入手，一方面复习折纸的基本操作，另一方面引导学生将问题数学化；第三方面，为接下来学生提出问题，解决问题创设空间.4. 【问题4】：我们容易分别将线段和直角二等分，你还想进行哪些

11、操作呢？ 学生（预设）：(1) 分别将边、直角三等分，四等分，五等分，黄金分割(2) 分别将任意线段、任意角二等分，三等分(3) 得到更丰富的封闭图形：等边三角形，等腰三角形，平行四边形，梯形(4) 教师总结：大家的想法非常丰富，事实上，在原有结论和成果的基础上提出问题的常见角度：改变数量、改变位置、改变研究对象、改变运动的轨迹、状态、速度等 教师指导：按照“由易到难”的顺序，这节课，我们主要研究边的三等分点，希望学到的技能，体会到的思想能够帮助你解决你们提出来的其他问题. 设计意图：数学实验的设计主要注意两点：不能为了突出数学的逻辑性而忽略学生的差异性，也不能为了显示实践性而人为剔除数学的思

12、维性.通过提出问题，分析问题，教师给出提问题常见角度的指导，学生不仅有了研究的兴趣，条理和方向，更重要的是在充分发挥自由想象和挖掘自己潜力的情况下，不知不觉中形成一种独立思考的习惯.二. 环节二：推理操作(一) 方法一：不断尝试【问题1】请大家回忆，你曾经将正方形的边三等分的方法是什么？（用第三张纸操作） 学生（预设）：先将纸卷起，形成三层，再不断调整，当认为调整到位时，再将纸折平，得到边的三等分点. 教师鼓励：这种方法的优点是直观，快速，应用性强，缺点是近似，不精确.而且这种折法再现了几何发展第一个阶段经验几何阶段，人们通过经验的积累产生了对几何事物的简单阐述.设计意图一方面给这种方法一个明

13、确的定位虽不精确但快速，应用广泛；另一方面，给出“经验几何”的一个例子，为介绍几何学的发展历程做好铺垫；第三，刺激学生开动脑筋寻求精确的折法.【问题2】请同学们想一想，如何运用你的数学知识得到三等分点？(二) 方法二：综合推理1. 第一步，将问题数学化： 教师引导学生将文字语言“三等分点”转化为图形语言和符号语言，如图3：设计意图：学生的难点在于“不清楚已知和求证”，因此教师就此追问已知和求作分别是什么； 教师总结：三种语言相辅相成，各有优势：文字语言是母语，最为亲切，便于叙述和记忆；图形语言直观、生动，有利于引发形象记忆；符号语言的运用，使复杂的数学推理成为可能，理性思维的基本品质之一是善于

14、使用符号语言；图32. 第二步，通过图形和符号推理：【问题3】如何利用符号和图形进行推理呢？（注：若学生反映不理想，教师可进行如下的启发，但尽量让学生思考和表达.）【问题】分子、分母谁更容易转化？如何转化？ 学生（预设）：利用矩形对边相等，即BC=AD，比例式转化为，设计意图：这里省略了整体转化面积等思路，目的是为了给第三种方法留出时间.【问题】如何得到这个比例式？（教师可以提示观察这两条线段的位置关系平行，因此构造“叉形图”，证明相似.） 学生（预设）：如图4，连接AC，BM，容易证明AMHCBH，再构造，或者； 【问题】哪个比例式容易构造？（教师提示学生观察线段所在的长线段的位置） 学生（

15、预设）：第二个，前者出现在线段BM上，后者出现在线段AC上.【问题】如何得到？（教师引导观察两条线段的位置共线，首尾相接） 学生（预设）：如图5，将转化为，即构造对角线的四等分点，通过构造两次线段中点即可.图4 图5设计意图：因为有一定的操作难度，因此有些数学实验会使学生陷入操作细节中，而不是对整个实验进行数学思考，不利于抓住试实验的关键点.要改变这种局面，可以在学生实验之初，教师提出围绕目标的关键问题，激发学生对实验的整体思考，突出实验的整体思维价值，这样才能使实验变得有章可循学生在折三等分点时必须先思考：比例如何得到，如何转化，如何将三等分转化为四等分，如何折四等分这实际上是研究三等分点的

