数学(文)二轮复习通用讲义：专题五第三讲大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

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1、第三讲大题考法12题型(一)最值问题主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长问题以及最值的求解.圆锥曲线中的最值、范围、证明问题典例感悟典例(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2=y，点A2,4IB|3,9i,抛物线上的点P(x,y)1Vx2/过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值.审题定向(一)定知识主要考查直线斜率的范围、直线与抛物线位置关系中的最值问题.(二)定能力1 .考查数学建模：通过建立目标函数模型求其范围或最值.2 .考查数学运算：通过列方程、解不等式求范围；用导数法求函数的最值.(三)定思路第(1)问已知x的范围，利用斜率公

2、式求解：将AP的斜率表示为关于x的函数，利用x的范围即可求得AP斜率的范围;第(2)问建立k的目标函数，导数法求其最值：将|PA|PQ|表示为关于k的函数，利用导数法求最值.解(1)设直线AP的斜率为k,x2_1k=1=x-x+2131因为2x2,所以1x2 b0)经过点 P11求椭圆C的方程;(2)若直线l： y=x+ m与椭圆C交于两个不同的点 A, B,求 OAB面积的最大值(O为坐标原点).工+需=1a 2b解：(i)由题意，知c c_返a2 = 2,b2=1,=0.a2= b2+ c22所以椭圆C的方程为x2+y2=i.(2)将直线l的方程y=x+ m代入椭圆2C 的方程 x2+y2

3、= 1,整理得 3x2+4mx+ 2(m21)则 A= (4m)224(m21)0 ,得 m23.设 A(x1，yi), B(x2, y2),则 xi+x2= 4mxix2 =2(m2- i所以|AB| =V2 d(xi + x2 2 4xix2= V2 :4m 22 m2- 1二 丁厂4-24 8m2 4又原点O(0,0)到直线AB: x-y+m=0的距离d =|m|所以 Szoab=；|AB| d= x4 22 3|m|223 m因为 m2(3- m2)m2+3-m294当且仅当m2=3m2,即m2=3时取等号，所以SzoabW#x3=322即4AB面积的最大值为手.题型（二）范围问题主要

4、考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的几何性质，题中涉及的参数多与直线方程或圆锥曲线方程相关.典例感悟典例（2018浙江高考）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.（1）设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；2（2）若P是半椭圆x2+y4=1（x0）上的动点，求PAB面积的取值范围审题定向（一）定知识主要考查中点坐标公式、三角形面积公式、直线与抛物线位置关系中证明及范围问题.（二）定能力1 .考查逻辑推理：要证PM垂直y轴，只需证明点M的纵坐标与点P的纵坐标相等即可；要求AFAB面积取值范围，需把面积表示为关于已知范

5、围的参数的函数2 .考查数学运算：中点坐标的求解、PAB面积的表示及范围的求解.（三）定思路第（1）问利用中点坐标公式、根与系数关系求证：设出点A、B、P的坐标，由FA,PB的中点在抛物线上得出两关系式，可知点A,B纵坐标y1，y2是方程的两根，由根与系数关系可证；第(2)问利用二次函数的性质求范围：1面积可表本为Szpab=2|PM|lyiy2,再转化为关于点P坐标的关系式，化为关于点P横坐标的二次函数求解.解(1)证明：设p(xo, yo), A&； yi !,因为PA, PB的中点均在抛物线上,所以yi,y2为方程Iy+yo2_4y+x、2 厂. 2即y22yoy+8xo y0 = 0的

6、两个不同的实根.所以yi + y2=2yo,因此PM垂直于y轴.(2)由(1)可知yi+ y2= 2y0, |yiy2= 8X0 y2i o o所以 1PMi= 8(yi+y2)-Xo=|yi_y21=2/2(y04xo)因此PAB的面积Sapab=21PM|lyiy2|=342(y04Xo)2.2因为X0+y=i(X0b0)的离心率为手，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；5(2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，若koMkoN=;,求原点O到直线l的距离的取值范围.解：(1)由题知e=：=2b=2,又a2=b2+c2,.b=1,a=2,.椭圆C的标准方程为x2+

7、y2=1.4(2)设M(X1,y1)，N(X2,y2),y=kx+m,联立方程，得x2%y2=1，整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=0,依题意，A=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化简得m24k2+1,8km4m4xi+x2=一卜2+，x1x2=卜2十，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x+x2)+m2,若kOMkON=5,则”=5,即4y1y2=5x1x2,4x1x2422-4kxix2+4km(xi+&)+4m=5x1x2,8km4k2+J+ 4m2=0,04(m2-1).(4k25)42-4kmJ即(4k25)(m21)8k2m2+m

