十三章节动能定理

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1、第十三章第十三章 动动 能能 定定 理理一、常力的功FM1 M2 ScosSFW是力F与位移之间的夹角功的单位为焦耳（J）， 1J=1Nm二、变力的元功cosdsFWr rF FdWM1 M2 MFdsdryoxzr将F与dr投影到直角坐标轴上：k kj ji iF FZYXk kj ji ir rzyxddddzZyYxXwddd因此，变力F在曲线路程上功的总和为：)ddd(cos21sMMzZyYxXdsFwW重力的功M1（x1，y1，z1） M2 （x2，y2，z2） yoxzM （x，y，z） mg 重力的功与路径无关，而只与物体的始末位置有关.)ddd(21MMzZyYxXW21dm

2、00zzzgmghzzmg)(12弹性力的功 弹簧系数 k ,原长 l0 ,一端系在固定点O处, 另一端沿任意曲线运动.M2 （x2，y2，z2） OM1（x1，y1，z1） M （x，y，z） r1 rr2 F)(2222112 kW011lr 022lr dMWz2112定轴转动刚体上作用力的功r rMF zF ddsdsFWrdF dMz 当力偶矩与转角同向时作正功，异向时作负功。 dMrdFWCCCcR212112平面运动刚体上力系的功内力的功 质点系内各质点之间的相互作用力称之为内力，内力总是成对出现，等值、反向、共线，其合力为零，然而，内力的功一般情况下却不为零！理想约束力的功 不

3、可伸长的绳索、刚性杆、光滑支撑面、光滑铰链、轴承、滚动支座等，其约束反力的元功之和恒为零！把这些其约束力不做功的约束称为理想约束。即，理想约束的约束反力不做功！只滚不滑的摩擦力不做功。 半径为半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作，绳上作用常值水平拉力用常值水平拉力F，求轮心，求轮心C运动运动x距离时，力距离时，力F所作的功。所作的功。 MC=Fr质点的动能221mv动能是标量，恒取正值。单位为焦耳 J 。质点系的动能221iivmT平动刚体的动能221iivmT2)(21Civm221cMv定轴

4、转动刚体上的动能221zJr rimivi z221iivmT2)(21iirm2221iirm平面运动刚体的动能222121 ccJmvT221pJT P 为刚体平面运动的瞬心，JP为刚体对瞬心轴的转动惯量。 坦克的履带质量为坦克的履带质量为m ,两个车轮的质量均两个车轮的质量均为为m1.车轮可视为均质圆盘车轮可视为均质圆盘,半径为半径为r,两车轮轴两车轮轴间的距离为间的距离为r设坦克前进的速度为设坦克前进的速度为V。计算计算此质点系的总动能。此质点系的总动能。v02212121211vmJT 2222222242122121vmvmJT 21121rmJ 22222rmMrJ13-3质点的

5、动能定理F Fv vdtdm两边同时点乘drrFrvdddtdmrFvvddmWmvd)2(21212WTT质点系的动能定理第 i个质点：iiiWvmd22对整个质点系：iiiWvmd22iWTT12动能定理主要用来求解 v v、a a、，不能求反力！ 均质圆柱体重为FP，其中心O绞接一重为Q的均质直杆OA，放在倾角为的斜面上，轮子只滚不滑，OA杆的A端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。01Tsin)(SQF WPOASC222143ooPvgQvgFSFQgFQ vPPo32sin)(42PPFQFQga32sin)(20 由于轮心O作直线运动，将上式

6、两端对时间求一阶导数得到： 2222121oCvgQJTsin214322SQFvgQvgFPooP均质圆柱体重为FP，放在倾角为的斜面上，只滚不滑，轮心O处系一绳子，跨过重为W的均质滑轮与重物Q相连，两轮半径相等，系统初始静止，求轮心O沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。0 1TSQF WP)sin(222214143oooPvgQvgWvgFCOASQ22202212121 oAACvgQJJTSQFvgQvgWvgFPooPsin2141432202)sin(2322120QFSvgWFQ PP两端对时间t求导，即得加速度：WFQQFgaPP32)sin(20 长同为 l 的两根均质杆