16、一个“递进序列”（如图），以此形成环环相扣的操作程序，更是培养学生逆向思维的良好机会，“整体设计”可有效提升实验的思维水平.3. 第三步，动手操作、总结提升、数学史话： 教师指导：接下来我们将刚才分析的过程逆向进行，就能得到操作过程，请大家先独立完成，再在小组内展示交流.（第四张纸）设计意图无论是现场启发还是小组讨论，亦或翻转课堂等形式，学生首先要独立思考，只有独立思考才可能产生见解，有见解才可能有交流的愿望，并可能又激起新的思考；这不仅是学习数学本身的需要，也是培养有独立见解、勇于创新人才的需要. 教师总结并板书： 对于边的三等分，我们经历了从无到有“研究问题”的过程从寻常的二等分问题中发现

17、可继续探究的问题，再明确提出探究边的三等分问题，之后分析有几种方法解决问题，最后通过折纸得到边的三等分点，即解决问题，这就是一个完整的序列和顺序；发现问题猜测提出问题分析问题解决问题 其中，分析问题过程中，用到的思考方法和知识基础都源于公元前3世纪古希腊的欧几里得建立的“公理体系”，从那时开始，几何学进入“综合几何”时代； 最后，解决问题过程中，折纸得到边的三等分点，又不同于折千纸鹤等按照步骤操作，而是有思考有推理的，事实上，折纸等数学实验通常推理和实践相互交织，是一种“思行结合”的学习方式；【问题4】我们再来研究问题，平面几何中很重要的部分是几何变换，从变换的角度，请观察分别得到边的二等分、

18、三等分的图形，你有什么发现？（若学生反映不好，可追问“分别通过哪种变换得到的？”） 学生（预设）：分别是轴对称变换、位似变换. 图6 图7 教师指导：折纸活动蕴含几何变换的内容.事实上，这种折法透漏出一点“变换几何”的味道，这是19世纪末，德国数学家克莱因创建的，它不仅使我们看到几何学的一种新形象，更重要的是几何学中“对变换的研究”竟然推动了“代数学”的发展. 提问：从刚刚老师介绍的数学史的内容上，你能发现什么问题？ 学生（预设）：从公元前3世纪一直到19世纪，2000多年的时间跨度中，几何的发展又经历了哪些重要阶段呢？ 教师引导：事实上，在17世纪，有一位哲学家，数学家，对于平面内的线、图形

19、等，竟然用方程或者函数表示出来，那他是谁呢？他天才的设想是什么呢？几何学带来怎样的发展呢？我们通过下面的折纸活动切身感受一下； 经验几何古典几何？变换几何（动手实验：如测量、试验等）古希腊欧几里得的几何原本公元前3世纪德国克莱因19世纪经验的积累建立公理体系“变换群”的思想设计意图：本节课让学生重点体会经验几何、综合几何、几何代数化这三种重要阶段，变换几何只简单介绍，目的是试图较为全面地展示几何学的发展阶段而已.(三) 方法三：代数计算说明：对于方法三，不是直接进行代数计算，而是让学生经历以上五个步骤，在几何问题代数化的过程中，解决三等分问题，再普遍联系体会图形、方程、函数的统一性，最后拓展提

20、升感受几何问题代数化的强大功能.求解证明联系拓展第一步、猜测在探索操作中发现有价值的结果：【问题1】刚才我们折出了正方形的边的二等分点与三等分点，现在让这些三个分点出现在一个正方形中，如图8，你能提出什么问题？图8 学生（预设）：能否利用它们得到的更多的图形？ 若学生反应不佳，教师可提示其类比“边的三等分点”的分析方法分析已知和求作；已知是什么？（如图8，正方形、中点E，三等分点F，H）；如何利用已知？（两点就可以连线，就可以当作折痕，就可以翻折操作）；求作什么？（得到有价值的图形，即直观清晰美观的图通常可能会有有价值的结果）. 学生（预设）：如图9，10，11，12，分别是折叠一次，两次，三

