高中数学练习题

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1、授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月11日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称：第6章 微分方程第1节 微分方程的概念教学目的：1、理解微分方程及相关概念2、初步认识根据实际问题建立微分方程的过程教学重点：微分方程及相关概念教学难点：微分方程相关概念的正确理解教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P250 3、4、5教案实施效果追记：第6章 微分方程第1节 微分方程的概念复习及课题引入（时间：5分钟） 我们在中学学习并求解过什么方程？它们的解有什么特点？讲

2、授新内容（时间：90分钟） 下看两个例子例1 设作直线运动的物体的速度是，当，物体经过的路程为，求物体的运动规律。解 设物体的运动方程为，由导数的物理意义有 （1）根据题意，函数还应满足条件 （2）对方程（1）两端积分得 （3）其中是任意常数。把条件（2）代入（3）式得即，于是得所求物体的运动方程为例2 一条曲线通过点，且该曲线上任一点处的切线斜率为，求这曲线的方程。解 设所求曲线为，由导数的几何意义有 （4）由于曲线过点，因此有 （5）对方程（4）两端积分得 （6）其中为任意常数。把条件（5）代入（6）式得即，于是得所求曲线的方程为两个例子中的方程（1）和（4）都含有未知函数的导数，对这样的

3、方程我们有定义。定义：凡含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。注意：在微分方程中，未知函数和自变量可以不出现，但未知函数的导数和微分必须出现。例如：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。如果把函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解，求微分方程的过程称为解微分方程。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。如果微分方程的解中不含有任意常数，则此解称为特解。特解通常可按问题所给条件从通解中确定任意常数的值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件。如果微分方程是一阶的，则初始

4、条件为；如果微分方程是二阶的，则初始条件为，。例3 把质量为的物体从地面以初速度竖直上抛，设物体只受重力作用，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为，根据牛顿第二定律有即 （1）据题意，函数还应满足两个条件对（1）式两端积分一次得 （2）再积分一次得 （3）其中、都是任意常数。将条件代入（2）式，得，将条件代入（3）式得。把、的值代入（3）式得所求物体的运动方程。小结：（时间：5分钟）1.本节我们学习了微分方程及其相关的概念，要注意微分方程的解与以往学过的方程不同，它的解为函数而不是常数。2.微分方程的通解中含有的任意常数的个数是指独立的任意常数的个数，它与微分方程的阶数相同。授课时间： 2

5、007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月16日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程第2节 可分离变量的微分方程教学目的：1、掌握可分离变量微分方程的解法2、理解实际问题中建立微分方程模型并求解的过程3、了解齐次微分方程的解法教学重点：解可分离变量的微分方程教学难点：实际问题中建立微分方程教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P258 2（双）、3（单）、4教案实施效果追记：第6章 微分方程第2节 可分离变量的微分方程复习及课题引入（时间：5分钟） 什么叫

6、微分方程？什么叫微分方程的阶？解？通解？特解？讲授新内容 一、可分离变量的微分方程（时间：70分钟）形如的微分方程称为可分离变量的微分方程。可分离变量的微分方程的解法如下：（1） 分离变量，得（2） 两端积分，得（3） 求出积分，得通解其中与分别是和的一个原函数。其基本原则是，把含有变量及其微分的式子分离在等式的一边，而把含有变量及其微分的式子分离在等式的另一边，然后将两端积分，求出通解。这种方法叫做分离变量法。例1求微分方程的通解。解 将已给方程分离变量，得两边积分，得 即 （1）于是 即 因为仍为任意常数，令C=0，当C=0时，得到它是原方程的一个解，得方程的通解为。以后在运算中为方便起见

7、，可把（1）中的写成，只要最后得到的C是可正可负的任意常数即可。例2 解方程解原方程可改写为分离变量，得两端积分，得从而，原方程通解为为了简化通解的表示形式，令于是有或这就是所求的通解。例3 解方程解 将已给方程改写为 ，分离变量，得 ，两边积分，得 ， ，即 令 ，于是有 ，化简，得 .这就是所求微分方程的通解。例4 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零。求降落伞下降速度与时间的函数关系。图9-1解 (1) 建立方程设降落伞下落速度为，降落伞在空中下落时，同时受到重力与阻力R的作用（如图9-1），重力大小为，方向与一致；阻力大小为，方向与