8、2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=*原点O到直线l的距离22 m. d2= -21 + k二k24 k1 + k21+41 + k2j又20屋4，0Md2/2y2=0.(2)证明：当l与x轴重合时，/OMA=/OMB=0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以/OMA=/OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x1)(kw0),A(x1,y1),B(x2,y2),则X172,X2,且2W3,求直线l的斜率k的取值范围.2a=|EF1|+|EF*ja=2,解：(1)由a2=b2+c；解得0),联立方程y= k(x+ 1 )22x y / 7+3 =1,整理得根+4/

9、2 6y9= 0,144= -T2-+ 1440, k一6ktA(X1, y1)，B(x2, y2),则 y+y2=2,3+ 4k-9k2yy2=2,3+4k又AF1=入1B,所以y1=入2,所以V3 =-22,入)(1寸414则=37；?丁2=黑6因为2K3,所以卜计1-24,2人3即1w420,解得00)的左、右焦点分别为F1和F2,由M(-a,abb),N(a,b),F2和F1这4个点构成了一个高为小，面积为3m的等腰梯形.(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A,B两点，求F2AB面积的最大值.2a+2c解：(1)由已知条件，得b二串,且一2X43=3/3,-a+c=3.2

10、2又a2-c2=3,.a=2,c=1,椭圆的方程为/y3=1.(2)显然直线的斜率不能为0,设直线的方程为x=my1,A(xi,yi),B(x2,y2).x2y?联立方程443消去x得，(3m2+4)y2-6my-9=0.x=my1, .直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交.yi+y2=6m-,yiy2=3m2+493m2+4._.1 S在2AB=2|F1F2|y1y21=|y1y2|m2+13m2+421221，3+9m2+1令t=m2+11,设f(t)=t+9t，易知te”,3M,函数f(t)单调递减，teg,+8,；时，函数f(t)单调递增， t=m2+1=1,即m=。时，f

11、(t)取得最小值，f(t)min=10,此时SAF2AB取得最大值93.3.(2018郑州模拟)已知圆C:x2+y2+2x2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p0),圆心C到抛物线焦点F的距离为折.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点。的动直线l交抛物线于A,B两点，且满足OALOB,设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.解：(1)x2+y2+2x2y+1=0可化为(x+1)2+(y1)2=1,则圆心C的坐标为(一1,1).Fp,0).-1CF|=1)+(0-12=717,解得p=6.抛物线E的方程为y2=12x.(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x

12、=my+t(tw。),y2=12x,由5得y2-12my-12t=0,x=my+t,A=(12m)2+48t=48(3m2+t)0,y1+y2=12m,y1y2=12t,由OAJOB,得OAOB=0,-X1X2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+12=0,整理可得t212t=0,two,.=12,满足A0,符合题意.，直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).当CPJ,即线段MP经过圆心C(1,1)时，动点M到动直线1一011此时kC吁二;=一而，得m=而，1一此时直线l的万程为x=彳3丫+12,即13xy156=0.224. (2018全国卷出)已知

13、斜率为k的直线l与椭圆C:x4+y3=AB的中点为M(1,m)(m0).1(1)证明:kQ.(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且”一可一用证明：证明：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),2222x1y1/x2迤/则Z+t=1+：=1.两式相减，并由0=k得宁+Tk=0.x1x243A(x1, y1), B(x2, y2).l的距离取得最大值,1交于A, B两点，线段x1+x2y1+y23由题设知2=1,-2=m,于是k=-4m.31由题设得0m2,故k2.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x31,y3)+(xi1,yi)+(x21,y2)=(0,0).由(1)及题

14、设得x3=3(xi+x2)=1,y3=一(yi+y2)=-2m0.3又点P在C上，所以m=4，从而F(i-于是I下用1)耳心b0且a, b2均为整数)过点2,乎)且右顶点到直线l: x=4的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线11,12,11与椭圆交于点A,B,12与椭圆交于点C,D.求四边形ACBD面积的最小值.解：(1)由题意，得马+今=1,且|4a|=2,若a=2,则b2=3;若a=6,则b2=27(舍a2b17去)，所以椭圆的方程为9+y2=1.43(2)由(1)知，点F的坐标为(1,0).当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，可得AB|=4,|C

