应用数理统计课外大作业范例

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1、数理统计案例分析大作业 （范例）学号 姓名 专业 成绩国家财政收入的多元线性回归模型摘要：用Excel求解Y与X之间的初步回归模型，得到初步回归直线方程丫 =28487 -0.00909x1 -0.46208x2 -0.03187x3 0.286066x4 -0.22198x5 -0.00292% 0.239963x7然后对此方程进行 线性显著性检验和回归系数显著性检验。由R2 = 0.999知Y与 X之间存在显著的线性，然而只有自变量x2,x7满足通过t值检验，从而回归系数 。乂3,人？5,%与Y之间没有显著的线性关系，说明自变量之间存在多重共线性关 系。采用MATLAB逐步回归方法对 数据

2、进行处理，根据程序自动提示得到最优回归方程 y =73341 -0.660658x5 +0.241802x7,止匕时 R2 =0.997 , F =3008。最后 采用2010年的数据对此方程进行验证，得到结果在误差范围内，表明这个模型可 以正确反映影响财政收入的各因素的情况。一、问题提由近年来，随着国家经济水平的飞速发展，人民生活水平日益提高，综合国力 日渐强大。经济上的飞速发展并带动了国家财政收入的飞速增加，国家财政的状况对整个社会的发展影响巨大。政府有了强有力的财政保证才能够对全局进行把 握和调控，对于整个国家和社会的健康快速发展有着重要的意义。所以对国家财政的收入状况进行研究是十分必要

3、的。国家财政收入的增长，宏观上必然与整个国家的经济有着必然的关系，但是具体到各个方面的影响因素又有着十分复杂的相关原因。为了研究影响国家财政收入的因素，我们就很有必要对其财政收入和影响财政收入的因素作必要的认 识，如果能对他们之间的关系作一下回归，并利用我们所知道的数据建立起回归 模型这对我们很有作用。而影响财政收入的因素有很多，如人口状况、引进的外 资总额，第一产业的发展情况，第二产业的发展情况，第三产业的发展情况等等。本文从国家统计信息网上选取了 1990-2009年这20年间的年度财政收入及主要影响因素的数据，包括工业，农业，建筑业，社会商品零售总额，人口总数等。二、数据描述从中国统计年

4、鉴2010查选数据，整理如表2-1所示:表2-1.1990-2009 年财政收入及其影响因素统计表工业（亿元）农业（亿元）受灾面积 （千公顷）建筑业 （亿元）人口（万人）社会商品零售 总额（亿元）国民生产总 值（亿元）财政收入 （亿元）199018689.227662.13847413451143338300.118718.32937.1199122088.688157554721564.31158239415.621826.23149.48199227724.219084.7513332174.411717110993.726937.33483.3719933969310995.548829

5、3253.511851714270.435260.04348.95199451353.0315750.5550434653.311985018622.948108.55218.1199554946.8620340.9458215793.812112123613.859810.56242.2199662740.1622353.7469898282.212238928360.270142.57407.99199768352.6823788.4534299126.512362631252.978060.88651.14199867737.1424541.9501451006212476133378.

6、183024.39875.95199972707.0424519.14998111152.912578635647.988479.211444.08200085673.6624915.85468812497.612674339105.798000.513395.23200195448.9826179.65221515361.512762743055.4108068.216386.042002110776.4827390.847119.118527.112845348135.9119095.718903.642003142271.2229691.854506.323083.81292275251

7、6.3135174.021715.252004201722.193623937106.25627745.312998859501159586.726396.472005251619.539450.938818.22534552.013075667176.6185808.631649.292006316588.9640810.841091.4141557.113144876410217522.738760.22007405177.1348892.935972.2351043.713212989210267763.751321.782008130260.233702.056234.2618743.

8、2132802116032316228.861330.352009135239.935226.050223.5122398.813347414894343464.768518.30变量的假设如下表所示:表2-2.自变量假设表项目工业（亿元）农业（亿元）受灾面积 （千公顷）建筑业 （亿元）人口（万人）社会商品零售 总额（亿元）国民生产总 值（亿元）财政收入 （亿元）变量x1X2x3X4X5X6X7y三、模型建立(1)回归模型的建立：多元回归模型Y = P。+P1X1 +P X i2 + P Xi 3+ P X4i 才 P X5 5 P x i6x i7+si2i N 0,二写成矩阵形式即为：Y

9、= X B+ E,其中X11X21X31X41X51X61 X7122X12X22X32X42X52X62 X72B =曳R. .4 4X1nX2nX3nX4nX5nX6n X7n _n声P5久11X = J邛01 A当残差eTe最小时，回归系数的解为P = （XTX XTY（2）对回归分析进行参数检验线性回归模型的显著性检验提出假设 H0: ：0 = 1 = .= ：7 = 0采用R检验法,R = 后为样本的多元相关系数,R越接近1表示Y与X之间 的线性相关越密切；R越接近0表示Y与X之间的线性相关越不显著。对给定的 显著水平a ,当R的样本值r L（n-k-1 ）时（其中n为年份总数20,