8、相反，从而降落伞所受外力为根据牛顿第二运动定律,得函数应该满足的方程为 (2)求通解 将上式两边同时除以，同时乘以 方程变形为 两端积分 得 ， 即 令 ，得（3）求特解据题意设初始条件,并代入上式，得C=于是所求特解为即降落伞下降速度与时间的函数关系为=)由上式可以看出，随着时间t的增大，速度逐渐接近于常数，且不会超过，也就是说，跳伞开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动。例5 下述人口阻滞增长模型，是在马尔萨斯人口模型基础上修改得到的一个改良模型其中为年的人口总数，为最大人口载容量，为生命系数，求人口总数函数。 二、齐次方程（时间：20分钟）如果一阶微分方程中的函数可化为，这类方程称

9、为齐次微分方程。齐次方程 （1）可利用分离变量法求解，具体做法如下： 令 ，则 代入（1）得即 当 时，分离变量得 两端积分，得齐次微分方程的通解。例6 求微分方程的通解。 解 原方程变形为 令，则把它们代入上式，得 即 这是已分离变量的方程，两端积分，得即 将回代，得原方程的通解为.小结：（时间：5分钟）1. 本节我们学会了可分离变量的微分方程的解法，注意化简其解的技巧。2. 微分方程在实际问题中有着广泛的应用，我们认识了几个实例。3. 齐次微分方程是一类可化为可分离变量的微分方程，可了解其解法。授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月18日

10、 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程第3节 一阶线性微分方程教学目的：1、掌握一阶线性齐次微分方程的解法2、掌握一阶线性非齐次微分方程的解法3、了解实际问题中的一阶线性微分方程教学重点：求解一阶线性齐次、非齐次微分方程教学难点：实际问题中建立微分方程教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P265 2（双）、3教案实施效果追记：第6章 微分方程第3节 一阶线性微分方程复习及课题引入（时间：5分钟） 什么叫可分离变量的微分方程？如何求解？讲授新内容（时间：90分钟）形如 （1）其中和都是的连续

11、函数，称为一阶线性微分方程。当时方程（1）称为一阶线性齐次微分方程；当时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程。例如 下列一阶微分方程 所含的和都是一次的，所以它们都是线性微分方程。这三个方程中，第一个方程可化为，前两个是非齐次的，而最后一个是齐次的。 又如，下列一阶微分方程不是的一次式）；所含项，它不是和的一次式）；不是的一次式），都不是一阶线性微分方程。为了求方程（1）的解，我们先讨论对应齐次方程 （2）的解。方程（2）是可分离变量的微分方程。分离变量后，得 两边积分，得 （3）关于上式要作一点说明，按不定积分的定义，在不定积分的记号内包含了积分常数，在上式将不定积分中的积分常数先写了出来

12、，这只是为了方便地写出这个齐次方程的求解公式。因而，用上式进行运算时，其中的不定积分只表示了的一个原函数，在以下的推导过程中我们也作这样的规定。由（3）式得 即 因为仍是不等于零的常数，故可令，从而得方程（2）的通解为 （4）在（4）中，当C=0时，得到它是方程（2）的一个解，因而（4）的任意常数C可以取零。从而对任意常数C，（4）都是（2）的解。以后在运算中为方便起见，可把式中的ln写成ln，只要最后得到的是任意常数即可。下面再来讨论非齐次微分方程（1）的解法。如果仍然按齐次微分方程的求解方法去求解，那么由（1）可得 即 （5）也就是说方程（1）的解可以分为两部分的乘积，一部分是，这是方程（

13、1）所对应的齐次方程（2）的解，另一部分是，因为其中是的函数，因而可将看作的一个函数，设，于是（5）可表示为 （6）即方程（1）的解是将其相应的齐次微分方程的通解中任意常数C用一个待定的函数来代替。因此只要求得函数，就可求得方程（1）的解。将（6）式对求导，得 将与代入方程（1）有即 或 两边积分，得 将上式代入（6）式，得 （7）这就是一阶非齐次线性微分方程（1）的通解。其中各个不定积分都只表示了对应的被积函数的一个原函数。上述求非齐次微分方程通解的方法，是将对应的齐次线性微分方程的通解中的常数用一个函数来代替。然后再去求出这个待定的函数，这种方法称为解微分方程的常数变易法。公式（7）也可写

