1112高中数学 1.7 函数的表示法3课件 新人教A版必修1

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1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四1.设设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系系f,使对于集合使对于集合A中的中的 ，在集合，在集合B中都有中都有 的的 元素元素y与之对应，那么就称与之对应，那么就称 对对应为从集合应为从集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射.2.由映射的定义可以看出，映射是由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，概念的推广， 是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是必须是 .任意一个元素任意一个元素x唯一确定唯一确定f:AB函数函数函数

2、函数非空数集非空数集返回返回 学点一学点一 判断对应是否为映射判断对应是否为映射判断下列对应是否构成映射判断下列对应是否构成映射.（1）A=1,2,3,B=7,8,9,f(1)=f(2)=7,f(3)=8;（2）A=Z，B=-1,1,当当n为奇数时，为奇数时，f(n)=-1,当当n为偶数为偶数时，时，f(n)=1;（3）A=B=1,2,3,f(x)=2x-1;（4）A=B=x|x-1,f(x)=2x+1.【分析【分析】判断一个对应判断一个对应f是否为从是否为从A到到B的映射，主要从的映射，主要从映射的定义入手，看集合映射的定义入手，看集合A中的任意一个元素，在对应中的任意一个元素，在对应关系关

3、系f之下之下,在集合在集合B中是否有唯一的对应元素中是否有唯一的对应元素.返回返回 【解析【解析】对于（对于（1）,集合集合A中的元素在集合中的元素在集合B中都有唯一的中都有唯一的对应元素，因而能构成映射；对于（对应元素，因而能构成映射；对于（2）,集合集合A中的任一元中的任一元素素x在对应关系在对应关系f之下在之下在B中都有唯一元素与之对应，因而能中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对于（构成映射；对于（3）,由于当由于当x=3时，时，f(3)=23-1=5.在集在集合合B中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射成映射;对于对于(

4、4),满足映射的定义，因而能构成映射满足映射的定义，因而能构成映射.【评析】判定两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入【评析】判定两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手手.若满足映射定义就能构成映射，若不满足映射的定义，若满足映射定义就能构成映射，若不满足映射的定义，只要举一反例，即说明集合只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在中的某一元素在B中无对应元中无对应元素即可素即可.返回返回 在下列各题中，哪些对应法则是集合在下列各题中，哪些对应法则是集合A到集合到集合B的映射？哪的映射？哪些不是？些不是？(1)A=R,B=y|y0,f:xy=x2;(2)A=x|x3,B=y|y0,f:xy

5、= ;(3)A=N,B=R,f:xy= .x2x(1)是映射是映射,因为对任意因为对任意xA,在在f:xy=x2下下,在集合在集合B中都有唯中都有唯一确定的元素和它对应一确定的元素和它对应.(2)是映射是映射.因为对任意因为对任意xA,在在f:xy= 下下,在集合在集合B中都有唯中都有唯一确定的元素和它对应一确定的元素和它对应.(3)不是映射不是映射.因为集合因为集合A中的元素中的元素0在在f:xy= 下下,在集合在集合B中中没有元素和它对应没有元素和它对应.x返回返回 x2学点二学点二 映射中的象与原象映射中的象与原象【分析【分析】明确本题映射明确本题映射f:AB的两个集合为有序实数的两个集

6、合为有序实数对组成的集合对组成的集合,即点集即点集,明确本题对应法则为明确本题对应法则为f:(x,y)(3x-2y+1,4x+3y-1).已知映射已知映射f:AB中，中，A=B=(x,y)|xR,yR,f:A中的元中的元素，素，(x,y)对应到对应到B中的元素中的元素(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求求A中元素中元素(-1,2)在在f的作用下与的作用下与B中对应的元素中对应的元素;(2)若若A中的元素在中的元素在f的作用下的作用下,在在B中与之对应的元素为中与之对应的元素为(-1,2),求求A中的这个元素中的这个元素.返回返回 【解析【解析】(1)x=-1,y=2,3x-2y+1=3

