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1、高观点下数列和式不等式放缩的研究 探讨两类典型问题的通法李绍塔（杭州第十四中学,浙江 杭州 310015） 摘要：该文利用等价量的思想研究两类数列和式不等式的放大和缩小;通过两个定理的给出,得到解决这两类问题的通法,即“抱团”放缩法和“主导项”思想方法.关键词：数列不等式;“主导项”思想;“抱团”放缩 ;调和级数;等价量0 引 言数列是高中数学的重要知识内容,同时作为高等数学研究极限的主要对象之一,是初等数学与高等数学的重要衔接点.在历年的高考解答题中,数列也都占有相当重要的地位,近年来的浙江省高考数列内容的考查更以压轴题形式出现,而且把数列与不等式结合起来历来是高考命题的热点、难点.我们都知
2、道数列是定义在正整数集或其子集上的函数,那么处理数列与不等式问题理论上也可转化为函数与不等式的问题来处理,但数列又属于离散数学范畴,所以处理这类问题又不能照搬函数与不等式的处理方式,它具有其自身的独特性,这些独特性恰是值得我们探讨的且需要我们在今后的教学中重点关注的. 实际上,近年来的高考命题往往可以寻到某些高等数学的影子,所以在今后的教学中可以适当渗透一些高数中极限思想等以提高学生的思想高度和解题能力,所谓站得高看得远,正是这个道理.本文正是基于极限思想下利用等价量对数列的和式不等式进行放大或缩小,重点探讨了两类常见的典型数列放缩问题,给出了解决这两类问题的通法.1 预备知识定义 1 若在上
3、有定义,当时,有,则称为无穷大量.定义 2 若为无穷大量,且,则称为的低阶无穷大量.定义 3 若为无穷大量,且,则称与为等价无穷大量.定义 4 若,则称无穷级数是收敛的.2 理论依据定理1 若为等价无穷大量,则,当时,有成立.证明 若为等价无穷大量,即,故,取,则存在,当时,有成立,从而有成立.证毕.事实上,定理1蕴含夹逼的思想,从而天然的可以结合到数列的放缩中去.定理2 ,. 证法1首先,令,则,从而在上单调递减,故,有成立.同理可证：,.实际上,由微分中值定理直接可得,.综上,取,得,累加,得,即证.证法2由积分中值定理可得,同时从而有,即证.事实上,定理2说明了调和级数是发散的,同时它发
4、散到的速度和发散到的速度是相同的,即与是等价无穷大量.因此,定理2阐明了虽然写不出求和的结果,但是可以通过它的一组上界和下界数列把握的变化规律.实际上,我们知道:（叫做欧拉常数,近似值约为0.577286060651209）.3 主要结果接下来,本文探讨如下两类问题模型：问题模型一. 已知,求证:.问题模型二.已知,其中为的低阶无穷大量以及,收敛到,求证：,即证是收敛的.下面将通过给出具体例子以及相关变式的方式研究以上两个问题模型，通过利用前文给出的两个定理,对这两类问题中的通项从某项开始（局部放缩）在等价量思想的指引下进行适当的放缩,从而得到解决这两类问题解决的通法.问题模型一. 已知,求证
5、:.问题分析 由定理2可得，从而,则可根据定理1进一步得到,当时,有成立.下面一起来看几个问题模型一具体的例子.例1.求证:. 分析 可知：,故的等价线性主部为,因此,缩小为是合理的.证明 由定理2可知：,从而,(1) 当（表示取整）时,有成立;(2) 当时,有成立;综上,.实际上,通过以上证明过程，可以让中学生了解例1的出题背景和出题思路，另一方面，中学生又是没法采用以上的证明步骤解题的, 从而需要我们在这一思路下寻找初等的方法进行以上和式的放缩.因此，下面给出“抱团”放缩的操作步骤.只要考虑一次项系数,有,故,即证.变式1.求证：.证明 显然,从而变式1是合理的,仿造例1的证明过程,即证.
