高考数学一轮复习 11.2 直接证明与间接证明课件 文 新人教A版

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1、第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)11.2直接证明与间接证明 知识诠释思维发散直接证明与间接证明第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)1.两类基本的证明方法:直接证明与间接证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.2.综合法利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.综合法的证明步骤用符号表示是:第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证

2、明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)P0(已知)P1P2Pn(结论).3.分析法从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.用分析法证明的逻辑关系是:B(结论) B1 B2 Bn A(已知).第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)4.反证法先假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾.因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法

3、. 第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)1.对判断“a,b,c至少有一个是正数”的反设是( )(A)a,b,c至少有一个是负数.(B)a,b,c至少有一个是非正数.(C)a,b,c都是非正数.(D)a,b,c都是正数.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)的情况,还差一种情况,即三个都是非正数.【答案】C【解析】注意“a,b,c至少有一个是正数”就是a,b,c中有一个是正数、有两个是正数、有三个是正数.对于a,b,c与正数第十一章第十

4、一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)2.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间0,+)的图像与f(x)的图像重合,设ab0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( )f(b)-f(-a)g(a)-g(-b),f(b)-f(-a)g(b)-g(-a),f(a)-f(-b)0,f(b)=g(b)0,且f(a)f(b),g(a)g(b),f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b),而g(a)-g(-b)=g(a)-g(b),g(a)+g(b)-g(a)-g(b)=2g(b)0,f(b)-f(-

5、a)g(a)-g(-b).同理可证:f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).【答案】A第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)3.a= - ,b= - ,则a与b的大小关系为 .【解析】可直接比较a2与b2的大小,或比较+与2的大小,或考察函数y= - 的单调性.【答案】ab76657561xx第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科) 核心突围技能聚合题型1应用综合法证明问题第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高

6、考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)例1已知a+b+c=1,求证:ab+bc+ca.【分析】不等式左边为两两积的形式,而已知条件是a、b、c和的形式,因此将已知式两边平方,可得出a、b、c两两积及a2、b2、c2和的形式,然后再利用基本不等式定理将a2+b2+c2转化为a、b、c两两积之和,证出所证不等式.13第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)又a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,将以上三个不等式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2ab+bc

7、+ac,所以1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acab+bc+ac+2ab+2bc+2ac=3(ab+bc+ac),【解析】因为a+b+c=1,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,所以ab+bc+ca.13第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【点评】在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质和基本不等式定理,但在运用这些性质和定理时,一定要注意其成立的条件.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)变式训练1若a,

8、b,cR+,且a+b+c=2,求证: + + 4.【解析】(法一)由1 得 +1,同理: +1, +1.因此 + + +1+1+14.由于三个不等式中的等号不能同时成立,故 + +1a1b1c1a112a1a2a1b2b1c2c1a1b1c2a2b2c1a1b1c4.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(法二)由( )2 a+b ,于是 + ,同理: +1 , + + +1 + =2,即 + + 2 -10,ab+bc+ca0且abc0,求证:a,b,c都大于零.【分析】欲证“a,b,c都大于零”,从正面证明比较

9、麻烦,我们可以从反面入手,利用反证法.【解析】假设a,b,c不都大于零,即至少有一个小于零或等于零.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(2)若某一个小于零,不妨设a0,得bc0,得b+c-a0,那么-a(b+c)0,得a(b+c)0,即ab+ac0,结合bc0,得ab+bc+ca0矛盾.结合(1)(2)知a,b,c都大于零.【点评】本题由于要证a,b,c都大于零,显然用直接证明较为麻烦,从反面入手,借助不等式的基本性质很快产生了与已知矛盾的结果,本题虽然不难,但推理也并不轻松.(1)若某一个等于零,则abc=0

10、,与abc0矛盾;第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)变式训练2已知f(x)=x2+ax+b.(1)求:f(1)+f(3)-2f(2);(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.【解析】(1)f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,f(1)+f(3)-2f(2)=2.12第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于.则-f(1

11、),-f(2),-f(3),-1-2f(2)1,-1f(1)+f(3)1,-2f(1)+f(3)-2f(2)0,求证: - a+-2.【分析】观察已知条件(a0)简单,而证明的结论较复杂,用综合法不知从何下手,可考虑分析法.【解析】要证 - a+ -2,只要证 +2a+ 即可.221aa21a221aa21a221aa1a2第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)a0,只要证( +2)2(a+ )2,即a2+4 +4a2+2+2 (a+)+2,从而只要证2 (a+ ),只要证4(a2+)2(a2+2+),即a2+2,

12、而此不等式显然成立.221aa1a221a221aa21a21a221aa21a21a21a21a故原不等式成立.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【点评】此题的关键是要把所证的不等式做一个等价转化为 +2a+ ,如果用分析法直接平方来解则有些项不好抵消,不好进行下去.221aa1a2第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)变式训练3已知a,b,c均为正数,求证: .【解析】a,b,c均为正数,a+b+c0.欲证 ,只要证 ,只要证3

13、(a2+b2+c2)(a+b+c)2,即证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,2223abc3abc2223abc3abc2223abc2()9abc上述不等式显然恒成立,故原不等式成立.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)1.对于分析法,我们注意有两种情况:一种是逆推,步步可逆,此种证法又叫逆证法,它要求所证的条件是结论的充要条件,否则,证不了;另一种是寻找结论成立的充分条件,仅充分条件而已.2.对于综合法,我们不仅要熟练掌握一些常规的证明技巧,还要掌握一些常用的定理、性质、推论及一些常规式子的各种变式