7、x(-1)-22+1=-3-4+1=-6,4x+3y-1=4(-1)+32-1=-4+6-1=1.所求的所求的B中元素为中元素为(-6,1). 3x-2y+1=-1 x=0 4x+3y-1=2, y=1.所求的所求的A中元素为中元素为(0,1).【评析】由映射中一个集合的元素【评析】由映射中一个集合的元素,求出与之对应的另一个求出与之对应的另一个集合中的元素集合中的元素,应紧扣映射定义应紧扣映射定义,注意映射的对应法则注意映射的对应法则.返回返回 (2) 返回返回 设集合设集合A=B=(x,y)|xR,yR,f是是A到到B的一个映射的一个映射,并满并满足足f:(x,y)(-xy,x-y).(1

8、)求求B中元素中元素(3,-4)在在A中的原象中的原象;(2)试探索试探索B中元素满足什么条件时在中元素满足什么条件时在A中存在原象中存在原象;(3)求求B中元素中元素(a,b)在在A中有且只有一个原象时中有且只有一个原象时,a,b所满足所满足的关系式的关系式. -xy=3 x=-1 x=-3 x-y=-4, y=3 y=1,所以所以B中元素中元素(3,-4)在在A中的原象为中的原象为(-1,3)和和(-3,1).(1)由题意知由题意知 解得解得 或或(2)设任意设任意(a,b)B,则它在则它在A中的原象中的原象(x,y)应满足应满足 -xy=a x-y=b 由由得得y=x-b代入代入式化简式

9、化简,得得x2-bx+a=0.当且仅当当且仅当b2-4a0时时,方程方程有实根有实根,所以所以,只有当只有当B中元素中元素(a,b)满足满足b2-4a0时时,在在A中才有原象中才有原象.(3)由以上由以上(2)的解题过程可知的解题过程可知,只有当只有当B中元素中元素(a,b)满足满足b2=4a时时,它在它在A中有且只有一个原象中有且只有一个原象.返回返回 学点三学点三 映射与函数映射与函数【分析【分析】映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，要判断是否是映射、函数射，要判断是否是映射、函数,应从定义入手应从定义入手.下列对应是否是从下列对应是否是从A

10、到到B的映射，能否构成函数？的映射，能否构成函数？（1）A=R，B=R，f:xy= ;（2）A=a|a=n,nN+, B=b|b= ,nN+,f:ab= ;（3）A=0,+),B=R,f:xy2=x.1x1n1a1返回返回 【解析【解析】（1）因为当）因为当x=-1时，时，y的值不存在，所以不是映的值不存在，所以不是映射，更不是函数射，更不是函数.（2）是映射，也是函数，因为）是映射，也是函数，因为A中所有的元素的倒数都是中所有的元素的倒数都是B中的元素中的元素. （3）因为当）因为当A中的元素不为零时，中的元素不为零时，B中有两个元素与之对中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数应，所

11、以不是映射，更不是函数.【评析】函数是一种特殊的映射，只有当构成映射的两个【评析】函数是一种特殊的映射，只有当构成映射的两个集合都是非空数集时，该映射才能构成函数集合都是非空数集时，该映射才能构成函数.返回返回 给出下列四个对应关系，能构成函数的是给出下列四个对应关系，能构成函数的是 .（填序号）（填序号）A=N*，B=Z，f:xy=2x-3;A=1,2,3,4,5,6,B=y|yN*,y5,f:xy=|x-1|;A=x|x2,B=y|y=x2-4x+3,f:xy=x-3;A=N*,B=yN*|y=2x,xN*,f:xy=2x-1.返回返回 由函数定义知由函数定义知f是是A到到B的函数的函数.

