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1、平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达 式及平方和时，可以用等值线法。二、基本理论（-）平面向量共线定理已知归=%为+/记，若/ + = 则4KC三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底52,不及任一向量而.OP=AOA+OB（peR）,若点P在直线48上或在平行于43的直线上，则之+ =封定值），反之也成立我们把直线48以及与直线43平行的直线成为等和线。（1）当等和线恰为直线时，* = 1;（2）当等和线在。点和直线48之间时，e（O,I）：（3）当直线在O点和等和线之间时.Ag（L + 8）： LO（4）当等和线过O
2、点时,上=0：（5）若两等和线关于。点对称，则定值互为相反数：（6）定值人的变化与等和线到。点的距离成正比：（三）等差线平面内一组基底5Z为及任一向量而，而砺（九ex）, c为线段的中点，若点P在直线OC上或在平行于OC的直线上，则2- =k（定值）,反之也成立，我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等差线。（1）当等差线恰为直线OC时，A = 0：.（2）当等差线过/点时， = 1：（3）当等差线在直线。C与点.4之间时，女（0,1）：（4）当等差线与艮4延长线相交时，A g（1, + oo）；S4（5）若两等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数：大：没心没游帮（四）等积线平面内一
3、组基底而，砺及任一向量而，赤十丽若点?在以直线0408为渐近线的双曲线上，则上“为定值A-,反之也成立，我们 把以直线0405为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在405内时，A0：（2）当双曲线的两支都不在40夕内时,Z 0）0）时，k = ：少4（五）等商线平面内一组基底刀，丽及任一向量而，。户=%为十面（乙WR）,若 点尸在过。点（不与04重合）的直线上，则& = *（定值）.反之也成立。我们A把过点。的直线（除O月外）称为等商线。（1）当等曲线过43中点时，N = l：（2）当等商线与线段彳C （除端点）相交时，Aw（l, + 8卜（3）当等南线与线段8c （除端点）相交时,
4、Ae（O,1）;（4）当等商线即为08时，a = o：（5）当等商线与线段历1延长线相交时,A-w（-8,-1）；（6）当等商线与线段延长线相交时，A e-l,0）;（7）当等商线与直线49平行时，R=-l：（六）等平方和线平面内一组基底近,而及任一向量方，万二2百十丽（九尺），且 网=网.若点户在以乙4OB角平分线为半长轴的椭圆上，则无+?为定值上 反之也成立，我们把以以408侑平分线为半长轴的祐圆称为等平方和线。懑没心跚修特别的.若况=（。就砺=（。,田，点尸在双椭圆吠。）时，人: 2三、解题步骤1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线.结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小
5、 值：3、从长度比或者点的位置两个角度.计算最大值和最小值：四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致,本着 少数股从多数的原则，优先平移固定的向量：2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换法底向量，使得需要研 究的代数式为基底的系数和或差：五、典型例题例1给定两个长度为1的平面向量次和丝沙的磬为1200 .如图所示, 点c在以o为圆心的圆弧茄上变动.若公=、而+3而，其中、ywR,则 x + y的最大值是.答案，2例2在正六边形W98尸中.P是三角形。E内（包括边界）的动点，设7P=xAB + yAF，则I+ y的取值范围答案; 3,4例3如图，在
6、平行四边形ABCD中，M、N为CD边的三等分点,S为AM与 BN的交点，P为边AB边上一动点，Q为ASMN内一点（含边界）.若 PQ = xAM +y皈则行y的取值范围是，例4梯形4sd）中，AD LAB. /D = QC? = l,zlA = 3,2为三角形AC。内一点（包例5设。上分别是A48C的边犯叱上的点“丹小族二心若 0=4Q +右就（4区为实数），则4+4的值为.（注，此邈为13江苏高考题第8题，但点E为三等分的条件其实没有必要，可舍答案例6在正方形458中，E为BC中运,P为以为直径的半圆弧上任意一点, AE = xAD + yA?.则2x+y的最小值为.答案，1例7在正方形,4
7、68中，E为46中点,尸为以H为圆心，月8为半径的圆弧上的任意一点,设就二1瓦+酢厕x + y的最小值为答案:5710 + 13 18例g已知西卜网=】，丽=无两+3而(/为实数).若工PMN是以M为 直角顶点的直见三角形,则x-y取值的集合为 答案，1例9已知椭圆丽+全=1的上顶点为4,直线y = -4交椭圆于艮C(8在C的左侧)，点。在椭圆石上，若AP =，51 + 8C,求加+的最大值例10已知。为&48c的外心.若*(0.0),仇2,0),水;二1,4%二行,且7o=aab+ac.贝i:+/ =答案:：6没心没卸需1.例11已知。为A48C的外心,若cos N84c二三，。二无48十
8、RC则 a+Lx=答案：y4例12平面内有三个向量瓦i .万.正，K中与演与方的夹角为120 , OA与 反的夹角为30。，且I。i1 = 1/1 = 1, oc = 243,若3?=枕而十m?反 则m + 的值为答案：6,0例13如图.4民C是圆。上的三点，CO的延长线与线段8N的延长线交于圆。外的点。，若筱二加百十而，则，十的取值范围为.答案：(-1.0)一例14在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为 (技0), Z = (2,1)、i=(2,-l)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P,若而+底(a、AwA),则。、方满足的一个等式是.答案：4ab = 1例1
9、5已知口习=1.|布卜石，3布 =0,点。在 4OA内，且4100 = 30,设OC=mOA + nOB ,则-的值为.答案：3没心没加帮例16如图，倾斜角为夕的直线与单位圆在第一象限的部分交于点P.单位圆与坐标釉交于点4-L),点8QT),以与V轴交于点乂，尸B与x轴交于 点 M,设 P =、FM+yPN,Q,yR),求T 的最小值。答案：42例17如图，在扇形OAB中,ZAOB=60 , C为弧AB上且不与A、B重合 的一个动点，OC=xOA-yOB,若 =上 +加仅0)存在最大值，则义的取值 范围为.例”在平而直角坐标系中，。为坐标原点，两定点48满足 网二网=苏西=2,则点集产|丽=2豆i + 丽风+ |小1,4”耳所表示 的区域面积为.答案：46 例19已知3是两个互相垂直的单位向量，且1,则对任意的正实数，c + m + U的最小值为.t答案：272.垓二漫心颁喏
平面向量基本定理系数的等值线法