7、用铰链B相连，C端沿光滑铅直墙壁下滑，当AB由水平位置到达铅直位置时，BC到达水平位置，求该瞬时C点的速度，系统初始静止。BCBAC2221 BBJT01T 系统到达终了位置时，B、C两点的速度分别为：vBvC其速度瞬心为B点，即该瞬时 0 BvlvCB mgllmglmg W2232mgllvmlC23121222glvC122则AB杆瞬时静止， 0 Av 均质杆AB长l，B端放在光滑的水平面上，A端挂与固定点D处，现突然剪断细绳，杆自由倒下，初瞬时0=450，求A端落地瞬时杆上A、B两点的速度。ABCD01TBAlv0sin2lmgW ABCvCvA21223 gllvA2221BBJTA

8、点着地瞬时，其速度瞬心为B点 0 Bv1、功率： 单位时间内力所作的功。用瞬时值定义为： dtWP作用在转动刚体上力的功率dtWP2、功率方程： 任何机器工作时必须输入一定的功，同时，在机器运转过程中要克服阻力而消耗一部分功。因此需要研究功率与机器运动之间的关系。 dtdrF vF dtdMzzMWdTPdtWdtdT功率方程无出入PPPP有用功率无出入PPdtdTP 对系统输入的功率就等于有用功率、无用功率及系统动能变化率的总和。当机器启动时， 则要求无出入PPPdtdT 0当机器正常运转时， 则要求无出入PPPdtdT 0当机器制动减速时， 则要求无出入PPPdtdT 03、机械效率： 工

9、程中，把有效功率（包括克服有用阻力的功率及使系统动能改变的功率）与输入功率的比值称为机器的机械效率。 1 输入功率有效功率 力场力场：设质点在某一部分空间中处处受到力的作用，且力的大小：设质点在某一部分空间中处处受到力的作用，且力的大小和方向唯一地取决于该质点所在的位置，则这部分空间称为力场。和方向唯一地取决于该质点所在的位置，则这部分空间称为力场。 势力场势力场：当质点在某力场中运动时，若作用与质点上的力所作的：当质点在某力场中运动时，若作用与质点上的力所作的功只与该点的始末位置有关，而与质点运动的路径无关，则该力功只与该点的始末位置有关，而与质点运动的路径无关，则该力场称为势力场，该力称为

10、有势力。场称为势力场，该力称为有势力。 势能势能：在势力场中，任意选定某一位置作为基准位置：在势力场中，任意选定某一位置作为基准位置零位置零位置( (零势能面零势能面) )，当质点，当质点从任意位置到达零位置从任意位置到达零位置时有势时有势力力所作所作的功的功称为称为质点在给定位置的势能。质点在给定位置的势能。 用用V V表示。表示。一、名词概念一、名词概念二、常见几种势力场中的势能二、常见几种势力场中的势能 1 1、重力场中的势能、重力场中的势能 通常以地面为零势能面，当物体位于地面通常以地面为零势能面，当物体位于地面以上以上h h 位置时，则势能为：位置时，则势能为：V = mgh 2 2

11、、弹性力场中的势能、弹性力场中的势能 取弹簧无变形时的位置为零位置，当弹取弹簧无变形时的位置为零位置，当弹簧的变形为簧的变形为时，其势能为：时，其势能为：221kV 0,)(21222211 kW 3 3、牛顿引力场中的势能、牛顿引力场中的势能 通常取无穷远处为零势能位置，则在通常取无穷远处为零势能位置，则在任一处任一处 r r 的引力势能为：的引力势能为： rfMmV)11(12rrfMmW 由此可见，质点的势能可以表示为质点位置坐标的函数，该函数称为势能函数，表示为：),(zyxVV 在势力场中，势能函数相等的各点构成一曲面，该曲面称为等势面，即：CzyxV),(三、机械能守恒定律三、机械

12、能守恒定律constVTVT2211一、正确掌握各定理特征：二、根据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法：1、动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力，而与内力无关；2、动量定理揭示质系质心的运动,反映系统移动时的动力学性质;3、动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转动的动力学性质；4、动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约束反力。1、如果给出了系统的始末位置，求v、a、，而不涉及 约束反力时，用动能定理；（若涉及反力，也可先由动能定理 求出v、a、，后用其他方法求反力）2、求反力或绳子内力用质心运动定理；3、对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程；4、对平面运动刚体可用平面运动微分方