12、当当x=1时，由时，由f:xy=|x-1|知知y=0B，不是不是A到到B的函数的函数.B=y|y=(x-2)2-1=y|y-1.由由f:xy=x-3知是知是A到到B的函数的函数.B=偶数偶数，而，而f:xy=2x-1为奇数，为奇数，f不是不是A到到B的函数的函数.返回返回 已知已知A=a,b,c,B=-2,0,2,映射映射f:AB满足满足f(a)+f(b)=f(c),求求满足条件的映射的个数满足条件的映射的个数.(1)当当A中三个元素都对应中三个元素都对应0时，则时，则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c)有有一个映射一个映射.(2)当当A中三个元素对应中三个元素对应B中两个时，满足中两个时

13、，满足f(a)+f(b)=f(c)的的映射有映射有4个，分别为个，分别为2+0=2,-2+0=-2,0+2=2,0+(-2)=-2.（3）当当A中三个元素对应中三个元素对应B中三个元素时，满足中三个元素时，满足f(a)+f(b)=f(c)的的映射有映射有2个，分别为个，分别为-2+2=0,2+(-2)=0,满足条件的映射共有满足条件的映射共有7个个.学点四学点四 映射的应用映射的应用【分析【分析】建立建立A到到B的映射，需的映射，需A中每一元素在中每一元素在f下都有下都有唯一的元素与之对应唯一的元素与之对应.【评析】求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的【评析】求解含有附加条件的映射问题，必

14、须按映射的定义处理，必要时要进行分类讨论定义处理，必要时要进行分类讨论.返回返回 已知已知A=1,2,B=a,b，可以建立多少个从，可以建立多少个从A到到B的映射的映射.返回返回 由定义，映射由定义，映射f使使A中每一元素在中每一元素在B中都有元素中都有元素 和它对应，和它对应，故所有的对应关系有以下几组：故所有的对应关系有以下几组： 1a 1a 1b 1b 2a 2b 2b 2a.建立的建立的A到到B的映射有的映射有4个个.(1)(1)映射是一种特殊的对应映射是一种特殊的对应. .对应有一对多、一对一、多对一等对应有一对多、一对一、多对一等. .(2)(2)映射定义中的两个集合映射定义中的两

15、个集合A A，B B是有先后次序的，是有先后次序的，A A到到B B的映的映射与射与B B到到A A的映射一般是截然不同的的映射一般是截然不同的. .(3)(3)映射是由集合映射是由集合A A，B B以及从以及从A A到到B B的对应关系的对应关系f f所确定的所确定的. .(4)(4)一个映射中，在对应关系一个映射中，在对应关系f f的作用下，集合的作用下，集合A A中的任何一个中的任何一个元素元素a a对应着集合对应着集合B B中的元素中的元素b,bb,b具有唯一性，但与具有唯一性，但与B B中元素中元素b b对应的对应的A A中元素可以不唯一中元素可以不唯一. .(5)(5)在一个映射中

16、，集合在一个映射中，集合A A，B B可以是数集，也可以是点集或可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合其他集合；集合A A，B B也可以是同一集合也可以是同一集合. .但在确定的映射中，但在确定的映射中，集合集合A A，B B的地位一般是不要求对等的的地位一般是不要求对等的. .1.1.怎样理解映射的概念？怎样理解映射的概念？返回返回 2.2.怎样判定一个对应是映射？怎样判定一个对应是映射？按照定义，一个对应是一个从按照定义，一个对应是一个从A A到到B B的映射的映射, ,需满足：需满足：（1 1）A A中元素在中元素在B B中都有元素和它对应中都有元素和它对应, ,且唯一且唯一. .（2

17、 2）对应是一对一或多对一）对应是一对一或多对一. .返回返回 1.1.判断某个对应是否为映射，必须严格根据定义，而说判断某个对应是否为映射，必须严格根据定义，而说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可. .映映射实质上是射实质上是“多对一多对一”或或“一对一一对一”的对应，但不包括的对应，但不包括“一对多一对多”. .2.2.解决映射一类问题时，注意要回到定义中去，需要注解决映射一类问题时，注意要回到定义中去，需要注意的是要深刻理解概念，只有领会了概念的实质，才能意的是要深刻理解概念，只有领会了概念的实质，才能使解题有思维基础和理论根据使解题有思维基础和理论根据. .3.3.映射的概念是在函数的概念的基础上定义、扩展的，映射的概念是在函数的概念的基础上定义、扩展的，函数是一个特殊的映射函数是一个特殊的映射. .4.4.函数是非空数集函数是非空数集A A到非空数集到非空数集B B的映射，而对于映射来的映射，而对于映射来说，说，A A，B B不一定都是数集不一定都是数集. . 返回返回