14、及灵活应用.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)3.涉及否定性、唯一性、至多、至少型的问题,可以从反面入手,首先对结论进行否定,然后,再结合条件进行推理,最终得出与已知条件或是已知定理、性质、公理等矛盾的结论,从而肯定结论的正确性.用反证法证明问题一定要注意反设及寻找矛盾的技巧. 第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)例设a+b0,n为偶数,证明:+.【错解】要证原不等式成立,只要证bnbn-1+anan-1an-1bn+anbn-1

15、,即只要证anan-1-an-1bn+bnbn-1-anbn-10即可,只要证(an-bn)(an-1-bn-1)0即可.1nnba1nnab1a1b第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)n为偶数,an0,bn0,an-bn与an-1-bn-1同号,(an-bn)(an-1-bn-1)0成立,原不等式成立.【剖析】此题的错误很隐蔽,不易发觉.在a+b0的条件下,an-1-bn-1,an-bn的正负不能确定,应分a0,b0和a、b有一个负值两种情况加以讨论.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证

16、明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)只要证(an-bn)(an-1-bn-1)0(*)成立即可.(1)当a0,b0时,若ab,则anbn,an-1bn-1.(an-bn)(an-1-bn-1)0.若ab,则anbn,an-10,总有(an-bn)(an-1-bn-1)0.【正解】前面同错解.第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(an-bn)(an-1-bn-1)0.综上所述,(*)式总成立.故原不等式成立.(2)当a、b有一个负值时,不妨设a0、b0,a|b|,又n为偶数,an|b|n=bn

17、,而an-1bn-1,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)基础角度思路1.(基础再现)“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=()x是指数函数(小前提) ,所以y=()x是增函数(结论).”上面推理的错误是( )1313第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)(A)大前提错导致结论错.(B)小前提错导致结论错.(C)推理形式错导致结论错.(D)大前提和小前提都错导致结论错.【解析】指数函数y=ax的增减性与a的范围有关,所以大前提错误.【答案】A第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证

18、明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)2.(基础再现)在用反证法证明a+b=2时的反设为( )(A)a+b2且a+b2或a+b2. (D)a+b2,要么a+b2或a+b0,a+2b+cac且aac且a0. (D)b2ac.【解析】对于f(x)=ax2+2bx+c,由f(-2)0,f(1)0. (B)ab0.(C)ab0. (D)ab0.【解析】选项A是充分条件;选项B是既不充分也不必要条件;可以看出,若+2,一定可以得到ab0,反过来不一定,所以选项C是必要不充分条件;选项D是充分不必要条件.baabbaab【答案】C第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间

19、接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)5.(高度提升)设a,b,c,d,m,n均为正实数,p= + ,q= ,那么( )(A)pq.(B)pq.(C)pq.(D)p、q之间的大小关系不定.abcdmancbdmn第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【解析】q= = .要比较p、q的大小,只要比较ab+ + +cd与ab+cd+2的大小,也就是只要比较 + 与2 的大小即可.因为a,b,c,d,m,n全是正数,故由基本不等式有 + 2 =2 成立,pq.mancbdmnmadnbcabcdn

20、mmadnnbcmabcdmadnnbcmabcdmadnnbcmmad nbcnmabcd【答案】A第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)6.(视角拓展)当0ab(1-a)b;(1+a)a(1+b)b;(1-a)b(1-a ;(1-a)a(1-b)b.其中正确的是 (填写正确不等式的序号).【解析】由0ab101-ab0,据此可知不正确;又(1+a)a(1+b)a(1+b)b,因此也不正确.【答案】1)b2)b1b2b二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间

21、接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)7.(视角拓展)给出两数:与,则其中较大的数为 .【解析】()2()()=.【答案】 123456789101111234567891012345678910234567891011111111第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)8.(高度提升)给出下列四个命题:若ab,则a2-1,则;若正整数m和n满足m0,且x1,则ln x+2.其中真命题的序号是 .1aa1bb()m nm2n1lnx第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明

22、高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)【解析】对于易判断是错误的;对于, - = = 0,是真命题;对于, =,是真命题;对于,当0 x1时ln x0)的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求证:对于抛物线的任何给定的一个弦CD,直线l不可能是CD的垂直平分线.【解析】设C(x1,y1),D(x2,y2),则y1y2且=2px1,=2px2.假设直线l是CD的垂直平分线,由焦点F(,0)l,得|FC|=|FD|,21y22y2p第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)即(x1-)2+=(x2-)2+,

23、(x1+x2-p)(x1-x2)=-,又-=2p(x2-x1)0.因此,x1+x2=-p,那么+=2p(x2+x1)=-2p20,b0)右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若I为PF1F2的内心,则 - = 成立.请类比该结论得出有关椭圆的一个结论并进行证明.【解析】已知点P是椭圆+=1(ab0)上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,若I为PF1F2的内心,则 + = 成立.22xa22yb1IPFS2IPFS22aab1 2IF FS22xa22yb1IPFS2IPFS22aab1 2IF FS第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科)证明:如图,设PF1F2内切圆半径为r,则 =|PF1|r, =|PF2|r, =|F1F2|r,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2 ,1IPFS122IPFS121 2IF FS1222ab第十一章第十一章 11.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明高考第一轮复习用书高考第一轮复习用书数学数学(文科文科) = ,即|PF1|+|PF2|= |F1F2|.|PF1|r+|PF2|r= |F1F2|r, + = .1212|PFPFFF22aab22aab121222aab121IPFS2IPFS22aab1 2IF FS