10、 k为x前系 数个数7）,认为Y与X之间的线性相关显著；否则认为 Y与X之间的线性相关 不显著。回归系数的显著性检验提出假设Hoi：% =0(i =1,2,.,7 ),其拒绝域为q|设C =(XTX 广=(Cij 晨，有 冉：N(Pi尸2Gi )(i=1,2,.,7 )有： N(0,1)而且 S2与内独立，当 Hi 成立时有 Fi Jn-k? : F(1,n-k-1。=1,2,.,7)。cii SE对于给定显著性水平a，拒绝与的临界值为c =SEJC-0如果I n-k-1结果是拒绝Hoi ,即为用 第0,表示启与Y之间存在显著的线性关系；如果接受Hoi ,即为Pi =0,则应将Xi从回归方程；

11、-=松0+61、+.+松7*7中剔除，建立新 *的回归方程，=佚0 +作Xi +. + fiXi+配Xi+. + 7X7 ,重新用最小二乘法估 计回归参数系数。*一一般而言 R，但有如下关系：Cj =6%j,j #i,j =0,1,.,7。剔除不显著的自变量的时候，考虑到自变量之间的交互作用对 Y的影响，每 次只剔除一个自变量，如果有几个自变量检验都不显著，则先剔除Fi的样本值fi 中的最小的那个自变量。当剔除Xi ,重新建立新的回归方程后，还必须对剩下的 变量再逐一检验它们的显著性，直至保留下的自变量对 Y都有显著的作用为止。(4)MATLAB对模型的逐步回归分析采用MATLAB调用step

12、wis的T令，用逐步回归分析工具箱，根据程序来选择 最优变量组合，获得最优回归直线方程。四、计算方法设计和计算机实现采用EXcel初步计算回归直线参数，检验线性回归模型的显著性，再检验回 归系数的显著性。如果存在部分系数没有通过显著性检验，则采用逐步回归方法 对Y与X进行处理。逐步回归可以借助 MATLAB的命令工具箱stepwisea行。五、主要的结论(1)采用EXcel计算回归直线方程结果图54Y与 ,X2，X7之间变化关系用Excel求解Y与Xi,X2,.,X7之间的回归方程，其结果如下所示:表5.1回归统计Multiple R0.999698R Square0.999396Adjust

13、ed R Square 0.999044标准误差617.9686观测值20表5.2方差分析DFSSMSFSignificance F回归分析77.59E+091.08E+092837.6382.41E-18残差124582622381885.2总计197.59E+09表5.3方差分析Coefficientst StatP-valueLower 95%Upper 95%95.0%95.0%Intercept2848723619.411.2060840.251027-22975.379949.27-22975.379949.27X Variable 1-0.009090.021538-0.4219

14、20.68054-0.056010.037839-0.056010.037839X Variable 2-0.462080.100447-4.600190.000611-0.68093-0.24322-0.68093-0.24322X Variable 3-0.031870.036786-0.866320.403303-0.112020.048281-0.112020.048281X Variable 40.2860660.1664761.7183650.111398-0.076650.648785-0.076650.648785X Variable 5-0.221980.215922-1.0

15、28050.324205-0.692430.248476-0.692430.248476X Variable 6-0.002920.009354-0.311860.760501-0.02330.017464-0.02330.017464X Variable 70.2399630.0035767.216667.8E-170.2321850.2477420.2321850.247742从而回归直线方程为:Y =28487-0.00909x1-0.46208x2 -0.03187x3 0.286066x4 - 0.2219取 - 0.0029% 0.239963x7其中回归方程的相关系数R2较大，且

16、F显著性水平接近0,故认为财政收入与上述变量之间存在显著的线性关系。但是只有变量X2,X7满足通过t值检验，从而可以认为自变量之间存在较强的多重共线性。(2)采用MATLAB计算回归直线方程结果下面采用MATLAB的stepwiseX具箱进行多元线性分析：Q|n|x|Coeflicients with Error Barscoeff.E-atae,p-vali-0,001726360,4660.6611-1,0573G.30611-0.00655327-0.15930.87501 H*-0.02583790 cg0 T4”，-O.6O65S-7.07S40.0000JI-0.00349361-

17、0.38170.7077* -10,2118020.0000Ji 1? Jda t5tBp we desktop lindow-0.8-0.6-0.4-0.20U.2Nexl step:htercept * 73341.6R-squBFB s 0.9971 B3F-3006.5SRMSE 1121.55Rsq 0 .996B51p , 010 1Model History根据软件自带的提示，在RMSE最小的时候R2最大，同时p满足要求。此时R2 =0.997 , F =3008。故选择变量Xsx7,最优回归直线方程为：y =73341 -0.660658x5 0.241802x7六、结果分析与

18、检验对得到的最优回归模型做检验，置信度为 95%,由上述表格知2010年的x 人口数为133474 （亿元），X7国内生产总值为343464.7 （亿元），Y财政收入 为68518.3 （亿元），将自变量带入回归方程Ay0 =73341 0.660658 M133474+0.241802 M 343464.7 =68211 （亿元）预测区间为（y?o -3（Xo）.7 + 5（Xo）,其中 6（x0）定t0.975（18） RMSE = 2.1仔 1121 = 2365 （亿元）代入数值得到置信度为95%的预测区间为（65846,70576）,与2010年财政收 入68518.30 （亿元）比较接近。综合来看，此数据模型基本达到了预期的目的。