数学分析9.1定积分概念

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第九章 不定积分1 定积分概念一、问题提出1、曲边梯形的面积：设f为a,b上的连续函数，且f(x)0，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形.在a,b内任取n-1个分点，依次为：a=x0x1x2xn-1xn=b，这些点把a,b分割成n个小区间xi-1,xi, i=1,2,n.而直线x=xi, i=1,2,n-1又将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.在每个xi-1,xi上任取一点i, 作以f(i)为高，xi-1,xi为底的小矩形.当分割a,b的分点足够多，分割得足够细密时，可用这些小矩形的面积近似地替代相应小曲边梯形的面积. 于是，这n

2、个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值，即S(i)xi (xi=xi-xi-1).当和式与某常数无限接近且与xi和i的选取无关时，则把此常数定义为曲边梯形的面积S.2、变力所作的功：质点受变力F的作用沿点a移动到点b，力与运动方向平行，则F=F(x), xa,b为连续函数，此时在很小一段位移区间上F(x)可以近似看作一个常量，把a,b细分为n个小区间xi-1,xi，xi=xi-xi-1, i=1,2,n. 在每个小区间上任取一点i，就有F(x)F(i), xxi-1,xi, i=1,2,n. 于是质点从xi-1位移到xi时，力F所作的功就近似等于F(i)xi, 从而W(i)xi (x

3、i=xi-xi-1).对a,b作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W.注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”.二、定积分的定义定义1：设闭区间a,b内有n-1个点，依次为：a=x0x1x2xn-1xn=b，它们把a,b分成n个小区间i=xi-1,xi, i=1,2,n. 这些分点或这些闭子区间构成对a,b的一个分割，记为：T=x0,x1,xn或0,1,n.i的长度为xi=xi-xi-1, 并记T=xi，称为分割T的模.定义2：设f是定义在a,b上的一个函数，对于a,b的一个分割T=0,1,n, 任取ii, i=1,2,n，并作和式(i)xi，称

4、此和式为函数f在a,b上的一个积分和，也称为黎曼和.定义3：设f是定义在a,b上的一个函数，J是一个确定的实数. 若对任给的正数，总存在某一正数，使得对a,b的任何分割T，以及在其上任意选取的点集i , 只要T，就有|(i)xi -J|0，对a,b的任一分割T：a=x0x1x2xn-1xn=b，属于T的所有积分和：=(xi-xi-1)=k(b-a)，从而有|-k(b-a)|=|k(b-a)-k(b-a)|=0，按定积分定义知dx=k(b-a).2、通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集i , 把定积分看作对应的积分和的极限，来计算下列定积分：(1)dx(提示：=)；(2)dx；(3)dx；(4)(0a0，取正数，对a,b上的任意分割T，当T时，便有|-(eb-ea)| ，dx=eb-ea.(3)利用(2)的结论：dx=eb-ea. 当a=0,b=1时，S=dx=e1-e0=e-1.(4)对a,b上的任意一个分割T：a=x0x1x2xn-10，取正数，对a,b上的任意分割T，当T时，便有|-()| ，dx=.(0ab)(提示：取i =.专心-专注-专业