21、次的结果：图9图10 图11 图121) 折两次的学生甲：两次折叠会重合，研究意义不大；2) 折两次的学生乙：发现AB沿AE折叠后与AD沿AF折叠后在正方形内部重合；3) 折两次的学生丙：能折出一个直角；4) 折三次的学生丁：能折两个直角；5) 折三次的学生戊；能折出另一边的三等分点；6) 折三次的学生己；也能折出另一边的三等分点；7) 教师待乙叙述后鼓励并点拨：第一、本节课只研究学生乙的发现，其他结果请同学们课下研究；第二、对于学生乙的发现（“两条线段重合”），既可通过“经验几何”来实现，又可通过“综合几何”来证明，我们暂且将证明放下，来思考一个更为深入的问题：第二步、求解用“代数的”方法将

22、求解一般化的结果：【问题2】你能将问题一般化吗？（若回答不出，则直接问“改为其他分点，若还能重合，两个分点要满足什么关系？”） 学生（预设）：将问题一般化为：若E、F不是二等分点也不是三等分点，它们满足什么条件时，折叠之后还能使得AB和AD在正方形内部重合？ 教师带领学生分析“分点”的符号语言以及具体转化方法，即在将边长设为1的基础上，设还是更简便； 学生（预设）如图13，设正方形边长为1，BE=x，DF=y，在RtECF中，利用勾股定理得：，整理得：，整理得：；第三步、证明通过代入一组特殊值，解决三等分问题：【问题3】借助函数关系，您能解决刚才那个“重合”的问题吗？ 学生（预设）：如图14，

23、当时，即当点E是二等分点时，F是DC的一个三等分点.图13 图14 教师介绍几个重要内容：(1) 这种折法在折纸领域的地位：实际上，在二等分点基础上得到三等分点，这是“芳贺和夫”发现的折法（“芳贺折纸第一定理”），此外还有第二、第三定理，请同学们课下先查阅资料，再动手操作；(2) 几何问题代数化的理解及其意义：这种方法有别于“纯几何推理”，通过建立方程、构造函数、代入数值计算得到；这是“几何问题代数化”的典型做法，也是解析几何的主要思想这种想法这是法国数学家笛卡尔在17世纪创建的，他的伟大之处在于不仅为几何学带来了新的发展，而且揭示数学的内在统一性. 【问题4】此后，几何学又经历了怎样的发展？

24、请大家课下查阅资料，让大咖们智慧之光照耀我们学习的道路. 设计意图 教师提示学生思考几何学的发展阶段，尽量展示几何学的发展的连贯性.经验几何古典几何解析几何变换几何近现代几何学（动手实验：如测量、试验等）欧几里得（古希腊）几何原本公元前3世纪笛卡尔（法）17世纪克莱因（德）19世纪末？经验的积累建立公理体系几何问题代数化“变换群”的思想第四步，联系通过比较两组对应值的关系，将显性的图形对称性，以及隐性的方程、函数的对称性挖掘出来，并相互对应，揭示数、形的内在统一性：【问题5】对于这个图形和函数关系，你还能提出哪些问题？ 学生（预设）：如图15，当时，即当点E是三等分点时，能得到F是DC的一个二

25、等分点.图15【问题6】这是通过函数“代值”得到的结果，你能从其他角度解释这种神奇的关系吗？ 学生（预设）：从图形的角度看，正方形具有轴对称性，AC所在的直线是正方形的对称轴； 教师可以引导学生观察方程，教师点拨：此外，从两个分点满足的方程也能看出“对称”，左边的代数式是“对称式”任意交换两个元的位置，多项式不变，这是数与形的统一，数与形的结合.【问题7】请同学们大胆想象，利用方程得到的函数是否也具有对称性呢？ 学生（预设）：，可发现该函数是双曲线向左、向下平移1个单位得到的，所以和有相同的对称轴。 此时教师展示几何画板图形中的函数图像，以及其中一条对称轴如图16，利用对称性可知，点与点都在函

