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1、精心整理第18章勾股定理复习知识归纳1 .勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a， b，斜边为c ,那么a2 b2 c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角 形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高 就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关 系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是ba 图形进过割补拼接后，
2、只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股 定理常见方法如下：A方法一:4SS正方形 EFGH S正方形 ABCD， 4 ab (b a)2 c2，化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c22大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2、111斤方法三：S梯形(a b) (a b) ， S梯形2S ade S abe 2 ab c，化间得222证3 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数
3、量关系， 它只适用于直角三角形，对于锐角三角 形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角 三角形4 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中，C 90，则 c . a2 b2 ， bc2 a2， a . c2 b2 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为/、厂、“的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于,直角边为/和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作精心整理作法：如图所示1的直角解必。斜边为昭;朋具，这样斜边丿月、肋
4、1、虫耳、tiACB，使AB为斜边;（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 耳的长度就是举一反三【变式】在数轴上表示 ：|的点。解析：可以把严|看作是直角三角形的斜边，门一 I ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1作法：如图所示在数轴上找到 A点，使0A=3，作AC丄OA且截取AC=1，以0C为半径，以0为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为/ - o注：逆命题与勾股定理逆定理可以判断真假的陈述句叫做 命题，写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命
5、题：猫有四只脚.（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。6. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的证明方法要掌握，书 74页如果三角形三边长a， b， c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直
6、角三角形，其中c为斜边 要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则 ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2a2+b2,则厶ABC是以/ C为钝角的钝角三角形；若c2 n）,判断 ABC是否为 直角三角形96分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+b2=c2即可丄【变式3】如图正方形ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB b=c）,那么a2 : b2 : $=2 ： 1 ： 1。其中正确的是（）A、B、C、D、13. 三角形的三边长为（a+b） 2=c2+2ab则这个三角形是（）A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.14. 如图一轮船以16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里 C、35海里 D、40海里15已知等腰三角形的腰长为10, 一腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40B、80C、40 或 360 D、80 或 360
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