14、成下面的形式：上式中右端第二项恰好是方程（1）所对应的齐次方程（2）的通解，而第一项看作是通解公式（7）中取得到的一个特解。因此可知：一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次线性微分方程的通解之和，即y=Y+y，其中Y是方程（2）的通解，y是方程（1）的一个特解。例1 分别用公式（7）和常数变易法解微分方程yy = (+1)。 解公式法：它是一阶线性非齐次微分方程，这里 = , ,把它代入公式（7），得原方程的通解为y = e = e = (+1) = (+1) 常数变易法：先求与原方程对应的齐次微分方程 y的通解。由分离变量法，得到y = Ce = C(1+)。将上式中的任意

15、常数C替换成函数C（），即设原来的非齐次微分方程的通解为 y = C() (1+) （8）于是 y = C()(1+)+2C()(1+)把y和y代入原方程，得C()(1+)+2C()(1+)C()(1+)=(1+)化简，得C() = 1+两边积分，得C（）= (1+) + C将代入（8）式，即得原方程的通解为y = (1+)例2 求方程满足y的特解。解原方程对应的齐次方程为用分离变量法求得它的通解为用常数变易法，设非齐次微分方程的通解为 则。把y和y代入原方程并化简，得两边积分，得 因此非齐次微分方程的通解为将初始条件y代入上式，得C=0,故所求微分方程的特解为。例3 设一个闭合电路（如图92

16、），其中电源电动势为、自感L与电阻R都是常数。若开始时，回路电流为，求这电路中的电流（t）。图9-2解（1）建立微分方程根据电学原理知，总电动势=电源电动势为自感L产生的电动势 ，即 E=，+=E，所以 （9）其中L、R、E都是常数，初始条件. （2）求通解 因方程（9）是非齐次线性方程，将代入公式（7），得这就是微分方程（9）的通解。（3）微分方程的特解把初始条件代入通解，得则所求电流为 从解中可知，无论初始电流多大，当时，（定值）。例5求方程的通解。分析原方程既不是可分离变量的方程，也不是的线性方程，如果把看成的函数，即，它就是关于的线性方程。因而可用常数变易法和公式法求解。解原方程化为，

17、此方程是关于的线性方程。方法一常数变易法：先求对应齐次方程的通解。两边积分，得。对应齐方程的通解为。令C=C（y），代入原方程得，。故原方程的通解为。方法二 公式法.因为 由公式得原方程的通解为 = =.小结：（时间：5分钟）本节我们学会了一阶线性非齐次微分方程的两种解法：公式法、常数变易法，有些问题可将看成的函数来求解。授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月23日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程第4节 几种可降阶的二阶微分方程教学目的：1、掌

18、握二阶微分方程的解法2、掌握不含二阶微分方程的解法3、掌握不含二阶微分方程的解法教学重点：三种二阶微分方程的解法教学难点：不含二阶微分方程的解法教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：补：1、2、3教案实施效果追记：第6章 微分方程第4节 几种可降阶的二阶微分方程复习及课题引入（时间：40分钟）1. 一阶线性微分方程的一般形式是什么？求解公式是什么？2. 练习：（1） （2） （3）3. 讲解4（7）、P164 64. 二阶微分方程的一般形式为，本节介绍几个可降成一阶的微分方程。讲授新内容（时间：50分钟）一、最简单的二阶微分方程 形如 （1）的微分方程称为最简单的二阶微分方程。这种方

19、程的通解可经过两次积分求得。例1 解微分方程。解：积分一次得再积分一次得二、不含未知函数二阶微分方程形如 （2）的微分方程称为不含未知函数二阶微分方程。其解法一般为：令，则，代入（2）得 （3）这是关于未知函数的一阶微分方程，如能从中求出（3）的通解，则（2）的通解为例2 解微分方程。解 令，则，于是，或改写为这是关于的一阶线性微分方程，其中，于是所以由公式法得从而原微分方程的通解为二、不含未知函数二阶微分方程形如 （4）的微分方程称为不含未知函数二阶微分方程。其解法为一般为：把（4）中看成的函数，则于是（4）化为 （5）设（5）的通解为已求出，则由，可得（4）的通解 例3 求解微分方程，满足