26、数图像上，从函数具有对称性的角度给出了解释.图16设计意图 ：第一，向笛卡尔致敬：笛卡尔的伟大之处是将形（包括点、线、面）和“数”两个对立的对象统一起来，建立图形和方程、函数的对应关系，这个材料就是难得的好例子让学生体会数形结合：“对称性”不仅是“形的”，直观的，而且是“数的”，精确的既蕴含在方程的“对称式”中，又体现在函数的两次对应值中；第二，向阿蒂亚致敬：阿蒂亚在数学的统一性中概括说：在数学中，几何是“视觉思维”占主导地位，而代数则是“有序思维”占主导地位，这种区分也许可以用另一对词刻画，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中起着本质的作用.我们的目标是培养学生发展这两种思维模式，过

27、分强调一种而损害另一种是错误的.几何并不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式，他渗入数学的所有分支.第五步，拓展让学生体会几何问题代数化的强大功能：【问题8】继续刚才的研究方法，你还想研究哪些问题？ 学生（预设）：如图17，当时，即由三等分能得到五等分点；如图18，时，即由四等分能得到五等分点；如图19，时，即由四等分能得到七等分点；图17 图18 图19教师提示：通过函数，我们可以得到更为一般而且更为丰富的结果，这些都是几何问题代数化的强大之处.设计意图：思维训练是本节课的第三条线，通常来说，发现问题的价值高于解决问题：先将具体的二、三等分一般化为等分点，直接上升到用数学解决问题，让学生从

28、计算中脱身出来，将精力放在思维层面；再建立函数，清晰明了地表示两者；最后将二、三等分作为函数的一对对应值出现，通过函数的对应关系给出更多的分点关系，既解决了操作中的疑惑，又体现了几何问题代数化的过程和强大，也是从操作发现问题解决问题，从特殊一般特殊的研究尝试.三. 环节三、课堂小结如何总结一节课的收获呢？1. 知识技能：折正方形一边三等分点的几种方法等；2. 思想方法：函数方程思想，数形结合等；研究问题方法：由易到难等；3. 学习形式：折纸（数学实验），数学实验的特点直观，操作性强，推理和操作相互交织，思行结合；4. 问题是数学的心脏！哈尔斯（美）！对于问题，研究顺序是什么呢？发现问题提出问题

29、分析问题解决问题； 其中前两个环节最为重要，“提出一个问题往往比解决一个问题更有价值，因为前者包含更多的想象力和创造力！（爱因斯坦）”. 提出问题的常见角度有改变数量、改变位置、改变对象、改变运动轨迹、状态、速度等；5. 数学史话： 几何发展史： 经验几何古典几何解析几何变换几何近现代几何学（动手实验：如测量、试验等）欧几里得（古希腊）几何原本公元前3世纪笛卡尔（法）17世纪克莱因（德）19世纪末？经验的积累建立公理体系几何问题代数化“变换群”的思想 折纸的发展史：历史总是惊人的相似！数学史也不例外.历史上很多的数学趣题吸引了人们来研究，有的甚至发展出数学新的分支，如：对“尺规作图不可能问题”

30、的研究开创了对的研究等；类似的，折纸也是有趣有内涵的数学问题，比如：藤田文章给出折纸七公理，建立一种比欧式几何学扩大化的折纸几何学，研究发现折纸等同于解三次方程，比能解决二次方程问题的尺规作图更加强大，能实现尺规作图无法完成的任务，如任意角的三等分（如图21）等.图216. 探究？迷惑？比如：继续探究正方形一边的五等分、七等分点，黄金分割点一般角的三等分问题正方形一边三等分点的其他方法（如芳贺折纸三定理等），几何学的发展史和代表性的人物设计意图课后的探索，查阅环节会将本节课的内容向更广阔的空间延续，一方面，学生可依照一定的体系，甚至仅凭自己的兴趣获取不同层面的感受可能是结论再发现的兴奋，可能是问题再解决的愉悦，还可能是新思想的萌动和心悸等等；另一方面，也期望像数学教育家波利亚所说的“一个不难但有趣的问题会开启学习之门.”四. 环节四：作业布置1、 回忆研究“二等分”之后你提出的一系列问题，尝试折出丰富多彩的图形； 2、 查阅资料，掌握另外两种折正方形的边的三等分点的方法；3、 查阅资料，简述几何学的发展历程，举出关键阶段和代表人物；4、 查阅资料，简述折纸与尺规作图的关系，并举例说明.板书设计PPT设计专心-专注-专业