13、程；5、注意综合应用。1= ss2= s+sv0mgFv2=01= ss2= s+sv0v2=0mgF(a)A2AA1AW2FNFFOxFOyW1T1 = 0AW2FNFFOxFOyW1 圆盘的半径r=0.5m ,可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3kg, mB=2kg.绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M=4的规律变化(M以Nm计，以rad计)。求由=0到=2时，力偶M与物块A，B的重力所作的功之总和。ABOM13-1)22(20rgmrgmMdWBA mAgmBg 平面机构由两均质杆AB，BO组成，两杆的质量都为m ,长度都为l，在铅垂平面

14、内运动。在杆AB上作用一不变的力偶矩M,从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时杆端A的速度。13-3ACBPOBABABclv 23221OBoOBJT 222121ABccABJmvT 在图示滑轮组中悬挂两个重物,其中重物的质量为m1，重物的质量为m2。定滑轮的半径为r1，质量为m3；动滑轮的半径为r，质量为m4。两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设m22m1- m4。求重物由静止下降距离h时的速度。O2O113-9m2gm1gm3gm4gv212v1BCA111 rv 2212 rvvvcB122221vrv tvh22221122htvtvhhh 2

15、图示带式运输机的轮受恒力偶的作用，使胶带运输机由静止开始运动。若被提升物体的质量为m1，轮和轮的半径均为r，质量均为m2，并视为均质圆柱。运输机胶带与水平线成交角，它的质量忽略不计，胶带与轮之间没有相对滑动。求物体移动距离s时的速度和加速度。13-12m1gm2gm2g221212212 oJvmT sin1gsmMW2221rmJors 如图所示质量为如图所示质量为 m1 的物块的物块 A 悬挂于不可伸悬挂于不可伸长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为 k。设滑轮的质量为设滑轮的质量为m2，并可并可看成半径是看成半径是 r

16、 的匀质圆盘。现在从平衡位置给物的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块块 A 以向下的初速度以向下的初速度 v0 ，试求物块试求物块 A由这位置下由这位置下降的最大距离降的最大距离s，弹簧和绳子的质量不计。弹簧和绳子的质量不计。m1gm2g220112121 oJvmT2121skV 02TgsmskVs122)(21 2211VTVT01T22222112212121cCvmJJT SgmMW sin22111RmJ 222221RmJ 11Rvc 22Rvc 系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成， A，B为铰链，为铰链，D为小滚轮，且为小滚轮，且

17、AD水平。每根杆的质量水平。每根杆的质量m=6 kg，长度长度l=0.75 m。当仰角当仰角1=60时时，系统由静止释放。求当仰系统由静止释放。求当仰角减到角减到2=20时杆时杆AB的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。ABDFEmgmg11(a)BAFEmgmg22(b)AB = BDAB AB = BCv BDABDFEmgmgFAxFAyFD(a)BADFEmgmgFAxFAyF D22BDAB(b)vBvDCv11DCv = 2l sin 20 vE = Cv E BDAB = 3.9 rads1 (顺钟向)hsmaxhsmaxhsmaxhsmaxhs

18、max82 一长为一长为l的链条置放在光滑桌面上，有长为的链条置放在光滑桌面上，有长为b一段悬挂一段悬挂下垂，如图所示。设下垂，如图所示。设链条开始时处于静止，在自重作用下链条开始时处于静止，在自重作用下运动。当末端滑离桌面时，求链条的速度。运动。当末端滑离桌面时，求链条的速度。 83 如图所示，摆的质量为如图所示，摆的质量为m，点点C为其质心，为其质心，O端为光滑铰端为光滑铰支，在点支，在点D处用弹簧悬挂，可在铅直平面内摆动。设摆对水平处用弹簧悬挂，可在铅直平面内摆动。设摆对水平轴轴O的转动惯量为的转动惯量为JO，弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为k；摆杆在水平位置摆杆在水平位置处平衡。设处平衡。设OD=CD=b。求摆从水平位置处初角速度求摆从水平位置处初角速度0摆下作摆下作微幅摆动时，摆的角速度与微幅摆动时，摆的角速度与 角的关系。角的关系。 0ODC0ODC