15、D|=3或者|AB|=3,|CD|=4,，一一1此时四边形ACBD的面积S=2X4X3=6.，,1当l1,l2的斜率均存在时，设直线l1的斜率为k,则kw。，且直线l2的斜率为；.直线l1：y=k(x1),l2：y=%x1).由直线li过椭圆内的点，知彳#(3 + 4k2)x2- 8k2x+ 4k2 12= 0.50 恒成立，设 A(xi, yi), B(x2,i8k2y2),则Xi+X2=2,3+4k4k212X1X2=23+4k|AB|=k2|xi-X2|=1+k2W(xi+X2(-4xiX2=b0),定义椭圆C的“相关圆”方程为2 . 2a2b2X +y = a2+ b2.右抛物线y2=

16、4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点.证明：/AOB为定值.解：(1)因为抛物线y2=4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1.又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1,2故椭圆C的方程为；+y2=i,“相关圆”E的方程为x2+y2=|.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x=当，A当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kX+m,A(X1,y1)，B(x2,y

17、2),y= kx+ m,联立x225+y = 1,A= 16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 - 2) = 8(2k2m2 + 1)0 ,即 2k2 m2 +得x2+2(kx+m)2=2,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,4kmX1+X2=2，1+2k2m2-2X1X2=2.1+2k因为直线l与“相关圆” E相切,所以 X1X2+ y1y2= (1 + k )x1x2+ km(xi + X2)+ m(1 + k、2m2-2) 4k2m21 + 2k21 + 2k23m2-2k2-27=0,所以OA_LC)B,所以/AOB=W综上，/AOB=j,为定值.号,其右焦点到直线2a

18、X+by 小=0223 .已知椭圆C1：3+y2=1(ab1)的离心率为-2的距离为-2.3求椭圆Ci的方程;(2)过点P”，-3和直线l交椭圆C1于A,B两点.证明：以AB为直径的圆恒过定点.解：(1)由题意， e= ：=，e2 = a a2ba2=2b2.所以a=巾b, c= b.又隼=0 = ，ab1,所以 b=1, a2=2, V4a2+b2 32故椭圆Ci的方程为，+y2=i.(2)证明：当ABk轴时，以AB为直径的圆的方程为 x2+y2=1.当ABU轴时，以AB为直径的圆的方程为 x2+ ly+1) = , 39v+yj，x= ,由 ix2+(y+1H可得y=1,由此可知，若以 A

19、B为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0,1).下证Q(0,1)符合题意.1当AB不垂直于坐标轴时，设直线 AB万程为y=kx 3, A(x1,巾),2x2+y2j41由,得(1 + 2k2)x2 ，kx詈=0,139y=kx3，4k由根与系数的关系得，M+x2=2 ,3(1+2k )16x1x2 = 2 ,9 1 + 2kB(x2, y2).- QA QB = (x1, y1一 1) (x2, y21)=x1x2 + (y1 一 1)(y2 1)4一3=(1 + k2)x1x2 3k(x1 + x2) +16=(1 + k2)-16t- 9(1 +2k )4k . 4k_ 3 3 1 2k2

20、1691616k216k2+16(1+2k2)91+2k2=0,一.故QALQB,即Q(0,1)在以AB为直径的圆上.综上，以AB为直径的圆恒过定点(0,1).4. (2018沈阳*II拟)已知椭圆x2+y2=1(ab0)的左，右焦点分别为Fi,F2,且|F1F2|=6,ab直线y=kx与椭圆交于A,B两点.(1)若AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程；(2)若卜=乎，且A,B,F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；在(2)的条件下，设P(xo,yo)为椭圆上一点，且直线PA的斜率kC(2,1),试求直线PB的斜率k2的取值范围.解：(1)由题意得c=3,根据2a+2c=16,得a=5.

21、结合a2=b2+c2,解得a2=25,b2=16.所以椭圆白W程为x7+1.2516得9+8a2,X2_a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).所以 x1+x2= 0,a2b2x1x2=l_77 b +8a由AB,F1F2互相平分且共圆，易知，AF2IBF2,因为F2A=(x一3,y1)，F2B=(x23,y2),所以F2AF2B=(x1一3)(x23)+y1y211+81x2+9=0.a2b2即x1x2=8,所以有=8,212b+8a结合b2+9=a2,解得a2=12,所以离心率e=7yo+ yi，k2 =xo+ xi由(2)的结论知，椭圆方程为Xr+y-=1,123yoyi由题可知A(xi,yi),B(xi,yi),ki=xoxi22yoyi所以kik2=-22，xoxi22cc/xoc/xiyo-yi3Ji231一i2ji又=xr蓝=_4即k2=i4ki,一，ii由一2kii可知，8k24.即直线PB的斜率k2C9i,.