6、另一方面, “抱团”放缩法：考虑,有从而即证.变式2.求证.证明 显然,从而变式2是合理的,考虑,有故,即证.小结1 对于调和级数型数列求和的放缩,实际上从无穷级数的角度可以找到命题的高数背景和解题的理论依据及思想方法. 此外,在问题模型一中常用的“抱团”放缩的结论如下：.实际上,对这“一团”还可以再进行适当的“分段抱团”放缩,如例1变式1中的 由等价量思想，不难得到中的一次项系数可以变大,比如说取，其中，当然此时的“一团”也要相应的变成“四团”进行放缩，以至于可以无限接近,当然,常数项需要做适当的调整.以上的例子和分析都是针对和式不等式缩小的处理,放大的处理方式和证明完全相同,本文不再赘述.
7、问题模型二.已知,其中为的低阶无穷大量以及,收敛到,求证：,即证是收敛的.题型分析 由可得,再由定理1可得,当时,有成立,于是,由，可取适当的（依赖于）,使得即证，另一方面当有上界，又由于且，故从某项开始单调递增，根据单调有界必收敛定理可得是收敛的. 在这里，重点探讨为收敛几何级数时的有关应用.下面一起来看几个具体的例子.例2.已知,证明不等式.证明 由定理1可知：成立,反之,取时,为了使恒成立,则,则,从而,故,证毕.根据这个思维,考虑如下两个变式.变式1.已知,证明不等式.证明 同上,只要取时,为了使得恒成立,则,则,从而，故,证毕.变式2.已知,证明不等式.证明 同上,只要取时,为了使得
8、恒成立,则,则,从而，故,证毕.小结2 实际上,以上数列和式放大的上界可以继续缩小,即局部放大的过程中多留下几项,而后面所有项放大后的“盈余”也将越来越小,理论上可以让这个“盈余”想要多小就多小,可以设定放大后的截断误差,使得放大的上界越来越精确.例2这里选取的通项类型是两个等比数列作差之后取倒数的数列,实际上,当时,分母几乎由控制了整个分式的变化,相对于在时可以忽略不计,被“吃掉了”,那么,我们可以认为即为这个分式结构中分母的“主导项”,所以在后续的放缩过程中,均应该选择放缩成“主导项”,而我们唯一要做的事情就是基于“主导项”思想下选取从某项开始放缩的最优系数,如以上过程中等.在这里,不难得
9、到“主导项”放缩思想下的一个简单结论： 恒成立.例3.已知,证明不等式.证明 由定理1可知：成立,反之,取时,恒成立,则（通过作差法,易证单调递减）,则,从而,故,不符.取时,恒成立,则,则,从而,故,不符.取时,恒成立,则,则,从而故,.小结3 实际上,在以上数列和式的一个上界给定的前提下,去寻找合适的放大系数的过程,按照“主导项”思想,我们知道这个过程一定是有限次数即可完成的.这里选取的通项类型是一个等比数列和一个等差数列作差之后取倒数的数列,实际上,当时,同样由分母控制了整个分式的变化,相对于在时可以忽略不计,也是被“吃掉了”,所以在后续的放缩过程中,均应该选择放缩成“主导项”,而我们唯
10、一要做的事情就是基于“主导项”思想下不断地选取从某项开始放缩的最优系数,如以上过程中等.随着这个过程的进行,总能找到一个时刻,从此以后满足放大之后的上界均能小于所证式子中给定的上界.以上的例2、3及其相关的变式只是对为两个等比数列和一个等比数列与一个等差数列的类型进行了简单的探讨,实际上,通过结构的变化可以产生更多有意思的问题,也有待进一步研究.4 结束语本文先是给出两个后续实例展开所依托的定理,通过实例研究的方式进一步探讨两类典型的问题模型,根据等价量的思想,归纳出中学生能够理解并具有操作性的“抱团”放缩和“主导项”放缩的思想方法.同时,实例的选取始终依托于高中数学中最基本的等差数列和等比数列,重视基础和数学思想的提升,挖掘通法,努力淡化数列放缩的技巧性,让学生感受某些数列放缩类型的可循之迹. 数列放缩的类型繁多,只要能刻苦钻研, 适当归类, 寻求通法,就一定会有所发现,提升能力.- 6 - / 6文档可自由编辑打印
高观点下数列和式不等式放缩的研究
