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1、实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似， 列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归 纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。（1）审： 审清题意，弄清已知量与未知量；（2）找： 找出等量关系；（ 3）设： 设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；（4）列： 列出一元二次方程；（5）解： 求出所列方程的解；（6）验： 检验方程的解是否正确，是否符合题意；（7）答： 作答。二、典型题型1、数字问题例 1、有两个连续整数，它们的平方和为 25，求这两个数。例 2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果
2、把它的个位上的数字 与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。练习： 1、两个连续的整数的积是 156，求这两个数。2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为 （ ）A. 25 B. 36 C. 25 或 36 D. -25 或-362、传播问题：公式：（a+x）n=M 其中 a 为传染源（一般 a=1）, n 为传染轮数，M 为最后得病 总人数例 3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习： 有一个人患了流感， 经过两轮传染后共有 1 9
3、6 人患了流感， 每轮传染中平均一个人传 染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题11循环问题：又可分为单循环问题 一 n(n-1)，双循环问题 n(n-1)和复杂循环问题2n(n-3)22例 4、(1)参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有多少个队参加比赛？(2)参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛 90 场比赛，共有多少个队参加比赛？例 5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次, 共有多少人？例 6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送 182 件，设全组有
4、 x 个同学，则根据题意列出的方程是()A.x x 1182B.x x 1182C.2x x 1182D.x x 1182 2练习：1、甲 A 联赛中的每两队之间都要进行 两次比赛，若某一赛季共比赛 110 场，则联赛 中共有多少个队参加比赛？2、参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 15 次,有多少人参加聚会？3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要 90 张照片，有多少人？4、平均增长率问题：M=a(1 土 x)n，n 为增长或降低次数，M 为最后产量，a 为基数，x 为 平均增长率或降低率例 7、某种商品，原价 50 元，受金融危机影响，1 月份降价 10%，从 2 月份开
5、始涨价，3 月份的售价为64.8 元，求 2、3 月份价格的平均增长率。例&市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降 价后，由每盒200 元下调至 128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？练习：1、恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求一共握手 66,请问参加会议的人数1 件，全组共互赠了这两个月的平均增长率2、从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后， 这时容器里剩下纯酒精 5 升
6、问每次倒出溶液的升数？5、商品销售问题例 9、某商店购进一种商品，进价30 元试销中发现这种商品每天的销售量P（ 件）与每件的销售价 X（元）满足关系：P=100-2X 销售量 P,若商店每天销售这种商品要获得200 元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？例 10、益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售 价 a 元，则可卖出（350 10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？练习： 1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供
7、货源， 待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理） 。当每吨售价为 260 元时，月销售量 为 45 吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当 每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑 材料共需支付厂家及其它费用 100 元。（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量； （2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（ 3 ）小静说： “当月利润最大时，月销售额也最大。 ”你认为对吗？请说明理由。2、某水果批发商场经销一种高档水果， 如果每千克盈利 10
8、 元，每天可售出 500 千克. 经市 场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克 . 现该 商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？6、面积问题例 11、如图，在宽 20 米，长 32 米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路 （两条纵向，一条横 向，并且横向与纵向互相垂直 ） ，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面 积是 570 平方米，问道路应该多宽 ?AD E H2、为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14 米，面积是 3200 平方米则操场的长为_ 米，宽为_ 米。7、工程问题例
9、 13、某公司需在一个月（31 天）内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做，12 天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10 天完成.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000 元；如果请乙队施工，公司每日需付费用 1400 元在规定时间内： A 请甲队单独完 成此项工程出.B 请乙队单独完成此项工程；C 请甲、乙两队合作完成此项工程以上三种方案哪一种花钱最少？练习：搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需10 小时完成，乙需 12 小时完成，丙需15 小时完成，有货物存量相的两个仓库A 和 B,甲在 A 仓库，乙
10、在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙， 最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各 多少时间？8、行程问题例 14、A、B 两地相距 82km，甲骑车由 A 向 B 驶去，9 分钟后，乙骑自行车由 B 出发以每 小时比甲快 2km 的速度向 A 驶去，两人在相距 B 点 40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少？例 12、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。已知铁皮的长是宽的 2 倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。练习：1、一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是 24cm2，两
11、条直角边的长分别练习：甲、乙二人分别从相距 20 千米的 A、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后， 二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1 千米，结果甲到达 B 地后乙还需 30分钟才能到达 A 地，求乙每小时走多少千米.9、银行问题例 15、王明同学将 100 元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取 出，并将其中的 50 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入， 这时存款的年利率 已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63 元，求第一次存款时的年利率.练习：某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元
12、用于购物，剩下的1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320 元，求这种存款方式的年利率。(利息税为 20%)动点几何问题例 16、如图， ABC 中，/ B=90 , AB=6 , BC=8 ,点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动：(1) 经过几秒， PBQ 的面积等于 8cm2;(2) PBQ 的面积会等于 10cm2 吗？会请求出此时的运动时间，
13、若不会请说明理由.例 17、已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm , BC=6cm。某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cms的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 出发沿 DA 方向以 2cm S的速度向 A 点匀速运动，则经过多长时间，1面积的 ？9AMN 的面积等于矩形 ABCD练习：已知：如图所示，在ABC中，B 90 ,AB 5cm, BC 7cm点P从点A开 始沿AB边向点B以 1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 2cm/s 的速度 移动（ 1）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，PBQ的面积等于 4cm?（ 2）课后作业
14、：1、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的 3 倍刚好等于这个两位数。求这个两位数。2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出_ 小分支。3、 生物兴趣小组的学生， 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182件，这个小组共有多少名同学？4、要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都赛一场，计划安排 28 场比赛，应邀 请多少个球队参加比赛？5、为了绿化校园，某中学在2012 年植树 400 棵，计划到 2014 年底使这三年的植树总数达到 132
15、4 棵，求该校植树平均每年增长的百分数。6、国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70 元，不加收附加税时，每年产销 100 万条，若国家征收附加税,每销售 100 元征税 x 元（叫做税率 x%）,则每年的产销量将减少10 x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168 万元,并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过 50 万条，问税率应确定为多少？国家征收的附加税金总额=香烟的销售额（即单价x销售量）x征收的税率.如果P,Q分别从 代B同时出发，那么几秒后, 中，PQB的面积能否等于 7cm2?说明理由PQ的长度等于
16、5cm？（ 3 ）在（1）7、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利 40元.为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价4 元，那么平均每天就可多售出8 件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装因应降价多少元？8、在一幅长 80cm 宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图,2如果要使整个挂图的面积是5400cm，求需要金色纸边的宽是多少？9、如图所示，某小区规划在一个长为 40 m、宽为 26 m 的矩形场 地 ABCD 上修建三条同样
17、宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草若使每一块草坪的面积为 144 m2, 求甬路的宽度10、甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔2 分钟相遇一次；同向而行，每隔 6 分钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈？11、某油库的储油罐有甲、 乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐 少用 4 小时，两管同时开放 3 小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油 9 小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？412、王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530 元,求第一次存款时的年利率（假设不计利息税）13、如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB = 16cm , BC = 6cm,动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，点 Q 以 2 cm/s 的速度向点 D 移动.当点 P 运动到点 B停止时，点 Q 也随之停止运动。问几秒后，点P 和点 Q 的距离是 10 cm ?
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