20、初始条件的特解。解 令，代入原方程得两边积分得 由初始条件，得。所以或（因），即，或，两边积分得由初始条件，得，代入整理后得 小结：（时间：10分钟）关于高阶微分方程的解法：求解的思路是通过变量代换把高阶方程的求解化为较低阶方程求解，介绍了三种可降阶方程的类型，注意解方程中令的作用，的导出过程。授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月25日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程第5节 二阶常系数线性齐次微分方程教学目的：1、理解二阶常系数线性齐次微分方

21、程通解的结构2、掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学重点：同上教学难点：寻找二阶常系数线性齐次微分方程解法过程教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P270 4、5、7教案实施效果追记：第6章 微分方程第5节 二阶常系数线性齐次微分方程复习及课题引入（时间：10分钟）1. 二阶微分方程的一般形式是什么？2. 我们学过求解哪些二阶微分方程？讲授新内容一、二阶常系数线性齐次微分方程的概念与解的结构（时间：20分钟）定义 形为 0或 （1）的方程为二阶常系数线性齐次微分方程。在解方程（1）之前，我们先讨论方程（1）解的结构。定理1 若函数与是方程（1）的两个特解，且为常数），则 就是方

22、程就是（1）的通解，其中与是任意常数。证 由于是方程（1）的解，所以有 又因为，从而，将代入方程（1）左端，得+所以是方程（1）的通解.定理1 给出了求方程（1）通解的一种方法，例如， 函数与是方程的两个特解，又因为， 常数，所以，函数是方程的通解。注意：容易验证和都是方程的特解，但是不是方程的通解，因为 其中。由于只有一个独立的任意常数，这与通解的概念矛盾.二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法（时间：60分钟） 下面解决如何求方程（1）满足定理1条件的两个特解。为了寻求方程（1）的特解，让我们先回忆一阶常系数线性齐次微分方程的解： 也就是说，方程中的和都是指数函数的形式，因为只有指数函数的各

23、阶导数仍为指数函数，由此联想到方程（1）的解也应具有指数函数y=e (为常数)的形式，因此设方程（1）的特解为，只要选择适当的值，就可得到方程（1）的解。为此，将和它的一、二阶导数代入方程（1），得到因为e0,所以上式要成立，就必须有 （2）这就是说，只要是方程（2）的根，则指数函数y=e是方程（1）的解.于是方程（1）求解问题，就转化为方程（2）求根的问题，通常称方程（2）是方程（1）特征方程，方程（2）的根是方程（1）的特征根。 特征根是一元二次方程（2）的根，按一元二次方程根的判别式，有下列三种不同的情形：1.特征根是两个不相等的实根： rr 函数y=和y=是微分方程（1）的两个特解，且

24、 常数，所以，微分方程（1）的通解为 例1 解方程 解的特征方程为，。特征根为，所以方程的通解为2.特征根是一对共轭复数根: （是实数且）。这时函数是微分方程（1）的满足定理1条件两个特解，但这两个解含有复数，不便于应用。为了得到微分方程（1）的不含有复数的解，可以利用欧拉公式，把改写为由于成共轭关系，因此，取它们的和再除以2就得到它们的实部，取它们的差，再除以2i就得到它们的虚部，即=由定理1可知，仍是微分方程（1）的解，且，由此得到方程（1）的通解为 例2 解方程 解 的特征方程为特征根为，所以方程的通解为。3.特征根是两个相等的实根：因为，所以只能得到方程（1）的一个特解。要想得到通解，

