中考数学圆的综合综合题汇编及答案(共19页)

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1、精选优质文档-倾情为你奉上一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，点A、B、C分别是O上的点， CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC（1）若B=60，求证：AP是O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BEAB的值【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）求出ADC的度数，求出P、ACO、OAC度数，求出OAP=90，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出DBE和ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案试题解析：连接AD，OA，ADC=B，B=60，ADC=60，CD是直径，DAC=90，ACO=180-90-60=30，A

2、P=AC，OA=OC，OAC=ACD=30，P=ACD=30，OAP=180-30-30-30=90，即OAAP，OA为半径，AP是O切线（2）连接AD，BD，CD是直径，DBC=90，CD=4，B为弧CD中点，BD=BC=42=22，BDC=BCD=45，DAB=DCB=45，即BDE=DAB，DBE=DBA，DBEABD，BDDE=ABBD，BEAB=BDBD=2222=8考点：1切线的判定；2相似三角形的判定与性质2如图，在RtABC中，ABC=90，AB=CB，以AB为直径的O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交O于点G，DFDG，且交BC于点F.（

3、1）求证：AE=BF；（2）连接EF，求证：FEB=GDA；（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求GFD的面积.【答案】（1）（2）见解析；（3）9【解析】分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出A与C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出A=FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DE

4、F为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； （3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可详解：（1）连接BD在RtABC中，ABC=90，AB=BC，A=C=45 AB为圆O的直径，ADB=90，即BDAC，AD=DC=BD=AC，CBD=C=45，A=

5、FBD DFDG，FDG=90，FDB+BDG=90 EDA+BDG=90，EDA=FDB在AED和BFD中，AEDBFD（ASA），AE=BF； （2）连接EF，BG AEDBFD，DE=DF EDF=90，EDF是等腰直角三角形，DEF=45 G=A=45，G=DEF，GBEF，FEB=GBA GBA=GDA，FEB=GDA； （3）AE=BF，AE=2，BF=2在RtEBF中，EBF=90，根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2 EB=4，BF=2，EF= DEF为等腰直角三角形，EDF=90，cosDEF= EF=，DE= G=A，GEB=AED，GEBAED，=，即GEED=AEEB

6、，GE=8，即GE=，则GD=GE+ED= 点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键3已知A（2,0），B（6,0），CBx轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得APB=ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用： （2）在（1）的条件下，若tanAPB ，求点P的坐标当点P的坐标为 时，APB最大拓展延伸：（3）若在直线yx+4上存在点P，使得APB最大，求点P的坐标【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，2）（3）（，）【解析】

7、试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，PAB即为所求；（2）由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P，易知P（0，2），P（0，6）；当K与y轴相切时，APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，APB最大想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）APB如图所示；（2）如图2中，APB=ACB，tanACB=tanAPB=A（2，0），B（6，0），AB=4，BC=8，C（6，8），AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P，易知P（0，2），P（0，6）当K与y轴相切时，APB的值最大，此时A

8、K=PK=4，AC=8，BC=4，C（6，4），K（4，2），P（0，2）故答案为：（0，2）（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，APB最大直线y=x+4交x轴于M（3，0），交y轴于N（0，4）MP是切线，MP2=MAMB，MP=3，作PKOA于KONPK，=，=，PK=，MK=，OK=3，P（3，）点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题4已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，APB是平分线分别交BC，A

9、B于点D、E，交O于点F，A=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2 =0的两根（k为常数）（1）求证：PABD=PBAE；（2）求证：O的直径长为常数k；（3）求tanFPA的值【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tanFPA=2 .【解析】试题分析：（1）由PB切O于点B，根据弦切角定理，可得PBD=A，又由PF平分APB，可证得PBDPAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：O的直径长为常数k；（3）由

10、A=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tanFPB的值，则可得tanFPA的值试题解析：（1）证明：如图，PB切O于点B，PBD=A，PF平分APB，APE=BPD，PBDPAE，PB：PA=BD：AE，PABD=PBAE；（2）证明：如图，BED=A+EPA，BDE=PBD+BPD又PBD=A，EPA=BPD，BED=BDEBE=BD线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数），AE+BD=k，AE+BD=AE+BE=AB=k，即O直径为常数k（3）PB切O于B点，AB为直径PBA=90A=6

11、0PB=PAsin60=PA，又PABD=PBAE，BD=AE，线段AE、BD的长是一元二次方程 x2kx+2=0的两根（k为常数）AEBD=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在RtPBA中，PB=ABtan60=（2+）=3+2在RtPBE中，tanBPF=2，FPA=BPF，tanFPA=2【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用5如图，AB是半圆O的直径，半径OCAB，OB4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE（

12、1）当点E是弧BC的中点时，求ADE的面积；（2）若 ，求AE的长；（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当DEF是等腰直角三角形时，求m的值.【答案】（1）；（2）；（3） ，.【解析】【分析】（1）作EHAB，连接OE，EB，设DHa，则HB2a，OH2+a，则EHOH2+a，根据RtAEB中，EH2AHBH，即可求出a的值，即可求出SADE的值；（2）作DFAE，垂足为F，连接BE，设EF2x，DF3x，根据DFBE故，得出AF6x，再利用RtAFD中，AF2+DF2AD2，即可求出x，进而求出AE的长；（3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.

