第八章弯曲内力

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1、1第八章第八章 弯曲内力弯曲内力目录2第八章第八章 弯曲内力弯曲内力n8-1 8-1 概述概述n8-2 8-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座n8-3 8-3 剪力和弯矩及其方程剪力和弯矩及其方程n8-4 8-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制n8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系n8-6 8-6 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图n5-7 5-7 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力0目录3n8-1 8-1 概述概述起重机大梁起重机大梁1目录4n8-1 8-1 概述概述镗刀杆镗刀杆目录5n8-1 8-1 概述概述车削工件车削工件目录6n8-1 8

2、-1 概述概述火车轮轴火车轮轴目录7弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁n8-1 8-1 概述概述目录8常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面n8-1 8-1 概述概述目录9平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线n8-1 8-1 概述概述目录10梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端n8-2 8-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座2目录118-2 梁的载荷与支座

3、梁的载荷与支座目录12火车轮轴简化火车轮轴简化n8-2 8-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录138-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录14吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷n8-2 8-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录15非均匀分布载荷非均匀分布载荷n8-2 8-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录16简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMAn8-2 8-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座静定梁的基本形式静定梁的基本形式目录17FNFSM 0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0McF)(1axFx

4、FMAy F FS S剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSMn8-3 剪力和弯矩及其方程3目录FAy18FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对梁上任截面上的剪力对梁上任意一点的矩为意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。+_ 截面上的弯矩截面上的弯矩使得梁呈使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。n8-3 剪力和弯矩及其方程+_ 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录

5、19解：解：1. 确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE3FFSE23FaMEn8-3 剪力和弯矩及其方程目录 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FAy20FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaMEn8-3 剪力和弯矩及其方程目录21FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上

6、的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。n8-3 剪力和弯矩及其方程目录FAyFSE35FFSE2FFSEF23F22FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。n8-3 剪力和弯矩及其方程目录MEFAy2335aFME22aF Fa232FME23 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出剪力和弯矩剪力和弯矩

7、方程方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM8-4 8-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制4目录qx xM xFS24 BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和

8、弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。8-4 8-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制CFab目录25 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力

9、和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。lM /lMb/8-4 8-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制CMab目录26 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lx

10、qxqlxxM02/2/23. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 8-4 8-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制目录278-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds5目录28载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为直线；剪力图为直线；M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图

11、为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凸形。），抛物线呈凸形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变8

12、-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录29微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。矩数值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图的剪力图和弯矩图的形状，进而画

13、出剪力图与弯矩图。与弯矩图。 8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录30 也可也可通过积分方法确定剪力、通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各弯矩图上各点处的数值。点处的数值。 SddFxMxFMddSbabaxFMddS baFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddS baSSqAaFbF 从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，从左到右，顺（逆

14、）时针集中力偶作用处，弯矩图向上弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图剪力图在该点没在该点没有变化。有变化。 8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录31BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题 简支梁受力的大小简支梁受力的大小和方向如图示。和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确

15、定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录32(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标坐标系系 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4 4应用截面法确定控制应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并面上的剪力和弯矩值，并将其标在将其标在 F FS S x x和和 M M

16、x x 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录33（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.118-5 8-5 载荷集度

17、、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录34（-）（-）4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.118-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右目录35qBAFAyFBy例题：例题：试画出梁剪力图和

18、弯试画出梁剪力图和弯矩图。矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左左侧的截面，也都是控制面。侧的截面，也都是控制面。 C8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录36（+）（-）（+）qBAFAyFB

19、yC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa438-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录37 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即即A A、B B、D D两

20、侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4qa8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录38（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2ABAB段段为上凸抛物线。且有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/21/29qa/49qa/

21、49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图矩图 4/9a 81qa2/32qa28-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录39（-）（-）（+）（+）（-） Fs例题：例题：试画出图示有中间试画出图示有中间铰梁的铰梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDq8-5 8-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录40小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支、熟练求解各种形式静定梁的支座反力座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图目录41第八章作业第八章作业8 81 1、2 2、3 3目录