25、就需要找一个满足定理1条件的特解使为此，不妨设是方程（1）的解，其中是待定的函数。下面求：由于满足微分方程（1），因此将求导，得将代入微分方程（1），得 上式中，因为特征根是特征方程的重根，所以还有（因为根据二次方程的根与系数的关系，有特征方程的两根之和）。于是，得因为我们只要得到一个不为常数的解，并且使就可以了，所以不妨选取，这时可得。因此，微分方程（1）的通解为 例3 解方程解 的特征方程为，。特征根为因此方程的通解为例4 求方程满足初始条件的特解。解所给方程的特征方程为，特征根为。方程的通解为。将上式两端对求导，得。将初始条件代入以上两式，得因此，微分方程的特解为。小结：（时间：10分钟

26、）二阶常系数齐次微分方程的通解归纳如下表：特征方程的两个根、的通解两个不相等的实根一对共轭复数根两个相等实根综上所述，求方程（1）通解的步骤如下：第一步写出方程（1）的特征方程；第二步求出特征方程的两个根；第三步根据特征方程的两个根的不同情形，按照以上表格写出方程（1）的通解。授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月30日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程第6节 二阶常系数线性非齐次微分方程教学目的：1、理解二阶常系数线性非齐次微分方程通解的结构2

27、、掌握两种二阶常系数线性非齐次微分方程的解法教学重点：二阶常系数线性非齐次微分方程的解法教学难点：寻找二阶常系数线性齐次微分方程解法过程教学方法：举例；讲解；练习教学手段：传统式作业：P278 1（单）2教案实施效果追记：第6章 微分方程第6节 二阶常系数线性非齐次微分方程复习及课题引入（时间：10分钟）1. 二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式是什么？2. 如何求解二阶常系数线性齐次微分方程？讲授新内容一、二阶常系数线性非齐次微分方程解的概念和结构（时间：15分钟）1. 定义 形式为 （1）的方程(1)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程（其中、为常数）.2. 二阶常系数线性非齐次微分方程解的结

28、构我们知道：一阶线性非齐次微分方程的通解是由两部分组成的，即其中：是非齐次微分方程本身的一个特解；是对应的齐次方程的通解同样地，对于二阶常系数线性非齐次微分方程的通解也具有完全同样的结构定理 设是方程（1）的一个特解，而是方程（1）所对应的齐次方程的通解，则 是方程（1）的通解证 因为是方程（1）所对应的齐次方程的通解，故又因为是方程（1）的解，故 将代入方程（1）左端得即满足方程（1）是方程（1）的解，且含有两个任意常数，故是方程（1）的通解。例如，方程是一个二阶线性非齐次微分方程，在前面已经知道了它的对应齐次方程的通解为容易验证 是该非齐次方程的一个特解，因此 是所给方程的通解二、二阶常系

29、数线性非齐次微分方程的解法（时间：60分钟）由定理可知，方程的通解是它的一个特解与它所对应齐次方程的通解Y之和关于齐次方程的通解的问题在上节已经讨论过了，这里我们仅讨论非齐次方程的特解的求法若是方程（1）的特解，则将它及它的各阶导数代入方程（1）中，一定能使方程（1）成为恒等式，就是说应具有的形式，因此可以说一定与有关，并且是同一类型的函数这里我们仅就是多项式、指数函数式与多项式乘积这两种类型介绍求特解的方法1型方程（1）成为 （2）求方程（2）的特解时，应注意以下几点：（）当时，可设，即是同次多项式；（）当而时，可设即要比高一次；（）当时，可设，即要比高二次例1 求方程的特解解这里是二次多项

30、式，且，所以可设为待定系数）则 ，将，代入原方程，得比较两端同次幂的系数， 得方程组 解方程组，得 因此所求特解是 2型，其中是一个的n次多项式，为常数这时，方程（1）成为 （3）（3）式是多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型函数，因此推测方程（3）的特解可能是，把，代入（3）式，整理化简得 由于，从而有 若不是特征方程的特征根，即由于是的n次多项式，要使式两边恒等，也必须是的n次多项式，即，可设。若是特征方程的单根，必有要使式两端恒等，必须是的n次多项式，是n+1次多项式，即，可设则。 若是特征方程的重根，即要使式两边恒等，必是的n次多项式，是的n+2次多项式，