13、【详解】解：（1）如图，作EHAB，连接OE，EB，设DHa，则HB2a，OH2+a，点E是弧BC中点，COEEOH45，EHOH2+a，在RtAEB中，EH2AHBH，（2+a）2（6+a）（2a），解得a，a，EH=，SADE;（2）如图，作DFAE，垂足为F，连接BE设EF2x，DF3xDFBE=3AF6x在RtAFD中，AF2+DF2AD2（6x）2+（3x）2（6）2解得xAE8x（3）当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DHa由DF=DE,DOF=EHD=90，FDO+DFO=FDO+EDH，DFO=EDHODFHEDODEH2在RtABE中，EH2AHBH（2）2（6+a）（

14、2a）解得am当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得EFGDEH设DHa，则GEa，EHFG2+a在RtABE中，EH2AHBH（2+a）2（6+a）（2a）解得am当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得EFMFDO设OFa，则MEa，MFOD2EHa+2在RtABE中，EH2AHBH（a+2）2（4+a）（4a）解得am【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.6如图，AB是O的直径，D、D为O上两点，CFAB于点F，CEAD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=

15、a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）334a2【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分BAE，结合圆的性质可证明OCAE，可得OCB90，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案【详解】（1）证明：连接OC，ACCFAB，CEAD，且CECFCAECABOCOA，CABOCACAEOCAOCAEOCEAEC180，AEC90，OCE90即OCCE，OC是O的半径，点C为半径外端，CE是O的切线（2）解：ADCD，DACDCACAB，DCAB，CAEOCA，OCAD，四边形A

16、OCD是平行四边形，OCADa，AB2a，CAECAB，CDCBa，CBOCOB，OCB是等边三角形，在RtCFB中，CFCB2-FB2=a23 ，S四边形ABCD12 （DCAB）CF334a2【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径7已知P是的直径BA延长线上的一个动点，P的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，6，OP=m，如图所示另一个半径为6的经过点C、D，圆心距（1）当m=6时，求线段CD的长；（2）设圆心O1在直线上方，试用n的代数式表示m；（3）POO1在

17、点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由【答案】(1)CD=;(2)m= ;(3) n的值为或 【解析】分析：（1）过点作，垂足为点，连接解Rt，得到的长由勾股定理得的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt，得到和Rt中，由勾股定理即可得到结论； （3）成为等腰三角形可分以下几种情况讨论： 当圆心、在弦异侧时，分和当圆心、在弦同侧时，同理可得结论详解：（1）过点作，垂足为点，连接在Rt， 6， 由勾股定理得： ，（2）在Rt，在Rt中，在Rt中，可得： ，解得（3）成为等腰三角形可分以下几种情况： 当圆心、在弦异侧时i），即，由

18、，解得即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去ii），由 ，解得：，即 ，解得当圆心、在弦同侧时，同理可得： 是钝角，只能是，即，解得综上所述：n的值为或点睛：本题是圆的综合题考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形解答（3）的关键是要分类讨论8如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30（CAB30）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E连接BE（1）当射线CP经过AB的

19、中点时，点E处的读数是 ，此时BCE的形状是 ；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；（3）当CP旋转多少秒时，BCE是等腰三角形？【答案】（1）60，直角三角形；（2）y4x（0x45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图22中，由题意ACE2x，AOEy，根据圆周角定理可知AOE2ACE，可得y2x（0x45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图21中，ACB90，OAOB，OAOBOC，OCAOAC30，AOE60，点E处的读数是60，EBAC30，OEOB，OBEE30，EBCOBE+ABC90

20、，EBC是直角三角形；故答案为60，直角三角形；（2）如图22中，ACE2x，AOEy，AOE2ACE，y4x（0x45）（3）如图23中，当EBEC时，EO垂直平分线段BC，ACBC，EOAC，AOEBAC30，ECAAOE15，x7.5若24中，当BEBC时，易知BECBACBCE30，OBEOBC60，OEOB，OBE是等边三角形，BOE60，AOB120，ACEACB60，x30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴

21、题9已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC点E为CD边上一点，AE与BE分别为DAB和CBA的平分线（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sinAGF=，求O的半径【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即

22、可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到AGF=AEB，根据sinAGF的值，确定出sinAEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：ADBC，AD=BC，四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）ADBC，DAB+CBA=180，AE与BE分别为DAB与CBA的平分线，EAB

23、+EBA=90，AEB=90，AB为圆O的直径，点F在圆O上，AFB=90，FAG+FGA=90，AE平分DAB，FAG=EAB，AGF=ABE，sinABE=sinAGF=，AE=4，AB=5，则圆O的半径为2.5点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键10已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DFBC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】试

24、题分析：（1）连接DO，要证明DF为O的切线只要证明FDP=90即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOES扇形OED求得阴影部分的面积试题解析：（1）证明：连接DOABC是等边三角形，A=C=60OA=OD，OAD是等边三角形ADO=60，DFBC，CDF=90C=30，FDO=180ADOCDF=90，DF为O的切线；（2）OAD是等边三角形，AD=AO=AB=2CD=ACAD=2RtCDF中，CDF=30，CF=CD=1DF=，连接OE，则CE=2CF=1，EF=1S直角梯形FDOE=（EF+OD）DF=，S扇形OED=，S阴影=S直角梯形FDOES扇形OED=【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积专心-专注-专业