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1、1作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法- 二次函数教学反思马培川最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图 1,过厶ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫厶ABC的“铅垂高（h）” .我们例 1. （2009 深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（一 2, 0）,连结 OA,将线段OA绕原点O 顺时针旋转 120 ，得到线段 O
2、B. （1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点。，使厶 BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不 存在，请说明理由（ 4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么 PAB 是否有最 大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及 FAB 的最大面积；若没有，请说明理由 .解：（1） B （1,3 ）（2）设抛物线的解析式为 y=ax（x+a），代入点 B （1,丽），得a 巫，因此333（3） 如图，抛物线的对称轴是直线 x= 1，当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时， BOC 的周长最
3、小.+k 出设直线 AB 为 y=kx+b.所以广 b V3,解得彳3因此直线 AB 为 yx 十2至，当 x= 1 时，y 二*3,-2k +b =0.|2 亦333b=L 3因此点 C 的坐标为（一 1,.3/3）.（4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D.122X3当 x=-时， PAB 的面积的最大值为 冬 3，此时 P2 8例 2. （2009 益阳）如图 2，抛物线顶点坐标为点C（ 1, 4）,交 x 轴于点 A（3, 0），交 y 轴于点 B.求抛物线和直线 AB 的解析式；（2）点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结 PA, PB,C 时，求厶 CAB
4、 的铅垂高 CD 及SCAB； （3）是否存在一点 P,使 SAPAB=-SA CAB,若存在,8=2S.CAB=1 3 2=3（平方单位）假设存在符合条件的点P,设 P 点的横坐标为PAB 的铅垂高为 h,则93化简8333 15得：4x212x 9二0解得，x将x代入yj - -x22x 3中，解得 P 点坐标为（一，）222 4. 2例 3. （2009 江津）如图，抛物线y H-X - bx c与 x 轴交于 A（1,0）,B（-3, 0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 QAC 的周长最小？若存在，求
5、出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点卩，使厶PBC的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及厶PBC的面积最大值若没有，请说明理由当 P 点运动到顶点求出 P 点的坐标;22912h=y1=2(yD(XB-XA)2x22仝 x .32若不存在，请说明理由因为 C 点坐标为（1,4）所以当 x=l时，yy= 4, y2= 2 所以CD = 4-232 1 b c 0 b =-,解：将 A(1 , 0) , B( 3, 0)代目二-x2bx C中得二_9_3b + c = 05 = 3抛物线解析式为：y = _x2_2x 3(2)存在。理由如下：
6、由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 X = -1 对称y =2(3)答：存在。理由如下:、29卄设 P 点(x, -x -2x 3)(-3：x 0) T S.ppc二S四边形BPCO -SBOC S四边形BPCO一召右S四边形BPCO C 的坐标为： (0 , 3)直线 BC 解析式为：y = x 3Q 点坐标即为 *1的解y = X +3直线 BC 与x - -1的交点即为 Q 点，此时 AQC 周长最小/y = _x2- 2x 3Q( 1 , 2)x = -1亠、1 1有最大值，则SBPC就最大，二S四边形BPCO=SRt BPE S直角梯形PEOCBE PE OE( PE OC) 2
7、 23、22，+927口927S四边形BPCO最大值=二SBPC最大=2 8B2 8.点 P 坐标为(-3,15)4241133=-(x 3)( -X2-2x 3) (-X)(-X2-2x 3 3)=(x )2222-3时，2-3时2时，-x2-2x 39272928274同学们可以做以下练习:1.(2006 浙江湖州)已知如图，矩形 OABC 勺长 OA=J3，宽 OC=1 将厶 AOC 沿 AC 翻折得 APC(1)填空：/ PCB= , P 点坐标为(，);(2)若 P, A 两点在抛物线 y=4x2+bx+c 上，求 b, c 的值，并说明点 C 在此抛物线上；3(3)在(2)中的抛物
8、线 CP 段(不包括 C, P 点)上，是否存在一点 M,使得四边形 MCA 啲面积最大？若存在，求出这个最大值及此时 M 点的坐标；若不存在，请说明理由。2.(湖北省十堰市 2009)如图， 已知抛物线y二ax2 bx 3( a*0)与x轴交于点 A(1, 0)和点 B ( 3, 0),与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点 M，问在对 称轴上是否存在点卩，使厶 CMP 为等腰三角形？若存在， 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由.(3)如图，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积53
9、.（2010 年恩施）如图 11,在平面直角坐标系中， 二次函数y =x2 bx c的图象与 x 轴交于 A、B两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1） 求这个二次函数的表达式./ /（2） 连结 PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP c,那么是否存在点 P,使四边形 POP C为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3） 当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最一2 + J10Q P 点的
10、坐标为(-,_3)226（3）过点 P 作y轴的平行线与BC 交于点 Q,与 OB 交于点 F，设 P （x,x2- 2x - 3）,易得，直线BC的解析式为y = x - 3则 Q 点的坐标为（x, x 3）.S四边形ABPC二S.ABCSBPQS.CPQ=?AB OC -QP OE -QPEB=-4 3-(-X23x) 32 2审+752 83当3 时，四边形ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为3-15，四边形 ABPC 的面积、24丿的最大值为7587225. (2010 绵阳)如图，抛物线 y = ax + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A (- 4, 0)、B (2,
11、 0),与(1 )求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标;(2)在直线 EF 上求一点 H，使 CDH 的周长最小，并求出最小周长;(3)若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积.所以抛物线的解析式为y=_!x2_X4，顶点D的坐标为(一1,-).2 2(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M .因为 EF 垂直平分 BC,即 C 关于直线 EG 的对称点为 B，连结 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点H，使 DH + CH最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD =BM2DM2=3132CDH 的周
12、长最小值为 CD + DR + CH =二242k1b0,3设直线 BD 的解析式为 y = k1x + b，贝 U9解得 k - , b1 = 3.)k1+b1二，2所以直线 BD 的解析式为 y = + 3 .由于 BC = 25, CE = BC / 2 = .5 , Rt CEG COB ,2得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5 , GO = 1.5 .G( 0, 1.5).同理可求得直线 EF 的解析式为 y = 1 x + -.2 2联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使厶 CDH 的周长最小的点 H ( - ,15).481(3)如图所示，设 K (t
13、,112t +4), xFvtvxE .过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N.2则 KN = yK yN = _1 严-t 4 (lt +3)= -t23 5.22 222 2所以 SAEFK = S KFN + S KNE :1=KN (t +3) +丄KN (1 t)=2KN=t2 3t + 5 =:-(t +卫)229+-2224y 轴交于点 C,顶点为 D. E (1, 2)为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于 F、G.16a _4b +4 =0,4a +2b十4 =0,b = - 1.【解析】(1)由题意，得1解得a=-丄，而CD(；-4)28即当 t = 3时， EFK 的面积最大,最大面积为29此时 K (335、 ).2428
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