31、即，可设则。综合上述：方程（3）的特解应具有形式：其中是的n次多项式（与同次多项式）且若不是特征根时，取k=0；若是单特征根时，取k=1；若是重特征根时，取k=2；其中的系数用待定法确定，即把及它的一、二阶导数代入方程（3）中去，从而确定中的系数例2 求方程的通解解该方程对应的齐次微分方程是特征方程为 特征根为 于是得到齐次微分方程的通解为原方程中，其中是一个一次多项式，不是特征方程的根，所以设原方程的特解为，将求导，得，代入原方程，化简得比较等式两边同次幂的系数，有 2A1解得，因此，原方程的一个特解为，故原方程的通解为例3 求方程的通解。解 第一步 求对应的齐次微分方程的通解 特征方程为

32、特征根为 因此 第二步 求所给方程的特解这里 ，由于是特征方程的二重根，所以应设 把它及其一、二阶导数代入所给方程，并消去得 比较系数，得 从而 第三步， 把与相加，得所给方程的通解为 .例5 求方程满足初始条件的特解解先把原方程可改写为第一步，求方程对应齐次方程的通解特征方程为 特征根为 ，于是原方程对应齐次方程的通解为 第二步 求所给方程的一个特解，其中，不是特征方程的根，所以设原方程的特解为 将求导，得，将，代入原方程，得，即，由此得因此，原方程的一个特解为第三步 把与相加，得所给方程的通解为 （）第四步 求方程满足所给初始条件的特解将（）两端对求导，得 （将初始条件分别代入（）和（，得

33、 解得 ，将代入（）得方程的特解为小结：（时间：5分钟）二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式列表如下：的形式微分方程特解形式（）=()当0时，=（）;当=0而0时，=();当=0时，=().()=()（是实数）=()当不是特征根时，取=0;当是单特征根时，取=1;当是二重特征根时，取=2.授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年6月1日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3) 授课章节名称：第6章 微分方程习题课教学目的：1、总结本章主要内容，主要题型和解法2、做复习题六，加强巩固教学重

34、点：微分方程概念和几种一阶、二阶微分方程解法教学难点：理解微分方程解法思路教学方法：问答；练习教学手段：传统式作业：复习题六 A组教案实施效果追记：第6章 微分方程习题课复习（时间：10分钟）一、基本要求与重点1 理解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念；2 掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；3 了解二阶常系数线性微分方程的通解的结构；4 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法；5 会求自由项为、（其中为的次多项式，为常数）的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解及通解；6 会用微分方程知识解决一些简单的实际问题。二、典型习题讲解（时间：40分钟）例1求方程的通解分析

35、原方程有四项，但只含有项和项，并且项的系数函数只含，所以原方程可化为，即方程可化为左端只含的函数乘以微分，右端只含的函数乘以微分，即原方程是可分离变量的方程。解 原方程化为 ，分离变量得，两端积分得，故所求的通解为。例2 求方程，满足初始条件的特解.解 已知，将代入公式，得 将初始条件代入上式，得 故方程满足初始条件的特解为：。例3求方程满足初始条件的特解。解写出特征方程求出特征根写出通解 把初始条件分别代入上两式，得解得写出特解例4求下列微分方程的通解:(1)(2) (3) 解（1）方法一特征根法的特征方程为对应齐次方程的通解为因为（1）的自由项是一次多项式，因，所以设把代入方程（1），得得

36、从而故方程（1）的通解为方法二降阶法令，则，于是原方程化为故方程（1）的通解为（2）由例6可知的通解为因是一次多项式乘以，且不是特征方程的根，故设，把代入方程（2）,得,所以从而故方程（2）的通解为（3）因的特征方程为得特征根所以方程（3）对应的齐次方程的通解为因，这里不是特征方程的根，所以设把代入方程（3），得得从而特解故方程（3）的通解为注意由例8可知，用待定系数法求特解的关键是如何正确设定特解的形式，的形式与自由项有关，与对应的齐次方程的特征根有关。练习：复习题六 A组 第2题（时间：50分钟）小结：通过学习几种微分方程的求解，我们知道解微分方程一般是比较困难的，往往先猜想解的形式然后倒推出方程的解，要着重其解题思路。比如：常数变易法、解的结构等等。友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！47 / 47